Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-3

входящих в ДУ, при которых существует нетривиальное решение однородной задачи:

ДляОДУ второго порядказадача Штурма – Лиувилля – этозадача определения параметра , при котором существует нетривиальное решение ДУ (3) на отрезке [a, b].

В (3) оператор L – это линейный дифференциальный оператор;

функция p(x) C1[a, b].

Определение. Значения параметра , при которых задача (3) имеет нетривиальное решение, называются собственными значениями, а соответствующие нетривиальные решения задачи (3) – собственными функциями.

СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ И СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

1.  Существует счетное множество собственных значений n и соответствующихимсобственныхфункций, т. е. n yn (x) . Всесобственные значения задачи (3) можно упорядочить по возрастанию их абсолютной величины: 1 2 ... n ...

2.  Каждому собственному значению соответствует с точностью до постоянной только одна собственная функция. Ранг собственных значений равен единице.

3.  В случае однородных краевых условий Дирихле ( y(a) y(b) 0) и при выполнении условий q(x) 0 все собственные значения задачи (3) строго положительны: n : n 0 .

82

4.  Собственные функции задачи (3), соответствующие различным собственным значениям, ортогональны с весом (x) и образуют базис.

Теорема Стеклова. Если функция f (x) – правая часть задачи (1) непрерывна и дважды дифференцируема на отрезке [a, b] и удовлетво-

ряет однородным краевым условиям (2), то эта функция может быть представлена в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда Фурье

Замечание. Если дана неоднородная краевая задача с однородными краевыми условиями и правая часть f (x) C2[a, b] , то решение этой

неоднородной задачи можно представить в виде (4): u(x) ∑ un yn (x) , n 0

где un – коэффициенты ряда Фурье по собственным функциям задачи (3).

u (x) u(x) 0,

Пример.

u(0) u(l) 0.

Решение задачи ищем в виде u(x) e x.

83

значению соответствует единственная собственная функция. Второе краевое условие используем для определения собственных значений:

u(l) sin l 0;

l n; n 0, 1, 2,...

Замечание. Значение λ0 0 не является собственным, так как ему соответствует собственная функция u0 (x) 0, что противоречит свойству 4.

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИИ ГРИНА

Пусть дано уравнение

Предположим, что краевая задача (5)–(6) имеет единственное решение. Рассмотрим однородное ДУ, соответствующее уравнению (5):

84

Пусть x x1(t) – это нетривиальное решение задачи (7), удовлетворяющее краевому условию (6) при t = 0; x x2 (t) – нетривиальное решение задачи (7), удовлетворяющее краевому условию (6) при t = l. Покажем, что x1 не удовлетворяет краевому условию для x2 , а x2 – краевому условию для x1 .

Данное условие выполняется, так как если бы решение x1 удовлетворяло условию для x2 , то C1x1(t) тоже бы ему удовлетворяло, а значит, C1x1(t) – решение задачи (7) с краевыми условиями (6), т. е. у за-

дачи (7) существовало бы множество решений, что противоречит предположению.

Таким образом,

Решения x1 и x2 линейно независимы, так как если бы они были

пропорциональны (линейно зависимы), то удовлетворяли бы одним и тем же краевым условиям, что невозможно.

Будем искать решение неоднородной задачи (5)–(6) методом вариации постоянных:

85

86

Определение. Функция G(t, s) называется функцией Грина для краевой задачи (5)–(6).

Решение краевой задачи (5)–(6) определяется соотношением (13). При фиксированном значении аргумента s функция Грина обладает

следующими свойствами:

1)  функция Грина удовлетворяет однородному уравнению (7);

Пример. Найти функцию Грина для краевой задачи:

87

Решить краевые задачи

1.  Построить функцию Грина для краевой задачи:

y y f (x),

y (0) 0,

y( ) 0.

2.  Построить функцию Грина для краевой задачи:

x2 y 2xy 2 y f (x),

y(0) ограничено,

y(1) 0.

3.  РешитьзадачуШтурма – Лиувилля: y 2 y 0, y(0) 0, y (l) 0.

88

4.  Решить краевую задачу:

x2 y 2xy 2 y 0, y(x) o(x), x 0, y(1) 3.

89