Дискретная математика. Учебное пособие-1

ɫɬɜɢɟ ɬɪɟɛɭɟɬ ɱɬɨɛɵ ɞɥɹ ɥɸɛɨɝɨ xnc 1 z xn 1 ɜɵɩɨɥɧɹɥɨɫɶ P x1 xn xnc 1 0 . ɉɨ ɷɬɨɦɭ ɨɛɪɚɬɧɨɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɨɬ ɩɪɟɞɢɤɚɬɚ ɤ ɮɭɧɤɰɢɢ ɜɨɡɦɨɠɧɨ ɬɨɥɶɤɨ ɩɪɢ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɢ ɭɤɚɡɚɧɧɨɝɨ ɭɫɥɨɜɢɹ

ȼ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɜ ɫɥɭɱɚɹɯ ɧɟ ɜɵɡɵɜɚɸɳɢɯ ɪɚɡɧɨɱɬɟɧɢɹ ɛɭɞɟɦ ɭɩɨɬɪɟɛ ɥɹɬɶ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɟ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɹ ɞɥɹ ɩɪɟɞɢɤɚɬɨɜ ɢ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɢɦ ɨɬɧɨɲɟ ɧɢɣ ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɩɨɦɢɦɨ ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɶɧɵɯ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɣ ɜɢɞɚ P x P x1 x2 ɞɥɹ ɞɜɭɯɦɟɫɬɧɵɯ ɩɪɟɞɢɤɚɬɨɜ ɛɭɞɟɦ ɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɹɦɢ ɜɢɞɚ x1 Px2 ɤɨɬɨ ɪɵɟ ɭɩɨɬɪɟɛɥɹɥɢɫɶ ɪɚɧɟɟ ɞɥɹ ɛɢɧɚɪɧɵɯ ɨɬɧɨɲɟɧɢɣ

ɉɪɢɦɟɪ

ɚ ɩɪɟɞɢɤɚɬ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɞɜɭɯɦɟɫɬɧɵɦ ɩɪɟɞɢɤɚɬɨɦ ɩɪɟɞɦɟɬɧɨɣ ɨɛɥɚ ɫɬɶɸ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɦɨɝɭɬ ɫɥɭɠɢɬɶ ɥɸɛɵɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ȼɵɫɤɚ ɡɵɜɚɧɢɟ 6 > 5 ɢɫɬɢɧɧɨ ɚ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɟ 3 > 10 ɥɨɠɧɨ ȿɫɥɢ ɜɦɟɫɬɨ ɨɞɧɨɣ ɢɡ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɩɨɞɫɬɚɜɢɬɶ ɱɢɫɥɨ ɬɨ ɩɨɥɭɱɢɬɫɹ ɨɞɧɨɦɟɫɬɧɵɣ ɩɪɟɞɢɤɚɬ x1 ! 3 5 ! x2 ɢ ɬɚɤ ɞɚɥɟɟ;

ɛ ɜɟɥɢɤɚɹ ɬɟɨɪɟɦɚ Ɏɟɪɦɚ ɞɨ ɫɢɯ ɩɨɪ ɧɟ ɞɨɤɚɡɚɧɧɚɹ ɭɬɜɟɪɠɞɚɟɬ ɱɬɨ ɞɥɹ ɥɸɛɨɝɨ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ n ! 2 ɧɟ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ x y z ɤɨɬɨɪɵɟ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɥɢ ɛɵ ɪɚɜɟɧɫɬɜɭ xn yn zn ɗɬɨɦɭ ɪɚɜɟɧɫɬɜɭ ɦɨɠɧɨ ɩɨ ɫɬɚɜɢɬɶ ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɩɪɟɞɢɤɚɬ P x y z n ɢɫɬɢɧɧɵɣ ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ ɤɨ ɝɞɚ ɨɧɨ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ;

ɜ ɜ ɨɩɢɫɚɧɢɹɯ ɜɵɱɢɫɥɢɬɟɥɶɧɵɯ ɩɪɨɰɟɞɭɪ ɢ ɜ ɱɚɫɬɧɨɫɬɢ ɜ ɹɡɵɤɚɯ ɩɪɨ ɝɪɚɦɦɢɪɨɜɚɧɢɹ ɱɚɫɬɨ ɜɫɬɪɟɱɚɸɬɫɹ ɭɤɚɡɚɧɢɹ ɬɢɩɚ «ɩɨɜɬɨɪɹɬɶ ɰɢɤɥ ɞɨ ɬɟɯ ɩɨɪ ɩɨɤɚ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɟ x ɢ y ɧɟ ɫɬɚɧɭɬ ɪɚɜɧɵɦɢ ɢɥɢ ɩɪɟɤɪɚɬɢɬɶ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɟ ɰɢɤɥɚ ɩɨɫɥɟ ɫɬɚ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɣª ȿɫɥɢ ɨɛɨɡɧɚɱɢɬɶ ɱɟɪɟɡ i ɫɱɟɬɱɢɤ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɣ ɬɨ ɨɩɢ ɫɚɧɧɨɟ ɡɞɟɫɶ ɭɫɥɨɜɢɟ ɩɪɢɦɟɬ ɜɢɞ x y i !100 ɚ ɫɚɦɨ ɭɤɚɡɚɧɢɟ ɜ ɰɟɥɨɦ ɨɩɢ

ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ M ɜɯɨɞɢɬ ɜ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɟ ɧɨ ɤɨɝɞɚ ɨɧɨ ɹɫɧɨ ɢɡ ɤɨɧɬɟɤɫɬɚ ɩɢɲɭɬ ɩɪɨɫɬɨ x P x Ɂɧɚɤ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɤɜɚɧɬɨɪɨɦ ɨɛɳɧɨɫɬɢ

ȼɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɟ «ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɬɚɤɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ x M ɱɬɨ P x ɢɫɬɢɧɧɨª ɨɛɨ ɡɧɚɱɚɟɬɫɹ x M P x ɢɥɢ x P x Ɂɧɚɤ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɤɜɚɧɬɨɪɨɦ ɫɭɳɟɫɬɜɨɜɚ ɧɢɹ ɉɟɪɟɯɨɞ ɨɬ ɩɪɟɞɢɤɚɬɚ P x ɤ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹɦ ɜɢɞɚ x P x ɢɥɢ x P x ɧɚɡɵɜɚ ɟɬɫɹ ɫɜɹɡɵɜɚɧɢɟɦ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ x ɚ ɬɚɤɠɟ ɧɚɜɟɲɢɜɚɧɢɟɦ ɤɜɚɧɬɨɪɚ ɧɚ ɩɟɪɟ-

61

ɦɟɧɧɭɸ x ɢɥɢ ɧɚ ɩɪɟɞɢɤɚɬ P x ɉɟɪɟɦɟɧɧɚɹ ɧɚ ɤɨɬɨɪɭɸ ɧɚɜɟɲɟɧ ɤɜɚɧɬɨɪ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɜɹɡɚɧɧɨɣ ɧɟɫɜɹɡɚɧɧɚɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɚɹ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɜɨɛɨɞɧɨɣ.

