Дискретная математика. Учебное пособие-1

Ⱦɥɹ ɢɥɥɸɫɬɪɚɰɢɢ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɝɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚ ɩɨɫɬɪɨɢɦ ɞɢɚɝɪɚɦɦɵ ɗɣɥɟɪɚ – ȼɷɣɧɚ

Ⱥ ȼ Ⱥ ȼ

A B

ɉɪɢɦɟɪ ɂɫɯɨɞɹ ɢɡ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜ ɢ ɨɩɟɪɚɰɢɣ ɧɚɞ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɦɢ ɞɨɤɚɡɚɬɶ ɬɨɠɞɟɫɬɜɨ

A \ B C A \ B A \ C

ȿɫɥɢ ɧɟɤɨɬɨɪɵɣ ɷɥɟɦɟɧɬ ɯ Ⱥ \ ȼ ɋ ɬɨ ɷɬɨ ɨɡɧɚɱɚɟɬ ɱɬɨ ɷɬɨɬ ɷɥɟ ɦɟɧɬ ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɢɬ ɦɧɨɠɟɫɬɜɭ Ⱥ ɧɨ ɧɟ ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɢɬ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɦ ȼ ɢ ɋ

Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨ Ⱥ \ ȼ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɣ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ Ⱥ ɧɟ ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɳɢɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜɭ ȼ

Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨ Ⱥ \ ɋ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɣ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ Ⱥ ɧɟ ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɳɢɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜɭ ɋ

Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨ A \ B A \ C ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɣ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɤɨɬɨɪɵɟ ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɬ ɦɧɨɠɟɫɬɜɭ Ⱥ ɧɨ ɧɟ ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɬ ɧɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜɭ ȼ ɧɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜɭ ɋ

Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɬɨɠɞɟɫɬɜɨ ɦɨɠɧɨ ɫɱɢɬɚɬɶ ɞɨɤɚɡɚɧɧɵɦ

ȼȿɄɌɈɊɕ ɂ ɉɊəɆɕȿ ɉɊɈɂɁȼȿȾȿɇɂə

ȼɟɤɬɨɪɨɦ ɤɨɪɬɟɠɟɦ ɜ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɚɥɝɟɛɪɟ ɢ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɟ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɵɣ ɧɚɛɨɪ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɗɬɨ ɧɟ ɟɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɜɟɤɬɨɪɚ ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɰɟɥɟɫɨɨɛɪɚɡɧɟɟ ɷɬɨ ɩɨɧɹɬɢɟ ɫɱɢɬɚɬɶ ɨɫɧɨɜɧɵɦ

ɗɥɟɦɟɧɬɵ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɳɢɟ ɜɟɤɬɨɪ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦɢ ɢɥɢ ɤɨɦɩɨ ɧɟɧɬɚɦɢ Ʉɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɧɭɦɟɪɭɸɬɫɹ ɫɥɟɜɚ ɧɚɩɪɚɜɨ ɚ ɢɯ ɱɢɫɥɨ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɞɥɢɧɨɣ ɢɥɢ ɪɚɡɦɟɪɧɨɫɬɶɸ ɜɟɤɬɨɪɚ ȼ ɨɬɥɢɱɢɟ ɨɬ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɜɟɤɬɨɪɚ ɦɨɝɭɬ ɫɨɜɩɚɞɚɬɶ Ʉɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɜɟɤɬɨɪɚ ɡɚɤɥɸɱɚɸɬɫɹ ɜ ɤɪɭɝɥɵɟ ɫɤɨɛɤɢ ɧɚɩɪɢɦɟɪ ɚ1 ɚ2 ɚɩ ɂɧɨɝɞɚ ɫɤɨɛɤɢ ɢɥɢ ɡɚɩɹɬɵɟ ɨɩɭɫɤɚɸɬɫɹ ɑɚɫɬɨ ɜɟɤɬɨɪɵ ɞɥɢɧɵ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɵɦɢ ɩɚɪɚɦɢ ɞɥɢɧɵ – ɬɪɨɣɤɚɦɢ ɢ ɬ ɞ

11

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ⱦɜɚ ɜɟɤɬɨɪɚ ɪɚɜɧɵ ɟɫɥɢ ɨɧɢ ɢɦɟɸɬ ɪɚɜɧɭɸ ɞɥɢɧɭ ɢ ɢɯ ɫɨ ɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɪɚɜɧɵ ɂɧɚɱɟ ɝɨɜɨɪɹ ɜɟɤɬɨɪɵ ɚ1 ɚɩ ɢ ɜ1 ɜɬ ɪɚɜɧɵ ɟɫɥɢ ɩ ɬ ɢ ɚ1 ɜ1 ɚɩ ɜɬ .

