Дискретная математика. Учебное пособие-1

Ⱦɨɤɚɡɚɧɨ ɱɬɨ ɤɚɠɞɭɸ ɩɨɥɭɝɪɭɩɩɭ ɦɨɠɧɨ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɢɡ ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɫɜɨɛɨɞ ɧɨɣ ɩɨɥɭɝɪɭɩɩɵ ɜɜɟɞɟɧɢɟɦ ɧɟɤɨɬɨɪɵɯ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɳɢɯ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɣ ɗɥɟɦɟɧɬɵ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɬɚɤ ɩɨɥɭɝɪɭɩɩɵ – ɷɬɨ ɫɥɨɜɚ ɜ ɚɥɮɚɜɢɬɟ ɨɛɪɚɡɭɸɳɢɯ ɩɪɢɱɟɦ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɫɥɨɜɚ ɪɚɜɧɵ ɬɨ ɟɫɬɶ ɡɚɞɚɸɬ ɨɞɢɧ ɷɥɟɦɟɧɬ ɜ ɫɢɥɭ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɳɢɯ ɫɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɣ Ɉɧɢ ɩɨɡɜɨɥɹɸɬ ɢɡ ɥɸɛɨɝɨ ɫɥɨɜɚ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɥɸɛɵɟ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɵɟ ɟɦɭ ɫɥɨɜɚ Ɉɬɧɨɲɟɧɢɟ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɫɥɨɜ ɟɫɬɶ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɢ Ʉɫɬɚɬɢ ɧɚɦɧɨɝɨ ɫɥɨɠɧɟɟ ɜɵɹɫɧɢɬɶ ɞɥɹ ɞɜɭɯ ɞɚɧɧɵɯ ɫɥɨɜ ɦɨɠɧɨ ɥɢ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɨɞɧɨ ɢɡ ɞɪɭɝɨɝɨ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɳɢɯ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɣ ɂɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɟ ɷɬɨɣ ɩɪɨ ɛɥɟɦɵ ɨɤɚɡɚɥɨ ɡɧɚɱɢɬɟɥɶɧɨɟ ɜɥɢɹɧɢɟ ɧɚ ɬɟɨɪɢɸ ɚɥɝɨɪɢɬɦɨɜ

2. ȽɊɍɉɉɕ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ƚɪɭɩɩɨɣ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɨɥɭɝɪɭɩɩɚ ɫ ɟɞɢɧɢɰɟɣ ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ ɞɥɹ ɤɚɠɞɨɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚ a ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɷɥɟɦɟɧɬ a 1 ɧɚɡɵɜɚɟɦɵɣ ɨɛɪɚɬɧɵɦ ɤ ɷɥɟ ɦɟɧɬɭ a ɢ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɢɣ ɭɫɥɨɜɢɸ aa 1 e .

ȿɫɥɢ ɧɟ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɜ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɢ ɩɨɧɹɬɢɟ ɩɨɥɭɝɪɭɩɩɵ ɬɨ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɩɨɧɹɬɢɟ ɝɪɭɩɩɵ ɦɨɠɧɨ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨ Ⱥ ɫ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɣ ɧɚ ɧɟɦ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɨɣ ɨɩɟɪɚɰɢɟɣ ɧɚɩɪɢɦɟɪ ɭɦɧɨɠɟɧɢɟɦ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɝɪɭɩɩɨɣ ɟɫɥɢ ɜɵɩɨɥɧɟɧɵ ɫɥɟ ɞɭɸɳɢɟ ɭɫɥɨɜɢɹ

ɞɥɹ ɥɸɛɵɯ ɬɪɟɯ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ a b c A ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɫɜɨɣɫɬɜɨ ɚɫɫɨɰɢɚ ɬɢɜɧɨɫɬɢ

a bc ab c ;

ɜ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ Ⱥ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɬɚɤɨɣ ɷɥɟɦɟɧɬ ɟ ɱɬɨ ɞɥɹ ɥɸɛɨɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɚ ɢɡ ɷɬɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ

Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟ Ɋɚɡɥɢɱɧɵɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɦɨɝɭɬ ɨɛɪɚɡɨɜɵɜɚɬɶ ɝɪɭɩɩɭ ɨɬɧɨɫɢ ɬɟɥɶɧɨ ɤɚɤɨɣ-ɥɢɛɨ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɢ ɧɟ ɹɜɥɹɬɶɫɹ ɝɪɭɩɩɨɣ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɞɪɭɝɨɣ ɨɩɟ ɪɚɰɢɢ