ɋɦɵɫɥ ɫɜɹɡɚɧɧɵɯ ɢ ɫɜɨɛɨɞɧɵɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɜ ɩɪɟɞɢɤɚɬɚɯ ɩɪɢɧɰɢɩɢɚɥɶɧɨ ɪɚɡɥɢɱɟɧ ɋɜɨɛɨɞɧɚɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɚɹ – ɷɬɨ ɨɛɵɱɧɚɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɚɹ ɤɨɬɨɪɚɹ ɦɨɠɟɬ ɩɪɢɧɢɦɚɬɶ ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɢɡ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ M ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ P x – ɩɟɪɟ ɦɟɧɧɨɟ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɟ ɡɚɜɢɫɹɳɟɟ ɨɬ ɡɧɚɱɟɧɢɹ x ȼɵɪɚɠɟɧɢɟ xP x ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ x ɢ ɢɦɟɟɬ ɜɩɨɥɧɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɗɬɨ ɜ ɱɚɫɬɧɨɫɬɢ ɨɡɧɚɱɚɟɬ ɱɬɨ ɩɟɪɟɢɦɟɧɨɜɚɧɢɟ ɫɜɹɡɚɧɧɨɣ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɬɨ ɟɫɬɶ ɩɟɪɟɯɨɞ ɨɬ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ x P x ɤ ɜɵɪɚɠɟɧɢɸ xP x ɢ ɧɚɨɛɨɪɨɬ ɧɟ ɦɟɧɹɟɬ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɢ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ ɉɟɪɟɦɟɧɧɵɟ ɹɜɥɹɸɳɢɟɫɹ ɩɨ ɫɭɳɟɫɬɜɭ ɫɜɹɡɚɧɧɵɦɢ ɜɫɬɪɟɱɚɸɬɫɹ ɧɟ

ɬɨɥɶɤɨ ɜ ɥɨɝɢɤɟ ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɜ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹɯ ¦ f x ɢɥɢ ³ f x dx ɩɟɪɟɦɟɧɧɚɹ x

x 1 a

ɫɜɹɡɚɧɚ ɩɪɢ ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ f ɩɟɪɜɨɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɪɚɜɧɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧ ɧɨɦɭ ɱɢɫɥɭ ɚ ɜɬɨɪɨɟ ɫɬɚɧɨɜɢɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɨɬ ɩɪɟɞɟɥɨɜ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ

ɇɚɜɟɲɢɜɚɬɶ ɤɜɚɧɬɨɪɵ ɦɨɠɧɨ ɢ ɧɚ ɦɧɨɝɨɦɟɫɬɧɵɟ ɩɪɟɞɢɤɚɬɵ ɢ ɜɨɨɛɳɟ ɧɚ ɥɸɛɵɟ ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ ɤɨɬɨɪɵɟ ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɡɚɤɥɸɱɚɸɬɫɹ ɜ ɫɤɨɛɤɢ ȼɵɪɚɠɟɧɢɟ ɧɚ ɤɨɬɨɪɨɟ ɧɚɜɟɲɢɜɚɟɬɫɹ ɤɜɚɧɬɨɪ ɢɥɢ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɛɥɚɫɬɶɸ ɞɟɣɫɬɜɢɹ ɤɜɚɧɬɨɪɚ ȼɫɟ ɜɯɨɠɞɟɧɢɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɜ ɷɬɨ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɫɜɹ ɡɚɧɧɵɦɢ ɇɚɜɟɲɢɜɚɧɢɟ ɤɜɚɧɬɨɪɚ ɧɚ ɦɧɨɝɨɦɟɫɬɧɵɣ ɩɪɟɞɢɤɚɬ ɭɦɟɧɶɲɚɟɬ ɜ ɧɟɦ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɫɜɨɛɨɞɧɵɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɢ ɩɪɟɜɪɚɳɚɟɬ ɟɝɨ ɜ ɩɪɟɞɢɤɚɬ ɨɬ ɦɟɧɶɲɟɝɨ ɱɢɫɥɚ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ

ɉɪɢɦɟɪ 6

ɚ ɩɭɫɬɶ P x – ɩɪɟɞɢɤɚɬ « x – ɱɟɬɧɨɟ ɱɢɫɥɨª Ɍɨɝɞɚ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɟ xP x ɢɫɬɢɧɧɨ ɧɚ ɥɸɛɨɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ ɱɟɬɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɢ ɥɨɠɧɨ ɟɫɥɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ M ɫɨ ɞɟɪɠɢɬ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɧɨ ɧɟɱɟɬɧɨɟ ɱɢɫɥɨ ȼɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɟ xP x ɢɫɬɢɧɧɨ ɧɚ ɥɸɛɨɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ ɫɨɞɟɪɠɚɳɟɦ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɧɨ ɱɟɬɧɨɟ ɱɢɫɥɨ ɢ ɥɨɠɧɨ ɧɚ ɥɸɛɨɦ ɦɧɨɠɟ ɫɬɜɟ ɧɟɱɟɬɧɵɯ ɱɢɫɟɥ;

ɛ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɞɜɭɯɦɟɫɬɧɵɣ ɩɪɟɞɢɤɚɬ x t y ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɯ M ɫ ɨɬɧɨɲɟ ɧɢɟɦ ɧɟɫɬɪɨɝɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɉɪɟɞɢɤɚɬ x x t y ɟɫɬɶ ɨɞɧɨɦɟɫɬɧɵɣ ɩɪɟɞɢɤɚɬ ɨɬ ɩɟ ɪɟɦɟɧɧɨɣ y ȿɫɥɢ M – ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɧɟɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɬɨ ɷɬɨɬ ɩɪɟɞɢɤɚɬ ɢɫɬɢɧɟɧ ɜ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɣ ɬɨɱɤɟ y 0 ɉɪɟɞɢɤɚɬ x y x t y ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ x y ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɟ ɢɫɬɢɧɧɨɟ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ ɫɨɫɬɨɹɳɟɦ ɢɡ ɨɞɧɨɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɢ ɥɨɠɧɨɟ ɧɚ ɜɫɹɤɨɦ ɞɪɭɝɨɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ ȼɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɟ x y x t y ɭɬɜɟɪɠɞɚɟɬ ɱɬɨ ɜ ɦɧɨ ɠɟɫɬɜɟ M ɢɦɟɟɬɫɹ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɵɣ ɷɥɟɦɟɧɬ ɞɥɹ ɥɸɛɨɝɨ y ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɬɚɤɨɣ x ɱɬɨ x t y Ɉɧɨ ɢɫɬɢɧɧɨ ɧɚ ɥɸɛɨɦ ɤɨɧɟɱɧɨɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ ȼɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɟ ɭ x x t y ɭɬɜɟɪɠɞɚɟɬ ɱɬɨ ɞɥɹ ɥɸɛɨɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚ y ɢɦɟɟɬɫɹ ɷɥɟɦɟɧɬ x

ɧɟ ɦɟɧɶɲɢɣ ɟɝɨ Ɉɧɨ ɢɫɬɢɧɧɨ ɧɚ ɥɸɛɨɦ ɧɟɩɭɫɬɨɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ ɜɜɢɞɭ ɪɟɮɥɟɤɫɢɜ

62

ɧɨɫɬɢ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ t. ɉɨɫɥɟɞɧɢɟ ɞɜɚ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɹ ɝɨɜɨɪɹɬ ɨ ɬɨɦ ɱɬɨ ɩɟɪɟɫɬɚ ɧɨɜɤɚ ɤɜɚɧɬɨɪɨɜ ɦɟɧɹɟɬ ɫɦɵɫɥ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɹ ɢ ɭɫɥɨɜɢɟ ɟɝɨ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɢ

ɂɋɌɂɇɇɕȿ ɎɈɊɆɍɅɕ ɂ ɗɄȼɂȼȺɅȿɇɌɇɕȿ ɋɈɈɌɇɈɒȿɇɂə

ɉɪɢ ɥɨɝɢɱɟɫɤɨɣ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɧɨɣ ɢɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɢɢ ɮɨɪɦɭɥ ɥɨɝɢɤɢ ɜɨɡɦɨɠɧɵ ɬɪɢ ɨɫɧɨɜɧɵɟ ɫɢɬɭɚɰɢɢ