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɉɪɹɦɵɦ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜ Ⱥ ɢ ȼ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɟ Ⱥu ȼ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɵɯ ɩɚɪ ɚ;ɜ ɬɚɤɢɯ ɱɬɨ ɚ Ⱥ ɜ ȼ. ȼ ɱɚɫɬɧɨɫɬɢ ɟɫɥɢ Ⱥ ȼ ɬɨ ɨɛɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɬ ɦɧɨɠɟɫɬɜɭ Ⱥ ɬɚɤɨɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ Ⱥ2 Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɩɪɹɦɵɦ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ ɜɟɤɬɨɪɨɜ ɚ1 ɚ2 ɚɩ ɞɥɢɧɵ ɩ ɬɚɤɢɯ

ɱɬɨ ɚ1 Ⱥ1 ɚ2 Ⱥ2 ɚɩ Ⱥɩ .

ɉɪɢɦɟɪ Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨ R u R R2 – ɷɬɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɵɯ ɩɚɪ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɣ ɢɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɢɟɣ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɫɥɭɠɢɬ ɞɟɤɚɪɬɨɜɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɧɚɹ ɩɥɨɫɤɨɫɬɶ

Ʉɨɨɪɞɢɧɚɬɧɨɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ ɬɨɱɟɤ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɛɵɥɨ ɜɩɟɪɜɵɟ ɩɪɟɞɥɨɠɟɧɨ Ɋ Ⱦɟɤɚɪɬɨɦ ɢ ɢɫɬɨɪɢɱɟɫɤɢ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɟɪɜɵɦ ɩɪɢɦɟɪɨɦ ɩɪɹɦɨɝɨ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ ɉɨɷɬɨɦɭ ɱɚɫɬɨ ɩɪɹɦɨɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɞɟɤɚɪɬɨɜɵɦ ɩɪɨɢɡɜɟ ɞɟɧɢɟɦ

ɉɪɢɦɟɪ Ⱦɚɧɵ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ A ^a b c d e f g h` ɢ B ^1;2;3;4;5;6;7;8` Ɍɨɝɞɚ Au B ɟɫɬɶ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɣ ɤɥɟɬɨɤ ɲɚɯɦɚɬɧɨɣ ɞɨɫɤɢ

ȼɨɨɛɳɟ ɤɨɧɟɱɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚɦɢ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɤɚɤɢɟ-ɥɢɛɨ ɫɢɦɜɨɥɵ ɛɭɤɜɵ ɰɢɮɪɵ ɡɧɚɤɢ ɩɪɟɩɢɧɚɧɢɹ ɡɧɚɤɢ ɨɩɟɪɚɰɢɣ ɢ ɬ ɞ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɚɥɮɚɜɢɬɨɦ Ʌɸɛɵɟ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ Ⱥɩ ɜ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɫɥɨɜɚɦɢ ɞɥɢɧɵ ɩ ɜ ɚɥɮɚɜɢɬɟ Ⱥ ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɞɟɫɹɬɢɱɧɨɟ ɰɟɥɨɟ ɱɢɫɥɨ – ɷɬɨ ɫɥɨɜɨ ɜ ɚɥɮɚɜɢɬɟ ɰɢɮɪ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɉɪɨɟɤɰɢɟɣ ɜɟɤɬɨɪɚ a a1 a2 an ɧɚ ɧɟɤɨɬɨɪɭɸ ɨɫɶ ɧɚɡɵɜɚ ɟɬɫɹ ɟɝɨ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚ ɫ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɦ ɩɨɪɹɞɤɨɜɵɦ ɧɨɦɟɪɨɦɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ ɩɪi a ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɩɪɨɟɤɰɢɹ ɬɨɱɤɢ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɧɚ -ɸ ɨɫɶ ɟɫɬɶ ɟɟ ɚɛɫɰɢɫɫɚ ɩɟɪɜɚɹ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚ

Ɍɟɨɪɟɦɚ Ɇɨɳɧɨɫɬɶ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ ɤɨɧɟɱɧɵɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜ Ⱥ1 Ⱥ2 Ⱥɩ ɪɚɜ-

ɧɚ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɸ ɦɨɳɧɨɫɬɟɣ ɷɬɢɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜ Ⱥ1 u Ⱥ2 u...u Ⱥɩ Ⱥ1 u Ⱥ2 u...u Ⱥɩ .

ɋɥɟɞɫɬɜɢɟ Ⱥɩ Ⱥɩ .