ɑɢɫɥɨ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɜ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ-ɧɨɫɢɬɟɥɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɨɪɹɞɤɨɦ ɝɪɭɩɩɵ Ƚɪɭɩɩɚ ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ ɨɩɟɪɚɰɢɹ ɤɨɦɦɭɬɚɬɢɜɧɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɤɨɦɦɭɬɚɬɢɜɧɨɣ ɢɥɢ ɚɛɟɥɟɜɨɣ. Ƚɪɭɩɩɚ ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ ɜɫɟ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɫɬɟɩɟɧɹɦɢ ɨɞɧɨɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɧɚɡɵɜɚ ɟɬɫɹ ɰɢɤɥɢɱɟɫɤɨɣ Ⱦɥɹ ɚɛɟɥɟɜɵɯ ɝɪɭɩɩ ɱɚɫɬɨ ɩɪɢɦɟɧɹɟɬɫɹ ɚɞɞɢɬɢɜɧɚɹ ɮɨɪɦɚ ɡɚɩɢɫɢ ɨɩɟɪɚɰɢɹ ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ ɤɚɤ ɫɥɨɠɟɧɢɟ ɚ ɟɞɢɧɢɰɚ ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ ɤɚɤ

31

ɉɪɢɦɟɪ 18

ɚ ɚɥɝɟɛɪɚ Z; ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɚɛɟɥɟɜɨɣ ɰɢɤɥɢɱɟɫɤɨɣ ɝɪɭɩɩɨɣ ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ ɪɨɥɶ ɟɞɢɧɢɰɵ ɢɝɪɚɟɬ ɚ ɪɨɥɶ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɨɛɪɚɬɧɨɝɨ ɤ ɷɥɟɦɟɧɬɭ a ɢɝɪɚɟɬ a ;

ɛ ɚɥɝɟɛɪɚ Q\0 ; ɝɞɟ Q\0 – ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɛɟɡ ɧɭɥɹ ɹɜ ɥɹɟɬɫɹ ɚɛɟɥɟɜɨɣ ɝɪɭɩɩɨɣ Ɉɛɪɚɬɧɵɦ ɤ ɷɥɟɦɟɧɬɭ a ɹɜɥɹɟɬɫɹ 1/ ɚ;

ɜ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɧɟɜɵɪɨɠɞɟɧɧɵɯ ɤɜɚɞɪɚɬɧɵɯ ɦɚɬɪɢɰ ɩɨɪɹɞɤɚ ɩ ɫ ɨɩɪɟɞɟɥɢ ɬɟɥɟɦ ɨɬɥɢɱɧɵɦ ɨɬ ɧɭɥɹ ɫ ɨɩɟɪɚɰɢɟɣ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɧɟɤɨɦɦɭɬɚɬɢɜɧɨɣ ɝɪɭɩɩɨɣ;

ɝ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɦɚɬɪɢɰ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɬuɩ ɫ ɨɩɟɪɚɰɢɟɣ ɫɥɨɠɟɧɢɹ ɨɛɪɚɡɭɟɬ ɚɛɟɥɟɜɭ ɝɪɭɩɩɭ

Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟ ɇɚɯɨɠɞɟɧɢɟ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɨɛɪɚɬɧɨɝɨ ɞɚɧɧɨɦɭ ɜ ɨɛɳɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɟɫɬɶ ɭɧɚɪɧɚɹ ɨɩɟɪɚɰɢɹ ɉɨɷɬɨɦɭ ɬɢɩ ɥɸɛɨɣ ɝɪɭɩɩɵ 2 1 ɂɧɨɝɞɚ ɩɪɢ ɡɚɩɢɫɢ ɤɨɧɤɪɟɬɧɨɣ ɝɪɭɩɩɵ ɭɤɚɡɵɜɚɸɬ ɜ ɫɤɨɛɤɚɯ ɤɪɨɦɟ ɛɢɧɚɪɧɨɣ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɟɳɟ ɢ ɷɬɭ ɭɧɚɪɧɭɸ ɨɩɟɪɚɰɢɸ ɥɢɛɨ ɱɚɳɟ ɧɟɣɬɪɚɥɶɧɵɣ ɷɥɟɦɟɧɬ ɝɪɭɩɩɵ ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɞɥɹ ɝɪɭɩɩɵ ɢɡ ɩɪɢɦɟɪɚ .ɚ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɚɹ ɡɚɩɢɫɶ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ Z; ;0 ɚ ɞɥɹ ɝɪɭɩɩɵ ɢɡ ɩɪɢɦɟɪɚ ɛ – Q\0 ; ;1 .