1. ȿɫɥɢ ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ M ɞɥɹ ɮɨɪɦɭɥɵ F ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɬɚɤɚɹ ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɤɚ ɤɨɧɫɬɚɧɬ ɜɦɟɫɬɨ ɜɫɟɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɱɬɨ F ɫɬɚɧɨɜɢɬɫɹ ɢɫɬɢɧɧɵɦ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢ ɟɦ ɬɨ ɷɬɚ ɮɨɪɦɭɥɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɜɵɩɨɥɧɢɦɨɣ ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ M ȿɫɥɢ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɨɛ ɥɚɫɬɶ M ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ ɮɨɪɦɭɥɚ F ɜɵɩɨɥɧɢɦɚ ɬɨ ɮɨɪɦɭɥɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɪɨɫɬɨ ɜɵ ɩɨɥɧɢɦɨɣ ɉɪɢɦɟɪ ɜɵɩɨɥɧɢɦɨɣ ɮɨɪɦɭɥɵ – xP x y o xP x y .

2. ȿɫɥɢ ɮɨɪɦɭɥɚ F ɜɵɩɨɥɧɢɦɚ ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ M ɩɪɢ ɥɸɛɵɯ ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɤɚɯ ɤɨɧɫɬɚɧɬ ɬɨ ɨɧɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɬɨɠɞɟɫɬɜɟɧɧɨ ɢɫɬɢɧɧɨɣ ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ M. Ɏɨɪɦɭɥɚ ɬɨɠɞɟɫɬɜɟɧɧɨ ɢɫɬɢɧɧɚɹ ɜ ɥɸɛɵɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɯ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɪɨɫɬɨ ɬɨɠɞɟ ɫɬɜɟɧɧɨ ɢɫɬɢɧɧɨɣ ɢɥɢ ɨɛɳɟɡɧɚɱɢɦɨɣ ɢɥɢ ɬɚɜɬɨɥɨɝɢɟɣ ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɮɨɪɦɭɥɚ

xP x y o xP x y ɬɨɠɞɟɫɬɜɟɧɧɚ ɞɥɹ ɜɫɟɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜ ɫɨɫɬɨɹɳɢɯ ɢɡ ɨɞɧɨɝɨ ɷɥɟ ɦɟɧɬɚ ɚ ɮɨɪɦɭɥɚ x P x P x ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɬɚɜɬɨɥɨɝɢɟɣ.

3. ȿɫɥɢ ɮɨɪɦɭɥɚ F ɧɟɜɵɩɨɥɧɢɦɚ ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ M ɩɪɢ ɥɸɛɵɯ ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɤɚɯ ɤɨɧɫɬɚɧɬ ɬɨ ɨɧɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɬɨɠɞɟɫɬɜɟɧɧɨ ɥɨɠɧɨɣ ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ M Ɏɨɪɦɭɥɚ ɬɨɠɞɟɫɬɜɟɧɧɨ ɥɨɠɧɚɹ ɜ ɥɸɛɵɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɯ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɪɨɫɬɨ ɬɨɠɞɟɫɬɜɟɧɧɨ ɥɨɠɧɨɣ ɢɥɢ ɩɪɨɬɢɜɨɪɟɱɢɜɨɣ Ɏɨɪɦɭɥɚ x P x P x ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɪɨɬɢɜɨɪɟɱɢɜɨɣ Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɏɨɪɦɭɥɵ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɵɦɢ ɟɫɥɢ ɩɪɢ ɥɸɛɵɯ ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɤɚɯ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɯ ɤɨɧɫɬɚɧɬ ɨɧɢ ɩɪɢɧɢɦɚɸɬ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ȼ ɱɚɫɬɧɨɫɬɢ ɜɫɟ ɬɨɠɞɟɫɬɜɟɧɧɨ ɢɫɬɢɧɧɵɟ ɢ ɜɫɟ ɬɨɠɞɟɫɬɜɟɧɧɨ ɥɨɠɧɵɟ ɮɨɪɦɭɥɵ

ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɵɦɢ

Ɉɬɦɟɬɢɦ ɱɬɨ ɟɫɥɢ ɮɨɪɦɭɥɵ F1 ɢ F2 ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɵ ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫ ɷɬɢɦ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɦ ɬɨ ɮɨɪɦɭɥɚ F1 l F2 ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɬɨɠɞɟɫɬɜɟɧɧɨ ɢɫɬɢɧɧɨɣ

Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟ ɂɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɟ ɮɨɪɦɭɥ ɥɨɝɢɤɢ ɩɪɟɞɢɤɚɬɨɜ ɢɦɟɟɬ ɨɝɪɨɦɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɩɨɬɨɦɭ ɱɬɨ ɷɬɢ ɮɨɪɦɭɥɵ ɜɯɨɞɹɬ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢ ɜ ɥɸɛɭɸ ɮɨɪɦɚɥɶɧɭɸ ɬɟɨɪɢɸ ȼ ɫɜɹɡɢ ɫ ɷɬɢɦ ɜɨɡɧɢɤɚɸɬ ɞɜɟ ɩɪɨɛɥɟɦɵ ɩɨɥɭɱɟɧɢɟ ɢɫɬɢɧɧɵɯ ɮɨɪɦɭɥ ɢ ɩɪɨɜɟɪɤɚ ɢɦɟɸɳɢɯɫɹ ɮɨɪɦɭɥ ɧɚ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɶ ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɩɪɟɞɢɤɚɬɧɵɟ ɩɟɪɟ ɦɟɧɧɵɟ ɢɦɟɸɬ ɜ ɨɛɳɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɬɨ ɭɫɬɚɧɨ ɜɢɬɶ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɶ ɮɨɪɦɭɥ ɩɪɨɫɬɵɦ ɩɟɪɟɛɨɪɨɦ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɧɚ ɜɫɟɯ ɧɚɛɨɪɚɯ ɩɟɪɟ ɦɟɧɧɵɯ ɤɚɤ ɷɬɨ ɢɧɨɝɞɚ ɞɟɥɚɥɨɫɶ ɞɥɹ ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɩɪɨɫɬɨ ɧɟɜɨɡɦɨɠɧɨ ȼ ɫɜɹɡɢ ɫ ɷɬɢɦ ɩɪɢɯɨɞɢɬɫɹ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɤɨɫɜɟɧɧɵɟ ɩɪɢɟɦɵ

63

ɉɪɢɦɟɪ 7 Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɟ xP x ~ xP x ɉɭɫɬɶ ɞɥɹ ɧɟɤɨɬɨ ɪɨɝɨ ɩɪɟɞɢɤɚɬɚ P ɢ ɨɛɥɚɫɬɢ M ɥɟɜɚɹ ɱɚɫɬɶ ɢɫɬɢɧɧɚ Ɍɨɝɞɚ ɧɟ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɬɚɤɨ ɝɨ x0 M ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɨɝɨ P x0 ɢɫɬɢɧɧɨ ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɞɥɹ ɥɸɛɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ x P x ɥɨɠɧɨ ɬɨ ɟɫɬɶ P x ɢ ɩɪɚɜɚɹ ɱɚɫɬɶ ɢɫɬɢɧɧɚ ȿɫɥɢ ɠɟ ɥɟɜɚɹ ɱɚɫɬɶ ɥɨɠɧɚ ɬɨ ɜɫɟɝɞɚ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ x0 M ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɨɝɨ P x0 ɢɫɬɢɧɧɨ ɢ ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɩɪɚɜɚɹ ɱɚɫɬɶ ɥɨɠɧɚ

Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɞɨɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɶ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹ xP x ~ xP x . Ȼɨɥɶɲɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɢɦɟɸɬ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɤɨɬɨɪɵɟ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɞɨɤɚ

ɡɚɧɵ ɫɩɨɫɨɛɨɦ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɧɵɦ ɜ ɩɪɢɦɟɪɟɞɢɫɬɪɢɛɭɬɢɜɧɨɫɬɶ ɤɜɚɧɬɨɪɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɤɨɧɴɸɧɤɰɢɢ

x P1 x P2 x ~ xP1 x xP2 x ;

ɞɢɫɬɪɢɛɭɬɢɜɧɨɫɬɶ ɤɜɚɧɬɨɪɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɞɢɡɴɸɧɤɰɢɢ

x P1 x P2 x ~ xP1 x xP2 x .