ɗɬɚ ɩɪɨɫɬɚɹ ɬɟɨɪɟɦɚ ɢ ɟɟ ɫɥɟɞɫɬɜɢɟ ɜɩɨɫɥɟɞɫɬɜɢɢ ɲɢɪɨɤɨ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɜ ɤɨɦɛɢɧɚɬɨɪɢɤɟ

12

ʚˈˍ˙ˋˢ ͒ ʹǤ ʠˑˑ˕˅ˈ˕˔˕˅ˋˢ ˋ ˗˖ːˍ˙ˋˋ

ɋɈɈɌȼȿɌɋɌȼɂə

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɋɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟɦ ɦɟɠɞɭ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɦɢ Ⱥ ɢ ȼ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɧɟ ɤɨɬɨɪɨɟ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɨ G ɢɯ ɞɟɤɚɪɬɨɜɚ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ G Au B .

ȿɫɥɢ a;b G ɬɨ ɝɨɜɨɪɹɬ ɱɬɨ b ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɚ ɩɪɢ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ G. ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ ɬɚɤɢɯ ɚ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɨɛɥɚɫɬɶɸ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɨɨɬɜɟɬ ɫɬɜɢɹ D G ɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ b ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɨɛɥɚɫɬɶɸ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɹ E G .

ȼ ɩɪɢɧɹɬɵɯ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɹɯ ɤɚɠɞɵɣ ɷɥɟɦɟɧɬ b B ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɣ ɞɚɧ ɧɨɦɭ ɷɥɟɦɟɧɬɭ a A ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɛɪɚɡɨɦ a ɩɪɢ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ G ɧɚɨɛɨɪɨɬ ɷɥɟɦɟɧɬ a A ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɪɨɨɛɪɚɡɨɦ ɷɥɟɦɟɧɬɚ b B ɩɪɢ ɞɚɧɧɨɦ ɫɨɨɬɜɟɬ ɫɬɜɢɢ

ɋɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɨɥɧɨɫɬɶɸ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɦ ɟɫɥɢ D G A ɬɨ ɟɫɬɶ ɤɚɠɞɵɣ ɷɥɟɦɟɧɬ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ A ɢɦɟɟɬ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɢɧ ɨɛɪɚɡ ɜɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ ȼ; ɜ ɩɪɨɬɢɜɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɱɚɫɬɢɱɧɵɦ.

ɋɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ G ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɸɪɴɟɤɬɢɜɧɵɦ ɟɫɥɢ E G B ɬɨ ɟɫɬɶ ɟɫɥɢ ɤɚɠɞɨɦɭ ɷɥɟɦɟɧɬɭ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ȼ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɢɧ ɩɪɨɨɛɪɚɡ ɜɨ ɦɧɨ ɠɟɫɬɜɟ Ⱥ.

ɋɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ G ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɶɧɵɦ ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɵɦ ɟɫɥɢ ɥɸɛɨ ɦɭ ɷɥɟɦɟɧɬɭ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ A ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɵɣ ɷɥɟɦɟɧɬ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ȼ.

ɋɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɢɧɴɟɤɬɢɜɧɵɦ ɟɫɥɢ ɨɧɨ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɶ ɧɵɦ ɢ ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɤɚɠɞɵɣ ɷɥɟɦɟɧɬ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ B ɢɦɟɟɬ ɧɟ ɛɨɥɟɟ ɨɞɧɨɝɨ ɩɪɨɨɛɪɚɡɚ

ɋɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ G ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɜɡɚɢɦɧɨɨɞɧɨɡɧɚɱɧɵɦ ɛɢɟɤɬɢɜɧɵɦ ɟɫɥɢ ɥɸ-

ɛɨɦɭ ɷɥɟɦɟɧɬɭ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ Ⱥ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɵɣ ɷɥɟɦɟɧɬ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ȼ ɢ ɧɚɨɛɨɪɨɬ Ɇɨɠɧɨ ɫɤɚɡɚɬɶ ɬɚɤɠɟ ɱɬɨ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɜɡɚɢɦɧɨɨɞɧɨɡɧɚɱɧɵɦ ɟɫɥɢ ɨɧɨ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɨɥɧɨɫɬɶɸ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɦ ɫɸɪɴɟɤɬɢɜɧɵɦ ɮɭɧɤɰɢɨ ɧɚɥɶɧɵɦ ɢ ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɤɚɠɞɵɣ ɷɥɟɦɟɧɬ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ȼ ɢɦɟɟɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɵɣ ɩɪɨɨɛɪɚɡ