3. ɉɈɅə ɂ ɄɈɅɖɐȺ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨ R ɫ ɞɜɭɦɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɦɢ ɜ ɧɟɦ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟ ɫɤɢɦɢ ɨɩɟɪɚɰɢɹɦɢ ɫɥɨɠɟɧɢɟɦ ɢ ɭɦɧɨɠɟɧɢɟɦ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɤɨɥɶɰɨɦ ɟɫɥɢ ɨɬɧɨ ɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɫɥɨɠɟɧɢɹ ɨɧɨ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɚɛɟɥɟɜɨɣ ɝɪɭɩɩɨɣ ɚ ɨɩɟɪɚɰɢɹ ɭɦɧɨ ɠɟɧɢɹ ɞɢɫɬɪɢɛɭɬɢɜɧɚ ɬ ɟ ɞɥɹ ɥɸɛɵɯ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ a b ɢ ɫ R ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɵ ɪɚ ɜɟɧɫɬɜɚ

a b c ab ac b c a ba ca

ȿɫɥɢ ɨɩɟɪɚɰɢɹ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɚɹ ɜ ɤɨɥɶɰɟ ɤɨɦɦɭɬɚɬɢɜɧɚ ɬɨ ɬɚ ɤɨɟ ɤɨɥɶɰɨ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɤɨɦɦɭɬɚɬɢɜɧɵɦ ɤɨɥɶɰɨɦ

ɂɡ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɟɞɭɟɬ ɱɬɨ ɥɸɛɨɟ ɤɨɥɶɰɨ ɢɦɟɟɬ ɞɜɟ ɛɢɧɚɪɧɵɟ ɢ ɨɞɧɭ ɭɧɚɪɧɭɸ ɫɦ ɩɭɧɤɬ ɨɩɟɪɚɰɢɸ ɩɨɷɬɨɦɭ ɟɝɨ ɬɢɩ – .

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɉɨɥɟɦ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɤɨɦɦɭɬɚɬɢɜɧɨɟ ɤɨɥɶɰɨ ɜ ɤɨɬɨɪɨɦ ɞɥɹ ɥɸɛɨɝɨ ɧɟɧɭɥɟɜɨɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚ a z ɢ ɥɸɛɨɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚ b ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧ ɧɵɣ ɷɥɟɦɟɧɬ ɯ ɬɚɤɨɣ ɱɬɨ ax b

Ⱦɪɭɝɢɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ ɞɥɹ ɥɸɛɨɣ ɩɚɪɵ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ a z 0 ɢ b ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ax b ɢɦɟɟɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɵɣ ɤɨɪɟɧɶ ɉɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢ ɷɬɨ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬ ɜ ɩɨɥɟ ɫɭɳɟɫɬɜɨɜɚɧɢɟ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɞɟɥɟɧɢɹ

32

ɉɪɢɦɟɪ 19

ɚ ɚɥɝɟɛɪɚ Z; ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɤɨɥɶɰɨɦ ɢ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɤɨɥɶɰɨɦ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ Ɉɧɚ ɨɞɧɚɤɨ ɧɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɨɥɟɦ ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɧɚɩɪɢɦɟɪ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ 2x 3 ɜ ɧɟɣ ɧɟɪɚɡɪɟɲɢɦɨ;

ɛ ɚɥɝɟɛɪɚ Q; ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɨɥɟɦ ɢ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɨɥɟɦ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɯ ɱɢ

ɫɟɥ

ɊȿɒȿɌɄɂ

Ⱦɨ ɫɢɯ ɩɨɪ ɧɚɦɢ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɥɢɫɶ ɚɥɝɟɛɪɵ ɬɨ ɟɫɬɶ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɧɚ ɤɨɬɨɪɵɯ ɡɚɞɚɧɵ ɨɩɟɪɚɰɢɢ Ɇɧɨɠɟɫɬɜɚ ɧɚ ɤɨɬɨɪɵɯ ɤɪɨɦɟ ɨɩɟɪɚɰɢɣ ɡɚɞɚɧɵ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɦɢ ɫɢɫɬɟɦɚɦɢ Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɚɥɝɟɛɪɵ ɦɨɠɧɨ ɫɱɢɬɚɬɶ ɱɚɫɬɧɵɦ ɫɥɭɱɚɟɦ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɫɢɫɬɟɦ ɭ ɤɨɬɨɪɵɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɨɬɧɨɲɟɧɢɣ ɩɭɫɬɨ Ⱦɪɭɝɢɦ ɱɚɫɬɧɵɦ ɫɥɭɱɚɟɦ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɫɢ ɫɬɟɦ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɦɨɞɟɥɢ – ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɧɚ ɤɨɬɨɪɵɯ ɡɚɞɚɧɵ ɬɨɥɶɤɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɡɞɟɫɶ ɥɢɲɶ ɨɞɢɧ ɩɪɢɦɟɪ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɤɨɬɨɪɵɣ ɧɚɢɛɨɥɟɟ ɱɚɫɬɨ ɜɫɬɪɟɱɚɟɬɫɹ ɜ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɚɥɝɟɛɪɟ ɢ ɟɟ ɩɪɢɥɨɠɟɧɢɹɯ – ɪɟ ɲɟɬɤɢ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɋɟɲɟɬɤɨɣ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ M ɱɚɫɬɢɱɧɨ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɨɟ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟɦ ɧɟɫɬɪɨɝɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ d ɫ ɞɜɭɦɹ ɛɢɧɚɪɧɵɦɢ ɨɩɟɪɚɰɢɹɦɢ ɢ ɬɚɤɨɟ ɱɬɨ ɜɵɩɨɥɧɟɧɵ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɭɫɥɨɜɢɹ ɚɤɫɢɨɦɵ ɪɟɲɟɬɤɢ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɋɟɲɟɬɤɚ ɢɦɟɸɳɚɹ ɜɟɪɯɧɸɸ ɢ ɧɢɠɧɸɸ ɝɪɚɧɢ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ

ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɨɣ.

Ɍɟɨɪɟɦɚ ȿɫɥɢ ɧɢɠɧɹɹ ɜɟɪɯɧɹɹ ɝɪɚɧɶ ɪɟɲɟɬɤɢ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɬɨ ɨɧɚ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɚɹ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ȼ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɨɣ ɪɟɲɟɬɤɟ ɷɥɟɦɟɧɬ a 1 ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɞɨɩɨɥɧɟ ɧɢɟɦ ɷɥɟɦɟɧɬɚ a ɟɫɥɢ a a 1 0 ɢ a a 1 1.

33

ɉɪɢɦɟɪ

ɚ ɥɸɛɨɟ ɩɨɥɧɨɫɬɶɸ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɧɚɩɪɢɦɟɪ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ ɦɨɠɧɨ ɩɪɟɜɪɚɬɢɬɶ ɜ ɪɟɲɟɬɤɭ ɨɩɪɟɞɟɥɢɜ ɞɥɹ ɥɸɛɵɯ a b M ɱɬɨ a b PD[a b ɢ a b PLQa b ;

ɛ ɨɩɪɟɞɟɥɢɦ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɱɚɫɬɢɱɧɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ a d b ɟɫɥɢ a ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɞɟɥɢɬɟɥɟɦ b Ɍɨɝɞɚ a b ɟɫɬɶ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɨɛɳɟɟ ɤɪɚɬɧɨɟ ɷɬɢɯ ɱɢɫɟɥ ɚ a b – ɢɯ ɧɚɢɛɨɥɶɲɢɣ ɨɛɳɢɣ ɞɟɥɢɬɟɥɶ

Ɋɟɲɟɬɤɚ ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɟ ɢ ɨɛɴɟɞɢɧɟɧɢɟ ɫɭɳɟɫɬɜɭɸɬ ɞɥɹ ɥɸɛɨɝɨ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɟɟ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɨɥɧɨɣ Ʉɨɧɟɱɧɚɹ ɪɟɲɟɬɤɚ ɜɫɟɝɞɚ ɩɨɥɧɚ

34

ʟʏʖʓʔʚ

ʑʑʔʓʔʜʗʔ ʑ ʚʝʒʗʙʢ

ʚˈˍ˙ˋˢ ͒ 7Ǥ ʬˎˈˏˈː˕˞ ˏ˃˕ˈˏ˃˕ˋ˚ˈ˔ˍˑˌ ˎˑˆˋˍˋ

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɚɹ ɥɨɝɢɤɚ – ɪɚɡɧɨɜɢɞɧɨɫɬɶ ɮɨɪɦɚɥɶɧɨɣ ɥɨɝɢɤɢ ɬ ɟ ɧɚɭɤɢ ɤɨɬɨɪɚɹ ɢɡɭɱɚɟɬ ɭɦɨɡɚɤɥɸɱɟɧɢɹ ɫ ɬɨɱɤɢ ɡɪɟɧɢɹ ɢɯ ɮɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɫɬɪɨɟɧɢɹ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ȼɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɟɦ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɪɟɞɥɨɠɟɧɢɟ ɤ ɤɨɬɨɪɨɦɭ ɜɨɡ ɦɨɠɧɨ ɩɪɢɦɟɧɢɬɶ ɩɨɧɹɬɢɹ ɢɫɬɢɧɧɨ ɢɥɢ ɥɨɠɧɨ