ȿɫɥɢ ɠɟ ɤɜɚɧɬɨɪɵ ɢ ɩɨɦɟɧɹɬɶ ɦɟɫɬɚɦɢ ɬɨ ɩɨɥɭɱɚɬɫɹ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɜɟɪɧɵɟ ɬɨɥɶɤɨ ɜ ɨɞɧɭ ɫɬɨɪɨɧɭ

x P1 x P2 x o xP1 x xP2 xx P1 x P2 x o xP1 x xP2 x .

ȼ ɬɚɤɢɯ ɫɥɭɱɚɹɯ ɝɨɜɨɪɹɬ ɱɬɨ ɥɟɜɚɹ ɱɚɫɬɶ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɛɨɥɟɟ ɫɢɥɶɧɵɦ ɭɬɜɟɪ ɠɞɟɧɢɟɦ ɱɟɦ ɩɪɚɜɚɹ ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɨɧɚ ɬɪɟɛɭɟɬ ɞɥɹ ɫɜɨɟɝɨ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ ɛɨɥɟɟ ɠɟɫɬɤɢɯ ɭɫɥɨɜɢɣ Ɍɚɤ ɧɚɩɪɢɦɟɪ ɜ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɢ ɜ ɥɟɜɨɣ ɱɚɫɬɢ ɬɪɟɛɭɟɬɫɹ ɱɬɨɛɵ ɨɛɚ ɩɪɟɞɢɤɚɬɚ ɛɵɥɢ ɢɫɬɢɧɧɵ ɞɥɹ ɨɞɧɨɝɨ ɢ ɬɨɝɨ ɠɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ x ɬɨɝɞɚ ɤɚɤ ɜ ɩɪɚɜɨɣ ɱɚɫɬɢ ɨɧɢ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɢɫɬɢɧɧɵ ɩɪɢ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɉɪɢɦɟɪ ɫɥɭɱɚɹ ɤɨɝɞɚ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɢ ɜ ɨɛɪɚɬɧɭɸ ɫɬɨɪɨɧɭ ɧɟɜɟɪɧɵ P1 x –

« x – ɱɟɬɧɨɟ ɱɢɫɥɨª P2 x « x – ɧɟɱɟɬɧɨɟ ɱɢɫɥɨª.

ɉɭɫɬɶ Y – ɧɟɤɨɬɨɪɨɟ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɞɟɪɠɚɳɟɟ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ x Ɍɨɝɞɚ ɜɵɩɨɥɧɹɸɬɫɹ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹ

x P x Y ~ xP x Y ;x P x Y ~ xP x Y ;x P x Y ~ xP x Y ;x P x Y ~ xP x Y .

ɗɬɢ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɨɡɧɚɱɚɸɬ ɱɬɨ ɮɨɪɦɭɥɭ ɧɟ ɫɨɞɟɪɠɚɳɭɸ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ x ɦɨɠɧɨ ɜɵɧɨɫɢɬɶ ɡɚ ɨɛɥɚɫɬɶ ɞɟɣɫɬɜɢɹ ɤɜɚɧɬɨɪɚ ɫɜɹɡɵɜɚɸɳɟɝɨ ɷɬɭ ɩɟɪɟɦɟɧɧɭɸ

ȾɈɄȺɁȺɌȿɅɖɋɌȼȺ ȼ ɅɈȽɂɄȿ ɉɊȿȾɂɄȺɌɈȼ

Ɇɟɬɨɞ ɞɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɚ ɮɨɪɦɭɥ ɫɨɞɟɪɠɚɳɢɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɟ ɩɭɬɟɦ ɧɟɩɨ ɫɪɟɞɫɬɜɟɧɧɨɣ ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɤɢ ɜ ɧɢɯ ɤɨɧɫɬɚɧɬ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɦɟɬɨɞɨɦ ɢɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɢɣ

64

ɢɥɢ ɦɟɬɨɞɨɦ ɦɨɞɟɥɟɣ ɉɨɞɫɬɚɧɨɜɤɚ ɤɨɧɫɬɚɧɬ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɢɧɬɟɪɩɪɟɬɢɪɨɜɚɬɶ ɮɨɪ ɦɭɥɭ ɤɚɤ ɨɫɦɵɫɥɟɧɧɨɟ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟ ɨɛ ɷɥɟɦɟɧɬɚɯ ɤɨɧɤɪɟɬɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɉɨ ɷɬɨɦɭ ɬɚɤɨɣ ɦɟɬɨɞ ɜɵɹɫɧɹɸɳɢɣ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɶ ɮɨɪɦɭɥɵ ɩɭɬɟɦ ɨɛɪɚɳɟɧɢɹ ɤ ɟɟ ɜɨɡɦɨɠɧɨɦɭ ɫɦɵɫɥɭ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɟɦɚɧɬɢɱɟɫɤɢɦ ɫɦɵɫɥɨɜɵɦ Ɇɟɬɨɞ ɢɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɢɣ ɭɞɨɛɟɧ ɞɥɹ ɞɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɚ ɜɵɩɨɥɧɢɦɨɫɬɢ ɮɨɪɦɭɥ ɢɥɢ ɢɯ ɧɟɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɢ ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɢ ɜ ɬɨɦ ɢ ɜ ɞɪɭɝɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɧɚɣɬɢ ɨɞɧɭ ɩɨɞɯɨɞɹɳɭɸ ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɤɭ Ɉɧ ɭɞɨɛɟɧ ɬɚɤɠɟ ɞɥɹ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɹ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɢ ɮɨɪɦɭɥ ɧɚ ɤɨɧɟɱɧɵɯ ɨɛɥɚɫɬɹɯ Ⱦɟɥɨ ɜ ɬɨɦ ɱɬɨ ɟɫɥɢ ɨɛɥɚɫɬɶ Ɇ ^a1 an ` ɤɨɧɟɱɧɚ ɬɨ ɤɜɚɧɬɨɪɵ ɩɟɪɟɯɨɞɹɬ ɜ ɤɨɧɟɱɧɵɟ ɮɨɪɦɭɥɵ ɥɨɝɢɤɢ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɣ

xP x ~ P a1 P an xP x ~ P a1 P an .