ɉɪɢɦɟɪ 6

ɚ ɚɧɝɥɨ-ɪɭɫɫɤɢɣ ɫɥɨɜɚɪɶ ɭɫɬɚɧɚɜɥɢɜɚɟɬ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɦɟɠɞɭ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɦɢ ɫɥɨɜ ɪɭɫɫɤɨɝɨ ɢ ɚɧɝɥɢɣɫɤɨɝɨ ɹɡɵɤɚ Ɉɧɨ ɧɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɶɧɵɦ ɬɚɤ ɤɚɤ ɩɨɱɬɢ ɤɚɠɞɨɦɭ ɪɭɫɫɤɨɦɭ ɫɥɨɜɭ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɟɫɤɨɥɶɤɨ ɚɧɝɥɢɣɫɤɢɯ ɩɟɪɟ ɜɨɞɨɜ ɨɧɨ ɬɚɤɠɟ ɧɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɤɚɤ ɩɪɚɜɢɥɨ ɩɨɥɧɨɫɬɶɸ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɦ ɫɨɨɬɜɟɬ

13

ɫɬɜɢɟɦ ɬɚɤ ɤɚɤ ɜɫɟɝɞɚ ɫɭɳɟɫɬɜɭɸɬ ɚɧɝɥɢɣɫɤɢɟ ɫɥɨɜɚ ɧɟ ɜɤɥɸɱɟɧɧɵɟ ɜ ɞɚɧɧɵɣ ɫɥɨɜɚɪɶ Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɷɬɨ ɱɚɫɬɢɱɧɨɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ;

ɛ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɦɟɠɞɭ ɚɪɝɭɦɟɧɬɚɦɢ ɮɭɧɤɰɢɢ ɭ x2 ɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦɢ ɷɬɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɶɧɵɦ Ɉɞɧɚɤɨ ɨɧɨ ɧɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɜɡɚɢɦɧɨɨɞɧɨɡɧɚɱ ɧɵɦ ɬɚɤ ɤɚɤ ɤɚɠɞɨɦɭ ɡɧɚɱɟɧɢɸ ɮɭɧɤɰɢɢ y0 z 0 ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɬ ɞɜɚ ɩɪɨɨɛɪɚɡɚ x1 y0 ɢ x2 y0 ;

ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɦɟɠɞɭ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɧɵɦɢ ɧɚ ɲɚɯɦɚɬɧɨɣ ɞɨɫɤɟ ɮɢɝɭɪɚɦɢ ɢ ɡɚɧɢɦɚɟɦɵɦɢ ɢɦɢ ɩɨɥɹɦɢ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɜɡɚɢɦɧɨ ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɵɦ;

ɝ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɦɟɠɞɭ ɬɟɥɟɮɨɧɚɦɢ ɝɨɪɨɞɚ ȼɹɡɶɦɵ ɢ ɢɯ ɩɹɬɢɡɧɚɱɧɵɦɢ ɧɨɦɟɪɚɦɢ ɨɛɥɚɞɚɟɬ ɧɚ ɩɟɪɜɵɣ ɜɡɝɥɹɞ ɜɫɟɦɢ ɫɜɨɣɫɬɜɚɦɢ ɜɡɚɢɦɧɨɨɞɧɨɡɧɚɱɧɨɝɨ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɹ Ɉɞɧɚɤɨ ɨɧɨ ɧɚɩɪɢɦɟɪ ɧɟ ɫɸɪɴɟɤɬɢɜɧɨ ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɫɭɳɟɫɬɜɭɸɬ ɩɹɬɢɡɧɚɱɧɵɟ ɱɢɫɥɚ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɧɢɤɚɤɢɦ ɬɟɥɟɮɨɧɚɦ

ȼɁȺɂɆɇɈɈȾɇɈɁɇȺɑɇɕȿ ɋɈɈɌȼȿɌɋɌȼɂə ɂ ɆɈɓɇɈɋɌɂ ɆɇɈɀȿɋɌȼ

ȿɫɥɢ ɦɟɠɞɭ ɞɜɭɦɹ ɤɨɧɟɱɧɵɦɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɦɢ Ⱥ ɢ ȼ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɜɡɚɢɦɧɨ ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɨɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɬɨ ɷɬɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɪɚɜɧɨɦɨɳɧɵ ɗɬɨɬ ɨɱɟɜɢɞɧɵɣ ɮɚɤɬ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɜɨ-ɩɟɪɜɵɯ ɭɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɦɨɳɧɨɫɬɢ ɷɬɢɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜ ɧɟ ɜɵ ɱɢɫɥɹɹ ɢɯ ȼɨ-ɜɬɨɪɵɯ ɱɚɫɬɨ ɦɨɠɧɨ ɜɵɱɢɫɥɢɬɶ ɦɨɳɧɨɫɬɶ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɭɫɬɚɧɨɜɢɜ ɟɝɨ ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɨɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɫ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɦ ɦɨɳɧɨɫɬɶ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɢɡɜɟɫɬɧɚ ɥɢɛɨ ɥɟɝɤɨ ɜɵɱɢɫɥɹɟɬɫɹ