ȼ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɥɨɝɢɤɟ ɧɟ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɬɫɹ ɫɚɦ ɫɦɵɫɥ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɣ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɟɝɨ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɶ ɢɥɢ ɥɨɠɧɨɫɬɶ ɱɬɨ ɩɪɢɧɹɬɨ ɨɛɨɡɧɚɱɚɬɶ ɫɨ ɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ɂ ɢɥɢ Ʌ

ɉɨɧɹɬɧɨ ɱɬɨ ɢɫɬɢɧɧɵɟ ɢ ɥɨɠɧɵɟ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɹ ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸ ɳɢɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɩɪɨɫɬɵɯ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɣ ɦɨɠɧɨ ɫɨɫɬɚɜɥɹɬɶ ɛɨɥɟɟ ɫɥɨɠɧɵɟ ɫɨɟɞɢɧɹɹ ɩɪɨɫɬɵɟ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɹ ɫɨɸɡɚɦɢ «ɢª «ɢɥɢª.

Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɫ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɹɦɢ ɦɨɠɧɨ ɨɩɢɫɵɜɚɬɶ ɫ ɩɨɦɨ ɳɶɸ ɧɟɤɨɬɨɪɨɝɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɚɩɩɚɪɚɬɚ

ȼɜɨɞɹɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɟ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɫɜɹɡɤɢ ɧɚɞ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɹɦɢ 1. Ɉɬɪɢɰɚɧɢɟ. Ɉɬɪɢɰɚɧɢɟɦ ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɦ «ɧɟª ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɹ Ɋ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɟ ɤɨɬɨɪɨɟ ɢɫɬɢɧɧɨ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ ɤɨɝɞɚ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɟ Ɋ

ɥɨɠɧɨ

Ɉɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ Ɋ ɢɥɢ P .

ɋɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɦɟɠɞɭ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɹɦɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɬɚɛɥɢɰɚɦɢ ɢɫɬɢɧɧɨ ɫɬɢ ȼ ɧɚɲɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɷɬɚ ɬɚɛɥɢɰɚ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ

2. Ʉɨɧɴɸɧɤɰɢɹ Ʉɨɧɴɸɧɤɰɢɟɣ ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɦ «ɢª ɞɜɭɯ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɣ P ɢ Q ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɟ ɢɫɬɢɧɧɨɟ ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ ɤɨɝɞɚ ɢɫɬɢɧɧɵ ɨɛɚ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɹ

Ɉɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ P&Q ɢɥɢ Ɋ Q.

35

3. Ⱦɢɡɴɸɧɤɰɢɹ Ⱦɢɡɴɸɧɤɰɢɟɣ ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɦ «ɢɥɢª ɞɜɭɯ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɣ P ɢ Q ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɟ ɥɨɠɧɨɟ ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ ɤɨɝɞɚ ɨɛɚ ɜɵ ɫɤɚɡɵɜɚɧɢɹ ɥɨɠɧɵ

Ɉɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ P Q.

4. ɂɦɩɥɢɤɚɰɢɹ ɂɦɩɥɢɤɚɰɢɟɣ ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɦ ɫɥɟɞɨɜɚɧɢɟɦ ɞɜɭɯ ɜɵɫɤɚɡɵ ɜɚɧɢɣ P ɢ Q ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɟ ɢɫɬɢɧɧɨɟ ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ ɤɨɝɞɚ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɟ Ɋ ɢɫɬɢɧɧɨ ɚ Q – ɥɨɠɧɨ

Ɉɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ P Q ɢɥɢ Ɋ Q ȼɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɟ Ɋ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɨɫɵɥɤɨɣ ɢɦɩɥɢɤɚɰɢɢ ɚ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɟ Q – ɫɥɟɞɫɬɜɢɟɦ

5. ɗɤɜɢɜɚɥɟɧɰɢɹ ɗɤɜɢɜɚɥɟɧɰɢɟɣ ɥɨɝɢɱɟɫɤɨɣ ɪɚɜɧɨɫɢɥɶɧɨɫɬɶɸ ɞɜɭɯ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɣ P ɢ Q ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɟ ɢɫɬɢɧɧɨɟ ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ ɤɨɝɞɚ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɢ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɣ ɫɨɜɩɚɞɚɸɬ

Ɉɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ ɊaQ ɢɥɢ Ɋ Q.