Ɂɚɦɟɧɹɹ ɜɫɟ ɤɜɚɧɬɨɪɵ ɩɨ ɷɬɢɦ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹɦ ɥɸɛɭɸ ɮɨɪɦɭɥɭ ɥɨɝɢɤɢ ɩɪɟɞɢɤɚɬɨɜ ɦɨɠɧɨ ɩɟɪɟɜɟɫɬɢ ɜ ɮɨɪɦɭɥɭ ɫɨɫɬɨɹɳɭɸ ɢɡ ɩɪɟɞɢɤɚɬɨɜ ɫɨɟɞɢɧɟɧ ɧɵɯ ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɦɢ ɨɩɟɪɚɰɢɹɦɢ ɂɫɬɢɧɧɨɫɬɶ ɬɚɤɨɣ ɮɨɪɦɭɥɵ ɧɚ ɤɨɧɟɱɧɨɣ ɨɛɥɚɫɬɢ ɩɪɨɜɟɪɹɬɫɹ ɤɨɧɟɱɧɵɦ ɱɢɫɥɨɦ ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɨɤ ɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ Ɇɟɬɨɞɵ ɪɚɫɫɭɠ ɞɟɧɢɣ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɳɢɟ ɬɨɥɶɤɨ ɤɨɧɟɱɧɵɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɤɨɧɟɱɧɵɯ ɨɛɴɟɤɬɨɜ ɧɚɡɵ ɜɚɸɬɫɹ ɮɢɧɢɬɧɵɦɢ.

Ⱦɥɹ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɵɯ ɠɟ ɨɛɥɚɫɬɟɣ ɜ ɨɛɳɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɩɪɢ ɞɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɟ ɬɨɠ ɞɟɫɬɜɟɧɧɨɣ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɢ ɮɨɪɦɭɥ ɦɟɬɨɞ ɢɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɢɢ ɫɜɹɡɚɧ ɫ ɛɨɥɶɲɢɦɢ ɬɪɭɞ ɧɨɫɬɹɦɢ ɉɨɷɬɨɦɭ ɞɥɹ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɢɫɬɢɧɧɵɯ ɮɨɪɦɭɥ ɜ ɥɨɝɢɤɟ ɩɪɟ ɞɢɤɚɬɨɜ ɜɵɛɢɪɚɟɬɫɹ ɢɧɨɣ ɩɭɬɶ ɗɬɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɩɨɪɨɠɞɚɟɬɫɹ ɢɡ ɧɟɤɢɯ ɢɫɯɨɞɧɵɯ ɮɨɪɦɭɥ ɚɤɫɢɨɦ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɮɨɪɦɚɥɶɧɵɯ ɩɪɨɰɟɞɭɪ – ɩɪɚɜɢɥ ɜɵɜɨɞɚ ɂɫɩɨɥɶ ɡɭɸɬɫɹ ɥɢɲɶ ɮɨɪɦɚɥɶɧɵɟ ɚ ɧɟ ɫɨɞɟɪɠɚɬɟɥɶɧɵɟ ɜɧɟɲɧɢɟ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚ ɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɫɢɦɜɨɥɨɜ ɨɛɪɚɡɭɸɳɢɯ ɮɨɪɦɭɥɵ ɩɪɢɱɟɦ ɷɬɢ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɩɨɥɧɨɫɬɶɸ ɨɩɢɫɵɜɚɸɬɫɹ ɩɪɚɜɢɥɚɦɢ ɜɵɜɨɞɚ Ɇɧɨɠɟɫɬɜɚ ɩɨɪɨɠɞɟɧɧɵɟ ɬɚɤɢɦ ɮɨɪɦɚɥɶɧɵɦ ɦɟɬɨɞɨɦ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɮɨɪɦɚɥɶɧɵɦɢ

ʚˈˍ˙ˋˢ ͒ 3Ǥ ʙˑˏ˄ˋː˃˕ˑ˓ˋˍ˃

ȼ ɷɬɨɣ ɥɟɤɰɢɢ ɞɚɸɬɫɹ ɨɫɧɨɜɧɵɟ ɧɚɱɚɥɶɧɵɟ ɫɜɟɞɟɧɢɹ ɢɡ ɤɨɦɛɢɧɚɬɨɪɢɤɢ ɗɬɨ ɫɥɭɠɟɛɧɵɣ ɪɚɡɞɟɥ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ ɡɚɧɢɦɚɸɳɢɣɫɹ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɟɦ ɪɚɡɥɢɱ ɧɵɯ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɣ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɜɫɟɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜ Ɏɨɪɦɭɥɵ ɤɨɦɛɢɧɚɬɨɪɢɤɢ ɲɢɪɨɤɨ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɜ ɬɟɨɪɢɢ ɜɵɱɢɫɥɢɬɟɥɶɧɵɯ ɦɚ ɲɢɧ ɜ ɧɟɤɨɬɨɪɵɯ ɪɚɡɞɟɥɚɯ ɷɤɨɧɨɦɢɤɟ ɜ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɟ ɢ ɞɪɭɝɢɯ ɩɪɢɤɥɚɞɧɵɯ ɞɢɫ ɰɢɩɥɢɧɚɯ

65

1. ɉɊȺȼɂɅȺ ɋɍɆɆɕ ɂ ɉɊɈɂɁȼȿȾȿɇɂə

Ȼɭɞɟɦ ɜ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɨɩɟɪɢɪɨɜɚɬɶ ɬɨɥɶɤɨ ɫ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɦɢ ɫɨɞɟɪɠɚɳɢɦɢ ɤɨɧɟɱɧɨɟ ɱɢɫɥɨ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɇɚ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɵɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɜɫɟ ɧɢɠɟɩɪɢɜɟɞɟɧɧɵɟ ɩɪɚɜɢɥɚ ɢ ɮɨɪɦɭɥɵ ɧɟ ɪɚɫɩɪɨɫɬɪɚɧɹɸɬɫɹ

Ɍɟɨɪɟɦɚ ɉɭɫɬɶ ɞɚɧɵ ɧɟɩɟɪɟɫɟɤɚɸɳɢɟɫɹ ɤɨɧɟɱɧɵɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ X1 X k Ɍɨɝɞɚ ɦɨɳɧɨɫɬɶ ɨɛɴɟɞɢɧɟɧɢɹ ɷɬɢɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜ ɪɚɜɧɚ ɫɭɦɦɟ ɦɨɳɧɨ-

ɫɬɟɣ ɞɚɧɧɵɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜ

X1 X n X1 X 2 .

Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ ɷɬɨɣ ɬɟɨɪɟɦɵ ɨɱɟɜɢɞɧɨ ɇɨ ɞɥɹ ɧɚɫ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɢɧɬɟɪɟɫ ɞɪɭɝɚɹ ɢɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɢɹ ɷɬɨɣ ɬɟɨɪɟɦɵ ɤɨɬɨɪɭɸ ɦɵ ɫɮɨɪɦɭɥɢɪɭɟɦ ɞɥɹ ɞɜɭɯ ɦɧɨ ɠɟɫɬɜ

ȿɫɥɢ ɧɟɤɨɬɨɪɵɣ ɷɥɟɦɟɧɬ x ɦɨɠɧɨ ɜɵɛɪɚɬɶ n ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɚ ɷɥɟɦɟɧɬ y – m ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɩɪɢɱɟɦ ɥɸɛɨɣ ɫɩɨɫɨɛ ɜɵɛɨɪɚ ɷɥɟɦɟɧɬɚ x ɨɬɥɢɱɚɟɬɫɹ ɨɬ ɥɸɛɨɝɨ ɫɩɨɫɨɛɚ ɜɵɛɨɪɚ ɷɥɟɦɟɧɬɚ y ɬɨ ɜɵɛɨɪ « x ɢɥɢ y ª ɦɨɠɧɨ ɫɞɟɥɚɬɶ n m ɫɩɨɫɨɛɚ ɦɢ ɗɬɨ ɩɪɚɜɢɥɨ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɪɚɜɢɥɨɦ ɫɭɦɦɵ.