Ɍɟɨɪɟɦɚ ȿɫɥɢ ɦɨɳɧɨɫɬɶ ɤɨɧɟɱɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ Ⱥ ɪɚɜɧɚ n ɬɨ ɱɢɫɥɨ ɜɫɟɯ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜ Ⱥ ɪɚɜɧɨ 2n ɬɨ ɟɫɬɶ 2 A 2n.

Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ Ɇ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɛɭɥɟɚɧɨɦ ɢ ɨɛɨ ɡɧɚɱɚɟɬɫɹ 2Ɇ Ⱦɥɹ ɤɨɧɟɱɧɵɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ 2Ɇ 2 Ɇ .

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɇɧɨɠɟɫɬɜɚ Ⱥ ɢ ȼ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɪɚɜɧɨɦɨɳɧɵɦɢ ɟɫɥɢ ɦɟɠɞɭ ɢɯ ɷɥɟɦɟɧɬɚɦɢ ɦɨɠɧɨ ɭɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɜɡɚɢɦɧɨɨɞɧɨɡɧɚɱɧɨɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ

Ɂɚɦɟɬɢɦ ɱɬɨ ɞɥɹ ɤɨɧɟɱɧɵɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜ ɷɬɨ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟ ɥɟɝɤɨ ɞɨɤɚɡɚɬɶ Ⱦɥɹ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɵɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜ ɨɧɨ ɨɩɪɟɞɟɥɹɬ ɫɚɦɨ ɩɨɧɹɬɢɟ ɪɚɜɧɨɦɨɳɧɨɫɬɢ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨ Ⱥ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɱɟɬɧɵɦ ɟɫɥɢ ɨɧɨ ɪɚɜɧɨɦɨɳɧɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɭ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ N A N .

Ɉɱɟɧɶ ɭɩɪɨɳɟɧɧɨ ɦɨɠɧɨ ɫɤɚɡɚɬɶ ɱɬɨ ɞɚɧɧɨɟ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɹɜ ɥɹɟɬɫɹ ɫɱɟɬɧɵɦ ɟɫɥɢ ɞɥɹ ɟɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɦɨɠɧɨ ɭɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɧɭɦɟɪɚɰɢɸ ɫ ɩɨɦɨ ɳɶɸ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ

Ȼɟɡ ɞɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɚ ɩɪɢɦɟɦ ɪɹɞ ɜɚɠɧɵɯ ɮɚɤɬɨɜ 1. Ʌɸɛɨɟ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨɟ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɹɜɥɹ

ɟɬɫɹ ɫɱɟɬɧɵɦ

14

2.Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨ N k k N ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɱɟɬɧɵɦ

3.Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ R ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɱɟɬɧɵɦ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɥɟɞ ɫɬɜɢɟɦ ɢɡ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɝɨ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɹ

4.Ɉɛɴɟɞɢɧɟɧɢɟ ɤɨɧɟɱɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɫɱɟɬɧɵɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɱɟɬɧɵɦ

5.Ɉɛɴɟɞɢɧɟɧɢɟ ɫɱɟɬɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɤɨɧɟɱɧɵɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɱɟɬɧɵɦ

6.Ɉɛɴɟɞɢɧɟɧɢɟ ɫɱɟɬɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɫɱɟɬɧɵɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɱɟɬɧɵɦ

ȼɫɟ ɷɬɢ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɹ ɤɚɤ ɦɨɠɧɨ ɜɢɞɟɬɶ ɩɨɡɜɨɥɹɸɬ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɭɫɩɟɲɧɨ ɭɫɬɚɧɚɜɥɢɜɚɬɶ ɮɚɤɬ ɱɬɨ ɞɚɧɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɱɟɬɧɵɦ Ɉɞɧɚɤɨ ɫɟɣɱɚɫ ɛɭɞɟɬ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɱɬɨ ɧɟ ɜɫɹɤɨɟ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɱɟɬɧɵɦ ɫɭɳɟ ɫɬɜɭɟɬ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɛɨɥɶɲɟɣ ɦɨɳɧɨɫɬɢ