36

ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɷɬɢɯ ɨɫɧɨɜɧɵɯ ɬɚɛɥɢɰ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɢ ɦɨɠɧɨ ɫɨɫɬɚɜɥɹɬɶ ɬɚɛɥɢɰɵ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɢ ɫɥɨɠɧɵɯ ɮɨɪɦɭɥ

Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟ ȼ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɦɵ ɩɨɡɧɚɤɨɦɢɦɫɹ ɫ ɩɪɢɧɰɢɩɢɚɥɶɧɨ ɢɧɨɣ ɛɨ ɥɟɟ ɲɢɪɨɤɨɣ ɬɪɚɤɬɨɜɤɨɣ ɬɟɯ ɩɨɧɹɬɢɣ ɤɨɬɨɪɵɟ ɦɵ ɨɩɪɟɞɟɥɢɥɢ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɥɟɤɰɢɢ Ɇɵ ɛɭɞɟɦ ɢɯ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɭɠɟ ɧɟ ɤɚɤ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɧɚɞ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɹɦɢ ɧɨ ɤɚɤ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɉɨɹɫɧɢɦ ɧɚ ɫɥɟɞɭɸɳɟɦ ɩɪɢɦɟɪɟ Ɂɚɩɢɫɶ ɯɭ ɦɨɠɧɨ ɪɚɫ ɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɤɚɤ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɟ ɛɢɧɚɪɧɨɣ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɯ ɢ ɭ ɚ ɫ ɞɪɭɝɨɣ ɫɬɨɪɨɧɵ ɬɚɤ ɠɟ ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɞɜɭɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ f x y xy .

ɉɪɢɦɟɪ ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɬɚɛɥɢɰ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɢ ɩɪɨɜɟɪɢɬɶ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɥɢ ɷɤɜɢ ɜɚɥɟɧɬɧɵɦɢ ɮɨɪɦɭɥɵ M ɢ \.

Mp p r

\p p r

ɋɨɫɬɚɜɢɦ ɬɚɛɥɢɰɵ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɢ ɞɥɹ ɤɚɠɞɨɣ ɮɨɪɦɭɥɵ

Ⱦɚɧɧɵɟ ɮɨɪɦɭɥɵ ɧɟ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɵɦɢ

37

ɉɪɢɦɟɪ ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɬɚɛɥɢɰ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɢ ɩɪɨɜɟɪɢɬɶ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɥɢ ɷɤɜɢ ɜɚɥɟɧɬɧɵɦɢ ɮɨɪɦɭɥɵ M ɢ \.

Mp q r

\p q q p r

ɋɨɫɬɚɜɢɦ ɬɚɛɥɢɰɵ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɢ ɞɥɹ ɡɚɞɚɧɧɵɯ ɮɨɪɦɭɥ

ɂɡ ɫɨɫɬɚɜɥɟɧɧɵɯ ɬɚɛɥɢɰ ɜɢɞɧɨ ɱɬɨ ɞɚɧɧɵɟ ɮɨɪɦɭɥɵ ɧɟ ɪɚɜɧɨɫɢɥɶɧɵ

ɈɋɇɈȼɇɕȿ ɊȺȼɇɈɋɂɅɖɇɈɋɌɂ

Ⱦɥɹ ɥɸɛɵɯ ɮɨɪɦɭɥ Ⱥ ȼ ɢ ɋ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɵ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɪɚɜɧɨɫɢɥɶɧɨɫɬɢ

ȻɍɅȿȼɕ ɎɍɇɄɐɂɂ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ȼɭɥɟɜɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ f X1 X2«Xn ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶ ɧɚɹ n-ɦɟɫɬɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɚɪɝɭɦɟɧɬɵ ɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɤɨɬɨɪɨɣ ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɬ ɦɧɨɠɟɫɬɜɭ ^ `

ȼɨɨɛɳɟ ɝɨɜɨɪɹ ɦɟɠɞɭ ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɦɢ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɹɦɢ ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɦɢ ɫɜɹɡ ɤɚɦɢ ɢ ɛɭɥɟɜɵɦɢ ɮɭɧɤɰɢɹɦɢ ɩɪɨɫɦɚɬɪɢɜɚɟɬɫɹ ɹɜɧɚɹ ɚɧɚɥɨɝɢɹ ɩɨɞɪɨɛɧɟɟ ɨɧɚ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɬɫɹ ɜ ɫɥɟɞɭɸɳɟɣ ɥɟɤɰɢɢ ȿɫɥɢ ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɦɨɝɭɬ ɩɪɢ ɧɢɦɚɬɶ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɢɫɬɢɧɧɨ ɢɥɢ ɥɨɠɧɨ ɬɨ ɞɥɹ ɛɭɥɟɜɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɚɧɚɥɨɝɚɦɢ ɷɬɢɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɛɭɞɭɬ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɢɥɢ

Ⱦɥɹ ɛɭɥɟɜɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɬɚɤɠɟ ɦɨɠɧɨ ɫɨɫɬɚɜɢɬɶ ɬɚɛɥɢɰɵ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɫɨɨɬ ɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɦ ɨɫɧɨɜɧɵɦ ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɦ ɨɩɟɪɚɰɢɹɦ