ɉɭɫɬɶ ɞɚɧɵ ɧɟɩɟɪɟɫɟɤɚɸɳɢɟɫɹ ɤɨɧɟɱɧɵɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ X1 X k Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ ɱɢɫɥɨ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɜ ɷɬɢɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɯ ɢɯ ɦɨɳɧɨɫɬɢ n1 nk Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɞɟɤɚɪ ɬɨɜɨ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɷɬɢɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜ X1 u u X k ɇɚɩɨɦɧɢɦ ɱɬɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚɦɢ ɷɬɨɝɨ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ ɛɭɞɭɬ ɜɟɤɬɨɪɵ ɤɨɪɬɟɠɢ ɞɥɢɧɵ k ɜɢɞɚ x1 xn .

Ɍɟɨɪɟɦɚ ɑɢɫɥɨ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɜ ɞɟɤɚɪɬɨɜɨɦ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜ ɪɚɜɧɨ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɸ ɦɨɳɧɨɫɬɟɣ ɷɬɢɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜ

X1 u u X k X1 u u X k n1 nk .

Ʉɚɤ ɢ ɜ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɫɮɨɪɦɭɥɢɪɭɟɦ ɞɚɧɧɭɸ ɬɟɨɪɟɦɭ ɭɩɪɨɳɟɧ ɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɞɥɹ ɞɜɭɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜ ȿɫɥɢ ɷɥɟɦɟɧɬ x ɦɨɠɧɨ ɜɵɛɪɚɬɶ n ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɚ ɷɥɟɦɟɧɬ y–m ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɩɪɢɱɟɦ ɥɸɛɨɣ ɫɩɨɫɨɛ ɜɵɛɨɪɚ ɷɥɟɦɟɧɬɚ x ɨɬɥɢɱɚɟɬɫɹ ɨɬ ɥɸɛɨɝɨ ɫɩɨɫɨɛɚ ɜɵɛɨɪɚ ɷɥɟɦɟɧɬɚ y ɬɨ ɜɵɛɨɪ «x ɢ yª ɬɨ ɟɫɬɶ ɩɚɪɵ x y ɦɨɠɧɨ ɫɞɟɥɚɬɶ mn ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɗɬɨ ɩɪɚɜɢɥɨ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɪɚɜɢɥɨɦ ɩɪɨ ɢɡɜɟɞɟɧɢɹ ɢɥɢ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ.

Ɉɛɚ ɫɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɚɧɧɵɯ ɩɪɚɜɢɥɚ ɜɟɪɧɵ ɞɥɹ ɥɸɛɨɝɨ ɤɨɧɟɱɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɤɨ ɧɟɱɧɵɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜ ɢ ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɣ ɮɨɪɦɟ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɨɛɨɛɳɟɧɧɵɦɢ.

ɉɪɢɦɟɪ 8

ɚ ɜ ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɫɪɟɞɧɟɣ ɲɤɨɥɟ ɢɦɟɟɬɫɹ ɬɪɢ ɩɹɬɵɯ ɤɥɚɫɫɚ ɜ ɤɨɬɨɪɵɯ ɨɛɭ ɱɚɸɬɫɹ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ɢ ɭɱɚɳɢɯɫɹ Ɍɪɟɛɭɟɬɫɹ ɨɞɧɨɝɨ ɢɡ ɧɢɯ ɜɵɛɪɚɬɶ ɞɥɹ ɭɱɚɫɬɢɹ ɜ ɫɨɜɟɬɟ ɲɤɨɥɵ ɋɤɨɥɶɤɢɦɢ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɦɨɠɧɨ ɫɞɟɥɚɬɶ ɜɵɛɨɪ"

ɉɨ ɩɪɚɜɢɥɭ ɫɭɦɦɵ ɩɨɥɭɱɚɟɦ 28 + 31 +

66

ɛ ɜ ɫɟɤɰɢɢ ɮɢɝɭɪɧɨɝɨ ɤɚɬɚɧɢɹ ɡɚɧɢɦɚɸɬɫɹ ɦɚɥɶɱɢɤɨɜ ɢ ɞɟɜɨɱɟɤ ɋɤɨɥɶɤɢɦɢ ɪɚɡɥɢɱɧɵɦɢ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɢɡ ɞɟɬɟɣ ɡɚɧɢɦɚɸɳɢɯɫɹ ɜ ɫɟɤɰɢɢ ɦɨɠɧɨ ɨɛɪɚɡɨɜɚɬɶ ɫɩɨɪɬɢɜɧɵɟ ɩɚɪɵ

ɉɨ ɩɪɚɜɢɥɭ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ā 252.

ɊȺɁɆȿɓȿɇɂə

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ʌɸɛɨɣ ɜɟɤɬɨɪ ɞɥɢɧɵ k ɫɨɫɬɚɜɥɟɧɧɵɣ ɢɡ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ n – ɷɥɟɦɟɧɬɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ X ɜ ɤɨɬɨɪɨɦ ɜɫɟ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɪɚɡɥɢɱɧɵ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɪɚɡ ɦɟɳɟɧɢɟɦ ɛɟɡ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɣ ɩɨ k ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɢɡ n ɑɢɫɥɨ ɜɫɟɯ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɣ ɛɟɡ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɣ ɩɨ k ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɢɡ n ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ Ank ɢ ɪɚɜɧɨ n n 1 n 2 n k 1 .

ɉɪɢɦɟɪ 9 Ʉɭɩɥɟɧɨ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɤɧɢɝ ɇɚ ɩɨɥɤɟ ɦɨɠɧɨ ɩɨɫɬɚɜɢɬɶ ɜ ɪɹɞ ɪɨɜɧɨ ɤɧɢɝ ɋɤɨɥɶɤɢɦɢ ɪɚɡɥɢɱɧɵɦɢ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɦɨɠɧɨ ɷɬɨ ɫɞɟɥɚɬɶ"

Ȼɭɞɟɦ ɫɱɢɬɚɬɶ ɪɚɡɥɢɱɧɵɦɢ ɧɟ ɬɨɥɶɤɨ ɬɟ ɫɥɭɱɚɢ ɤɨɝɞɚ ɛɟɪɭɬɫɹ ɪɚɡɧɵɟ ɤɧɢɝɢ ɧɨ ɢ ɤɨɝɞɚ ɨɧɢ ɩɨ-ɪɚɡɧɨɦɭ ɪɚɫɫɬɚɜɥɟɧɵ ɧɚ ɩɨɥɤɟ ɜ ɪɚɡɥɢɱɧɨɦ ɩɨɪɹɞɤɟ Ɍɨɝɞɚ ɪɟɱɶ ɢɞɟɬ ɨ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɚɯ ɩɨ ɢɡ ɉɨɥɭɱɚɟɦ A126 12 11 10 9 8 7 665 280 .

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɨ ɞɪɭɝɨɣ ɫɥɭɱɚɣ ɚ ɢɦɟɧɧɨ ɤɨɝɞɚ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɦɧɨ ɠɟɫɬɜɚ X ɜ ɜɟɤɬɨɪɚɯ ɦɨɝɭɬ ɩɨɜɬɨɪɹɬɶɫɹ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ʌɸɛɨɣ ɜɟɤɬɨɪ ɞɥɢɧɵ k ɫɨɫɬɚɜɥɟɧɧɵɣ ɢɡ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ n ɷɥɟɦɟɧɬɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ X ɫɨɫɬɨɹɳɟɝɨ ɢɡ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɜ ɤɨɬɨɪɨɦ ɜɫɟ ɷɥɟɦɟɧ-

ɬɵ ɪɚɡɥɢɱɧɵ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɟɦ ɫ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɹɦɢ ɩɨ k ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɢɡ n

ɑɢɫɥɨ ɜɫɟɯ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɣ ɫ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɹɦɢ ɩɨ k ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɢɡ n ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ Ank ɢ ɪɚɜɧɨ nk .