Ɍɟɨɪɟɦɚ ɬɟɨɪɟɦɚ Ʉɚɧɬɨɪɚ Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɢɡ ɨɬɪɟɡɤɚ [0; 1] ɧɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɱɟɬɧɵɦ

Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ Ⱦɨɩɭɫɬɢɦ ɱɬɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ M ^x x > @ x R` ɹɜɥɹɟɬɫɹ

ɫɱɟɬɧɵɦ ɢ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɟɝɨ ɧɭɦɟɪɚɰɢɹ ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɥɸɛɨɟ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨɟ ɱɢɫɥɨ ɦɨɠɧɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɜ ɜɢɞɟ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨɣ ɞɟɫɹɬɢɱɧɨɣ ɞɪɨɛɢ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɨɣ ɢɥɢ ɧɟɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɨɣ ɬɨ ɩɪɨɞɟɥɚɟɦ ɷɬɨ ɫ ɱɢɫɥɚɦɢ ɞɚɧɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ Ɋɚɫɩɨɥɨ ɠɢɦ ɢɯ ɜ ɩɨɪɹɞɤɟ ɷɬɨɣ ɧɭɦɟɪɚɰɢɢ

0 a11 a12 a13 ...

0 a21 a22 a23 ...

0 a31 a32 a33 ...

0 ... ... ... ...

1 000 ...

Ɍɟɩɟɪɶ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɥɸɛɭɸ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɭɸ ɞɟɫɹɬɢɱɧɭɸ ɞɪɨɛɶ ɜɢɞɚ 0 b11b12b13 ... ɨɪɝɚɧɢɡɨɜɚɧɧɭɸ ɬɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɱɬɨ b11 z a11 b12 z a22 b13 z a33 ɢ ɬɚɤ ɞɚɥɟɟ Ɉɱɟ ɜɢɞɧɨ ɱɬɨ ɞɚɧɧɚɹ ɞɪɨɛɶ ɧɟ ɜɯɨɞɢɬ ɜ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɭɸ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɨɬ ɩɟɪɜɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɨɧɚ ɨɬɥɢɱɚɟɬɫɹ ɩɟɪɜɨɣ ɰɢɮɪɨɣ ɩɨɫɥɟ ɡɚɩɹɬɨɣ ɨɬ ɜɬɨɪɨɝɨ – ɜɬɨɪɨɣ ɰɢɮɪɨɣ ɢ ɬɚɤ ɞɚɥɟɟ ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɦɵ ɩɨɥɭɱɢɥɢ ɱɢɫɥɨ ɢɡ ɞɚɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ ɤɨɬɨɪɨɟ ɧɟ ɩɪɨɧɭɦɟɪɨɜɚɧɨ ɢ ɬɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ M ɧɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɱɟɬɧɵɦ ȿɝɨ ɦɨɳɧɨɫɬɶ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɤɨɧɬɢɧɭɭɦ ɚ ɦɧɨɠɟ ɫɬɜɚ ɬɚɤɨɣ ɦɨɳɧɨɫɬɢ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɤɨɧɬɢɧɭɚɥɶɧɵɦɢ ɉɪɢɜɟɞɟɧɧɵɣ ɦɟɬɨɞ ɞɨɤɚ ɡɚɬɟɥɶɫɬɜɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɞɢɚɝɨɧɚɥɶɧɵɦ ɦɟɬɨɞɨɦ Ʉɚɧɬɨɪɚ.

ɋɥɟɞɫɬɜɢɟ Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ R ɤɨɧɬɢɧɭɚɥɶɧɨ. ɋɥɟɞɫɬɜɢɟ Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜ ɫɱɟɬɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɤɨɧɬɢ

ɧɭɚɥɶɧɨ Ʉɚɤ ɩɨɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɜ ɬɟɨɪɢɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɦɟɬɨɞɚ ɚɧɚɥɨɝɢɱɧɨɝɨ

ɩɪɢɜɟɞɟɧɧɨɦɭ ɜɵɲɟ ɞɥɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɥɸɛɨɣ ɦɨɳɧɨɫɬɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ ɟɝɨ

ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜ ɛɭɥɟɚɧ ɢɦɟɟɬ ɛɨɥɟɟ ɜɵɫɨɤɭɸ ɦɨɳɧɨɫɬɶ ɉɨɷɬɨɦɭ ɧɟ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ

15

ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɣ ɦɨɳɧɨɫɬɢ ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ-ɭɧɢɜɟɪɫɭɦ U ɨɩɢ ɫɚɧɧɨɟ Ʉɚɧɬɨɪɨɦ ɞɨɥɠɧɨ ɫɨɞɟɪɠɚɬɶ ɜɫɟ ɦɵɫɥɢɦɵɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɨɞɧɚɤɨ ɨɧɨ ɫɚɦɨ ɫɨɞɟɪɠɢɬɫɹ ɜ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ ɫɜɨɢɯ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɩɚɪɚɞɨɤɫ Ʉɚɧɬɨɪɚ ɉɨɥɭɱɚɟɬɫɹ ɱɬɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ U ɧɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɦ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶ ɧɨɣ ɦɨɳɧɨɫɬɢ

ɈɌɈȻɊȺɀȿɇɂə ɂ ɎɍɇɄɐɂɂ

Ɏɭɧɤɰɢɟɣ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɥɸɛɨɟ ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɶɧɨɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɦɟɠɞɭ ɞɜɭɦɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɦɢ ȿɫɥɢ ɮɭɧɤɰɢɹ f ɭɫɬɚɧɚɜɥɢɜɚɟɬ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɦɟɠɞɭ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɦɢ Ⱥ ɢ ȼ ɬɨ ɝɨɜɨɪɹɬ ɱɬɨ ɮɭɧɤɰɢɹ f ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ Ⱥ o ȼ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɟ Ʉɚɠɞɨɦɭ ɷɥɟɦɟɧɬɭ ɚ ɢɡ ɫɜɨɟɣ ɨɛɥɚɫɬɢ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɫɬɚɜɢɬ ɜ ɫɨɨɬɜɟɬ ɫɬɜɢɟ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɵɣ ɷɥɟɦɟɧɬ b ɢɡ ɨɛɥɚɫɬɢ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɗɬɨ ɡɚɩɢɫɵɜɚɟɬɫɹ ɜ ɬɪɚɞɢɰɢɨɧɧɨɣ ɮɨɪɦɟ f a b ɗɥɟɦɟɧɬ ɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɚɪɝɭɦɟɧɬɨɦ ɮɭɧɤɰɢɢ ɷɥɟ-

ɦɟɧɬ b – ɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟɦ.

ɉɨɥɧɨɫɬɶɸ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ f A o B ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɬɨɛɪɚɠɟɧɢɟɦ Ⱥ ɜ ȼ ɨɛɪɚɡ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ Ⱥ ɩɪɢ ɨɬɨɛɪɚɠɟɧɢɢ ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ f A ȿɫɥɢ ɩɪɢ ɷɬɨɦ f A B ɬɨ ɟɫɬɶ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɫɸɪɴɟɤɬɢɜɧɨ ɝɨɜɨɪɹɬ ɱɬɨ ɢɦɟɟɬ ɨɬɨɛɪɚɠɟɧɢɟ Ⱥ ɧɚ ȼ

ȿɫɥɢ f A ɫɨɫɬɨɢɬ ɢɡ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɬɨ f ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɮɭɧɤ- ɰɢɟɣ-ɤɨɧɫɬɚɧɬɨɣ

Ɉɬɨɛɪɚɠɟɧɢɟ ɬɢɩɚ A o A ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɟɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ Ⱥ

ɉɪɢɦɟɪ 7

ɚ ɮɭɧɤɰɢɹ f x 2x x N ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɨɬɨɛɪɚɠɟɧɢɟɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɧɚɬɭɪɚɥɶ ɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɜ ɫɟɛɹ ɢɧɴɟɤɬɢɜɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɗɬɚ ɠɟ ɮɭɧɤɰɢɹ ɩɪɢ ɜɫɟɯ x Z ɹɜɥɹ ɟɬɫɹ ɨɬɨɛɪɚɠɟɧɢɟɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ ɜ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ; ɛ ɮɭɧɤɰɢɹ f x x x Z\ 0 ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɨɬɨɛɪɚɠɟɧɢɟɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɰɟɥɵɯ ɱɢ ɫɟɥ ɤɪɨɦɟ ɱɢɫɥɚ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɉɪɢɱɟɦ ɜ ɞɚɧɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ

ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɧɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɜɡɚɢɦɧɨ ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɵɦ;

ɩɨɥɧɨɫɬɶɸ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɟɫɥɢ ɟɟ ɬɢɩ N o R ɢɥɢ R o R .