ʚˈˍ˙ˋˢ ͒ 8Ǥ ʚˑˆˋ˚ˈ˔ˍˋˈ ˗˖ːˍ˙ˋˋ

ɇɢɠɟ ɛɭɞɟɬ ɩɨɞɪɨɛɧɨ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶɫɹ ɞɜɭɯɷɥɟɦɟɧɬɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ȼ ɢ ɞɜɨɢɱɧɵɟ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɟ ɩɪɢɧɢɦɚɸɳɢɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɢɡ ɷɬɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ȿɝɨ ɷɥɟ ɦɟɧɬɵ ɱɚɫɬɨ ɨɛɨɡɧɚɱɚɸɬ ɢ ɨɞɧɚɤɨ ɨɧɢ ɜɨɨɛɳɟ ɝɨɜɨɪɹ ɧɟ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɱɢɫɥɚ ɦɢ ɜ ɨɛɵɱɧɨɦ ɫɦɵɫɥɟ ɯɨɬɹ ɢ ɩɨɯɨɠɢ ɧɚ ɧɢɯ ɩɨ ɧɟɤɨɬɨɪɵɦ ɫɜɨɣɫɬɜɚɦ ɇɚɢɛɨɥɟɟ ɪɚɫɩɪɨɫɬɪɚɧɟɧɧɚɹ ɢɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɢɹ ɞɜɨɢɱɧɵɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ – ɥɨɝɢɱɟɫɤɚɹ «ɞɚª – «ɧɟɬª «ɢɫɬɢɧɧɨª – «ɥɨɠɧɨª ȼ ɤɨɧɬɟɤɫɬɟ ɫɨɞɟɪɠɚɳɟɦ ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ ɞɜɨɢɱɧɵɟ ɢ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɢɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɚ ɬɚɤɠɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɷɬɚ ɢɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɢɹ ɨɛɵɱɧɨ ɮɢɤɫɢɪɭɟɬɫɹ ɹɜɧɨ ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɜ ɹɡɵɤɚɯ ɩɪɨɝɪɚɦɦɢɪɨɜɚɧɢɹ Pascal ɢ ɞɪ ɜɜɨɞɢɬɫɹ ɫɩɟɰɢɚɥɶɧɵɣ ɬɢɩ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ – ɥɨɝɢɱɟɫɤɚɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɚɹ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɤɨ

ɬɨɪɨɣ ɨɛɨɡɧɚɱɚɸɬɫɹ true ɢ false ȼ ɞɚɧɧɨɣ ɥɟɤɰɢɢ ɥɨɝɢɱɟɫɤɚɹ ɢɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɢɹ

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ɞɜɨɢɱɧɵɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɧɟ ɜɟɡɞɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɨɛɹɡɚɬɟɥɶɧɨɣ ɩɨɷɬɨɦɭ ɛɭɞɟɦ ɫɱɢɬɚɬɶ ɱɬɨ B ^0;1` ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɹ ɢ ɤɚɤ ɮɨɪɦɚɥɶɧɵɟ ɫɢɦɜɨɥɵ ɧɟ ɢɦɟɸɳɢɟ ɚɪɢɮ ɦɟɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɫɦɵɫɥɚ

1. ɎɍɇɄɐɂɂ ȺɅȽȿȻɊɕ ɅɈȽɂɄɂ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ⱥɥɝɟɛɪɚ ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɧɚɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɦ B ɜɦɟɫɬɟ ɫɨ ɜɫɟɦɢ ɜɨɡɦɨɠɧɵɦɢ ɨɩɟɪɚɰɢɹɦɢ ɧɚ ɧɟɦ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɚɥɝɟɛɪɨɣ ɥɨɝɢɤɢ.

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɏɭɧɤɰɢɟɣ ɚɥɝɟɛɪɵ ɥɨɝɢɤɢ ɥɨɝɢɱɟɫɤɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɧɚɡɵɜɚ ɟɬɫɹ ɩ ɚɪɧɚɹ ɨɩɟɪɚɰɢɹ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ ȼ.

ɉɟɪɜɵɣ ɬɟɪɦɢɧ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɛɨɥɟɟ ɬɨɱɧɵɦ ɨɞɧɚɤɨ ɜɬɨɪɨɣ ɛɨɥɟɟ ɪɚɫɩɪɨ ɫɬɪɚɧɟɧ ɨɫɨɛɟɧɧɨ ɜ ɩɪɢɥɨɠɟɧɢɹɯ Ɉɧ ɢ ɛɭɞɟɬ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɜ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɂɬɚɤ ɥɨɝɢɱɟɫɤɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ f x1 xn – ɷɬɨ ɮɭɧɤɰɢɹ ɩɪɢɧɢɦɚɸɳɚɹ ɡɧɚɱɟɧɢɹ

ɢɥɢ Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɛɭɞɟɦ ɨɛɨɡɧɚɱɚɬɶ P2 ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɯ ɮɭɧɤɰɢɣ n ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ – P2 n .