ɉɪɢɦɟɪ ɋɤɨɥɶɤɨ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɣ ɦɨɠɟɬ ɩɨɥɭɱɢɬɶɫɹ ɩɪɢ ɨɞ ɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨɦ ɛɪɨɫɚɧɢɢ ɬɪɟɯ ɢɝɪɚɥɶɧɵɯ ɤɨɫɬɟɣ"

Ʉɚɠɞɚɹ ɢɝɪɚɥɶɧɚɹ ɤɨɫɬɶ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɣ ɤɭɛɢɤ ɧɚ ɝɪɚɧɹɯ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɧɚɧɟɫɟɧɨ ɨɬ ɨɞɧɨɝɨ ɞɨ ɨɱɤɨɜ ɉɪɢ ɤɚɠɞɨɦ ɛɪɨɫɚɧɢɢ ɦɵ ɛɭɞɟɦ ɩɨɥɭɱɚɬɶ ɧɚɛɨɪɵ ɜɢɞɚ a1a2 a3 ɝɞɟ d ai d i – ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɨɱɤɨɜ ɜɵɩɚɜɲɢɯ ɧɚ ɫɨ-

ɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɣ ɤɨɫɬɢ Ɋɟɱɶ ɢɞɟɬ ɨ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɚɯ ɫ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɹɦɢ ɩɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɢɡ ɉɨɥɭɱɚɟɦ A63 63 216 .

Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟ Ɉɱɟɜɢɞɧɨ ɱɬɨ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɹ ɛɟɡ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɣ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɱɚɫɬɧɵɦ ɫɥɭɱɚɟɦ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɣ ɫ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɹɦɢ

ɉȿɊȿɋɌȺɇɈȼɄɂ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ʌɸɛɨɣ ɜɟɤɬɨɪ ɞɥɢɧɵ n ɫɨɫɬɚɜɥɟɧɧɵɣ ɢɡ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ n ɷɥɟɦɟɧɬɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ X ɜ ɤɨɬɨɪɨɦ ɜɫɟ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɪɚɡɥɢɱɧɵ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɟ

67

ɪɟɫɬɚɧɨɜɤɨɣ ɛɟɡ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɣ ɢɡ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɑɢɫɥɨ ɜɫɟɯ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɛɟɡ ɩɨ ɜɬɨɪɟɧɢɣ ɢɡ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ Pn ɢ ɪɚɜɧɨ n!.

ɂɡ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɢ ɮɨɪɦɭɥɵ ɜɢɞɧɨ ɱɬɨ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ ɛɟɡ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɣ ɟɫɬɶ ɱɚɫɬɧɵɣ ɫɥɭɱɚɣ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɣ ɛɟɡ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɣ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ k n .

ɉɪɢɦɟɪ ɋɤɨɥɶɤɢɦɢ ɪɚɡɥɢɱɧɵɦɢ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɦɨɠɧɨ ɪɚɫɫɬɚɜɢɬɶ ɧɚ ɩɨɥɤɟ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɤɧɢɝ"

Ɂɞɟɫɶ ɜ ɨɬɥɢɱɢɟ ɨɬ ɩɪɢɦɟɪɚ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɢɦɟɟɬ ɬɨɥɶɤɨ ɩɨɪɹɞɨɤ ɪɚɫɫɬɚɜɥɹ ɟɦɵɯ ɤɧɢɝ ɉɨɷɬɨɦɭ ɪɟɱɶ ɢɞɟɬ ɨ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɚɯ ɢɡ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɉɨɥɭɱɚɟɦ

P10 10! 3 628 800 .

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɥɭɱɚɣ ɤɨɝɞɚ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ X ɩɨɜɬɨɪɹɸɬɫɹ ɩɨ ɧɟ ɫɤɨɥɶɤɭ ɪɚɡ Ⱦɥɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɫɬɢ ɩɭɫɬɶ -ɣ ɷɥɟɦɟɧɬ ɩɨɜɬɨɪɹɟɬɫɹ k1 ɪɚɡ -ɣ ɷɥɟ ɦɟɧɬ – k2 ɪɚɡ ɢ ɬɚɤ ɞɚɥɟɟ Ɍɨɝɞɚ ɜɟɤɬɨɪɵ ɞɥɢɧɵ ɩ ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɧɵɟ ɢɡ ɷɥɟɦɟɧ-

ɬɨɜ ɞɚɧɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɚɦɢ ɢɡ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɫ ɩɨɜɬɨ

ɉɪɢɦɟɪ ɋɤɨɥɶɤɨ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɲɟɫɬɢɡɧɚɱɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɡɚɩɢɫɚ ɧɨ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɰɢɮɪ "

ɂɦɟɟɬɫɹ ɧɚɛɨɪ ɢɡ ɲɟɫɬɢ ɰɢɮɪ ɜ ɤɨɬɨɪɨɦ ɰɢɮɪɚ ɩɨɜɬɨɪɹɟɬɫɹ ɬɪɢɠɞɵ ɢ ɰɢɮɪɚ – ɞɜɚɠɞɵ ɉɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɱɢɫɥɚ ɛɭɞɭɬ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɬɶ ɫɨɛɨɣ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜ-

ɋɈɑȿɌȺɇɂə ȻɂɇɈɆ ɇɖɘɌɈɇȺ

ɉɪɟɠɞɟ ɜɫɟɝɨ ɨɬɦɟɬɢɦ ɨɞɧɨ ɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɨɟ ɨɬɥɢɱɢɟ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɨɬ ɪɚɡ ɦɟɳɟɧɢɣ ȿɫɥɢ ɜ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɹɯ ɜɟɤɬɨɪɵ ɪɚɡɥɢɱɚɸɬɫɹ ɢ ɩɨ ɫɨɫɬɚɜɭ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɢ ɩɨ ɢɯ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɢɸ ɩɨɪɹɞɤɭ ɜ ɧɚɛɨɪɟ ɬɨ ɜ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɚɯ ɜɟɤɬɨɪɵ ɪɚɡɥɢ ɱɚɸɬɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɩɨ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɢɸ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ȿɫɬɟɫɬɜɟɧɧɨ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɬɶ ɫɥɭɱɚɣ ɤɨɝɞɚ ɜɟɤɬɨɪɵ ɧɚɨɛɨɪɨɬ ɛɭɞɭɬ ɪɚɡɥɢɱɚɬɶɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɩɨ ɫɨɫɬɚɜɭ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ʌɸɛɵɟ ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɜɟɤɬɨɪɵ ɞɥɢɧɵ k ɫɨɫɬɚɜɥɟɧɧɵɟ ɢɡ ɷɥɟ ɦɟɧɬɨɜ n ɷɥɟɦɟɧɬɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ X ɪɚɡɥɢɱɚɸɳɢɟɫɹ ɦɟɠɞɭ ɫɨɛɨɣ ɩɨ ɧɚɛɨɪɭ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɧɨ ɧɟ ɩɨ ɢɯ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɢɸ ɜ ɧɚɛɨɪɟ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɫɨɱɟɬɚɧɢɹɦɢ ɩɨ k ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɢɡ n.

ȿɫɥɢ ɜɫɟ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɨɛɪɚɡɭɸɳɢɟ ɫɨɱɟɬɚɧɢɹ ɪɚɡɥɢɱɧɵ ɬɨ ɢɯ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɫɨɱɟɬɚɧɢɟɦ ɛɟɡ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɣ Ɉɛɨɡɧɚɱɟɧɢɟ ɜɫɟɯ ɫɨɱɟɬɚɧɢɣ ɛɟɡ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɣ ɋnk .

68

ɡɭɸɳɢɟ ɫɨɱɟɬɚɧɢɹ ɦɨɝɭɬ ɩɨɜɬɨɪɹɬɶɫɹ ɬɨ ɢɯ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɫɨɱɟɬɚɧɢɹɦɢ ɩɨɜɬɨɪɟ ɧɢɹɦɢ Ɉɛɨɡɧɚɱɟɧɢɟ ɜɫɟɯ ɫɨɱɟɬɚɧɢɣ ɛɟɡ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɣ ɋnk Ɏɨɪɦɭɥɚ ɞɥɹ ɜɵɱɢɫɥɟ

Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟ ɋɨɱɟɬɚɧɢɹ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɱɚɫɬɧɵɦ ɫɥɭɱɚɟɦ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɣ Ɋɚɡɧɢɰɚ ɦɟɠɞɭ ɫɨɱɟɬɚɧɢɹɦɢ ɢ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɹɦɢ ɢɡ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɧɟɨɱɟɜɢɞɧɚ ɧɨ ɧɚ ɤɨɧ ɤɪɟɬɧɵɯ ɩɪɢɦɟɪɚɯ ɟɟ ɥɟɝɤɨ ɜɢɞɟɬɶ Ɍɚɤ ɧɚɩɪɢɦɟɪ ɜɟɤɬɨɪɵ 1 2 3 ɢ 3 2 1 ɹɜ ɥɹɸɬɫɹ ɪɚɡɥɢɱɧɵɦɢ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɹɦɢ ɧɨ ɨɛɨɡɧɚɱɚɸɬ ɨɞɧɨ ɢ ɬɨ ɠɟ ɫɨɱɟɬɚɧɢɟ

Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟ Ⱦɥɹ ɫɨɱɟɬɚɧɢɣ ɛɟɡ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɣ ɨɛɹɡɚɬɟɥɶɧɨ ɬɪɟɛɨɜɚɧɢɟ k d n ɩɪɢɱɟɦ ɜ ɫɥɭɱɚɟ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɩɨɥɭɱɢɦ ɟɫɬɟɫɬɜɟɧɧɵɣ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ Cnn 1 ɇɨ ɞɥɹ ɫɨɱɟɬɚɧɢɣ ɫ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɹɦɢ ɷɬɨ ɬɪɟɛɨɜɚɧɢɟ ɧɟɨɛɹɡɚɬɟɥɶɧɨ ɤɚɤ ɛɭɞɟɬ ɜɢɞɧɨ ɢɡ ɩɪɢɜɟɞɟɧɧɨɝɨ ɧɢɠɟ ɩɪɢɦɟɪɚ

ɉɪɢɦɟɪ

ɚ ɜ ɨɬɞɟɥɟ ɪɚɛɨɬɚɸɬ ɫɨɬɪɭɞɧɢɤɨɜ Ɍɪɟɛɭɟɬɫɹ ɨɬɨɛɪɚɬɶ ɬɪɟɯ ɢɡ ɧɢɯ ɞɥɹ ɬɨɝɨ ɱɬɨɛɵ ɧɚɩɪɚɜɢɬɶ ɜ ɤɨɦɚɧɞɢɪɨɜɤɭ ɋɤɨɥɶɤɢɦɢ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɦɨɠɧɨ ɷɬɨ ɫɞɟ ɥɚɬɶ"

ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɢɦɟɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨ ɤɚɤɢɟ ɢɦɟɧɧɨ ɫɨɬɪɭɞɧɢɤɢ ɨɬɨɛɪɚ ɧɵ ɬɨ ɪɟɱɶ ɢɞɟɬ ɨ ɫɨɱɟɬɚɧɢɹɯ ɛɟɡ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɣ ɩɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɢɡ ɉɨɥɭɱɚɟɦ

ɛ ɜ ɰɜɟɬɨɱɧɨɦ ɦɚɝɚɡɢɧɟ ɢɦɟɸɬɫɹ ɜ ɩɪɨɞɚɠɟ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɜɢɞɨɜ ɰɜɟɬɨɜ ɉɨɤɭɩɚɬɟɥɸ ɬɪɟɛɭɟɬɫɹ ɫɨɫɬɚɜɢɬɶ ɛɭɤɟɬ ɢɡ ɰɜɟɬɨɜ ɋɤɨɥɶɤɢɦɢ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɦɨɠɧɨ ɷɬɨ ɫɞɟɥɚɬɶ"

Ȼɭɞɟɦ ɫɱɢɬɚɬɶ ɪɚɡɥɢɱɧɵɦɢ ɬɟ ɛɭɤɟɬɵ ɤɨɬɨɪɵɟ ɨɬɥɢɱɚɸɬɫɹ ɞɪɭɝ ɨɬ ɞɪɭɝɚ ɩɨ ɩɨɞɛɨɪɭ ɰɜɟɬɨɜ ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɰɜɟɬɵ ɜ ɛɭɤɟɬɟ ɦɨɝɭɬ ɩɨɜɬɨɪɹɬɶɫɹ ɬɨ ɪɟɱɶ ɢɞɟɬ ɨ ɫɨɱɟɬɚɧɢɹɯ ɫ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɹɦɢ ɩɨ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɢɡ Ɍɨɝɞɚ ɩɨɥɭɱɢɦ

Ɉɞɧɢɦ ɢɡ ɧɚɢɛɨɥɟɟ ɢɡɜɟɫɬɧɵɯ ɩɪɢɦɟɪɨɜ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɹ ɤɨɦɛɢɧɚɬɨɪɧɵɯ ɮɨɪɦɭɥ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɬɚɤ ɧɚɡɵɜɚɟɦɵɣ ɛɢɧɨɦ ɇɶɸɬɨɧɚ ȼ ɨɛɳɟɦ ɜɢɞɟ ɮɨɪɦɭɥɚ ɛɢ ɧɨɦɚ ɞɜɭɱɥɟɧɚ ɇɶɸɬɨɧɚ ɜɵɝɥɹɞɢɬ ɬɚɤ

n

a b n Cn0 an Cn1 an 1b Cn2 an 2b2 Cnn 2 a2bn 2 Cnn 1abn 1 Cnnbn ¦Cnk an k bk .

k 0

69

ɋ ɱɚɫɬɧɵɦɢ ɫɥɭɱɚɹɦɢ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɹ ɷɬɨɣ ɮɨɪɦɭɥɵ ɞɥɹ ɫɥɭɱɚɟɜ n 2 ɢ n 3 ɫɬɚɥɤɢɜɚɸɬɫɹ ɟɳɟ ɜ ɲɤɨɥɟ ɩɪɢ ɢɡɭɱɟɧɢɢ ɮɨɪɦɭɥ ɫɨɤɪɚɳɟɧɧɨɝɨ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ

ɇɚ ɩɪɚɤɬɢɤɟ ɞɥɹ ɭɞɨɛɫɬɜɚ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɢ ɛɢɧɨɦɚ ɇɶɸɬɨɧɚ ɩɪɢɦɟɧɹɸɬ ɬɚɤ ɧɚɡɵɜɚɟɦɵɣ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤ ɉɚɫɤɚɥɹ ɤɨɬɨɪɵɣ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ ɩɨɥɢɧɨɦɚ ɜ ɩɪɚɜɨɣ ɱɚɫɬɢ ɮɨɪɦɭɥɵ

1

11

12 1

13 3 1

14 6 4 1

15 10 10 5 1

…………………..

70