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ⱥɥɝɟɛɪɚ ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɧɚɹ k -ɷɥɟɦɟɧɬɧɵɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɦ ɜɦɟɫɬɟ ɫɨ ɜɫɟɦɢ ɨɩɟɪɚɰɢɹɦɢ ɧɚ ɧɟɦ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɚɥɝɟɛɪɨɣ k ɡɧɚɱɧɨɣ ɥɨɝɢɤɢ ɚ n-ɚɪɧɚɹ ɨɩɟɪɚɰɢɹ ɧɚ k ɷɥɟɦɟɧɬɧɨɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ k ɧɚɱɧɨɣ ɥɨɝɢ ɱɟɫɤɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ.

Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ k -ɡɧɚɱɧɵɯ ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ Pk Ɇɵ ɜ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɛɭɞɟɦ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɬɨɥɶɤɨ ɢɡ P2 .

ȼɫɹɤɚɹ ɥɨɝɢɱɟɫɤɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ n ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɡɚɞɚɧɚ ɬɚɛɥɢɰɟɣ ɜ ɥɟɜɨɣ ɱɚɫɬɢ ɤɨɬɨɪɨɣ ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɵ ɜɫɟ ɧɚɛɨɪɵ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɤɨɬɨɪɵɯ ɜɫɟɝɨ 2ɩ ɚ ɜ ɩɪɚɜɨɣ ɱɚɫɬɢ – ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɧɚ ɷɬɢɯ ɧɚɛɨɪɚɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɇɢɠɟ ɩɪɢɜɟɞɟɧɚ ɬɚɛɥɢɰɚ ɡɚɞɚɸɳɚɹ ɧɟɤɨɬɨɪɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɬɪɟɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ

ɇɚɛɨɪɵ ɧɚ ɤɨɬɨɪɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɜɧɨ ɱɚɫɬɨ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɟɞɢɧɢɱ ɧɵɦɢ ɧɚɛɨɪɚɦɢ ɮɭɧɤɰɢɢ f ɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɟɞɢɧɢɱɧɵɯ ɧɚɛɨɪɨɜ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɟɞɢ ɧɢɱɧɵɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɦ ɮɭɧɤɰɢɢ f . Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɧɚɛɨɪɵ ɧɚ ɤɨɬɨɪɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɜɧɨ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɧɭɥɟɜɵɦɢ ɧɚɛɨɪɚɦɢ ɮɭɧɤɰɢɢ f ȼ ɩɪɢɜɨɞɢɦɨɣ ɬɚɛɥɢɰɟ ɬɪɢ ɟɞɢɧɢɱɧɵɯ ɧɚɛɨɪɚ ɢ ɩɹɬɶ ɧɭɥɟɜɵɯ ɧɚɛɨɪɨɜ

Ɂɚɦɟɬɢɦ ɱɬɨ ɧɚɛɨɪɵ ɜ ɬɚɛɥɢɰɟ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɵ ɜ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɦ ɩɨɪɹɞɤɟ – ɥɟɤɫɢɤɨɝɪɚɮɢɱɟɫɤɨɦ ɤɨɬɨɪɵɣ ɫɨɜɩɚɞɚɟɬ ɫ ɜɨɡɪɚɫɬɚɧɢɟɦ ɧɚɛɨɪɨɜ ɟɫɥɢ ɪɚɫ ɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɢɯ ɤɚɤ ɞɜɨɢɱɧɵɟ ɱɢɫɥɚ ɗɬɢɦ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɢɟɦ ɛɭɞɟɦ ɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɜ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɉɪɢ ɥɸɛɨɦ ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɨɦ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɢɢ ɧɚɛɨɪɨɜ ɥɨɝɢɱɟɫɤɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ n ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɩɨɥɧɨɫɬɶɸ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɜɟɤɬɨɪ-ɫɬɨɥɛɰɨɦ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɬɨ ɟɫɬɶ 2ɩ ɉɨɷɬɨɦɭ ɱɢɫɥɨ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ n ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɪɚɜɧɨ ɱɢɫɥɭ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɞɜɨɢɱɧɵɯ ɜɟɤɬɨɪɨɜ ɞɥɢɧɵ 2ɩ .

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