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɏɭɧɤɰɢɹ ɬɢɩɚ A1 u A2 u...u An o B ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ n ɦɟɫɬɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɩɪɢɧɹɬɨ ɫɱɢɬɚɬɶ ɱɬɨ ɮɭɧɤɰɢɹ ɢɦɟɟɬ n ɚɪɝɭɦɟɧɬɨɜ f a1 a2 an b ɝɞɟ a1 A1 a2 A2 an An b B

16

ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɫɥɨɠɟɧɢɟ ɭɦɧɨɠɟɧɢɟ ɜɵɱɢɬɚɧɢɟ ɢ ɞɟɥɟɧɢɟ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɞɜɭɯ ɦɟɫɬɧɵɦɢ ɮɭɧɤɰɢɹɦɢ ɧɚ R ɬɨ ɟɫɬɶ ɮɭɧɤɰɢɹɦɢ ɬɢɩɚ R2 o R .

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɉɭɫɬɶ ɞɚɧɨ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ G Au B . ȿɫɥɢ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ H B u A ɬɚɤɨɜɨ ɱɬɨ b a H ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ ɤɨɝɞɚ a b G ɬɨ ɫɨɨɬɜɟɬ ɫɬɜɢɟ H ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɨɛɪɚɬɧɵɦ ɤ G ɢ ɨɛɨɡɧɚɱɚɸɬ G 1 .

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ȿɫɥɢ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɨɛɪɚɬɧɨɟ ɤ ɮɭɧɤɰɢɢ f A o B ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɶɧɵɦ ɬɨ ɨɧɨ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɨɛɪɚɬɧɨɣ ɤ f .

Ɉɱɟɜɢɞɧɨ ɱɬɨ ɜ ɨɛɪɚɬɧɨɦ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɨɛɪɚɡɵ ɢ ɩɪɨɨɛɪɚɡɵ ɦɟɧɹɸɬɫɹ ɦɟɫɬɚɦɢ ɩɨɷɬɨɦɭ ɞɥɹ ɫɭɳɟɫɬɜɨɜɚɧɢɹ ɨɛɪɚɬɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ f 1 ɬɪɟɛɭɟɬɫɹ ɱɬɨɛɵ ɤɚɠɞɵɣ ɷɥɟɦɟɧɬ ɢɡ ɨɛɥɚɫɬɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹ f ɢɦɟɥ ɛɵ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɵɣ ɩɪɨɨɛɪɚɡ ɗɬɨ ɨɡɧɚɱɚɟɬ ɱɬɨ ɞɥɹ ɮɭɧɤɰɢɢ f A o B ɨɛɪɚɬɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ f 1 ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ ɤɨɝɞɚ f ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɛɢɟɤɬɢɜɧɵɦ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟɦ ɦɟɠɞɭ ɫɜɨɟɣ ɨɛɥɚ ɫɬɶɸ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɢ ɨɛɥɚɫɬɶɸ ɡɧɚɱɟɧɢɣ

ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɨ ɨɬɨɛɪɚɠɚɟɬ ɧɚ ɨɬɪɟɡɨɤ [ 1;1] ɉɨɷɬɨɦɭ ɞɥɹ ɧɟɟ ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ [ 1;1] ɫɭ

ɦɟɧɟɧɢɟ ɷɬɢɯ ɮɭɧɤɰɢɣ g ɩɪɢɦɟɧɹɟɬɫɹ ɤ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɭ f . ɑɚɫɬɨ ɝɨɜɨɪɹɬ ɱɬɨ ɮɭɧɤɰɢɹ h ɩɨɥɭɱɟɧɚ ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɤɨɣ f ɜ g.

Ⱦɥɹ ɦɧɨɝɨɦɟɫɬɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ f Am o B g Bn o C ɜɨɡɦɨɠɧɵ ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɜɚɪɢɚɧɬɵ ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɨɤ f ɜ g ɞɚɸɳɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɬɢɩɨɜ Ɉɫɨ ɛɵɣ ɢɧɬɟɪɟɫ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɥɭɱɚɣ ɤɨɝɞɚ ɡɚɞɚɧɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɮɭɧɤɰɢɣ ɬɢɩɚ f1 An1 o A fm Anm o A . ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɜɨɡɦɨɠɧɵ ɜɨ-ɩɟɪɜɵɯ ɥɸɛɵɟ ɩɨɞɫɬɚ ɧɨɜɤɢ ɮɭɧɤɰɢɣ ɞɪɭɝ ɜ ɞɪɭɝɚ ɚ ɜɨ-ɜɬɨɪɵɯ ɥɸɛɵɟ ɩɟɪɟɢɦɟɧɨɜɚɧɢɹ ɚɪɝɭɦɟɧɬɨɜ Ɏɭɧɤɰɢɹ ɩɨɥɭɱɟɧɧɚɹ ɢɡ ɞɚɧɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ f1 fm ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɤɨɣ ɢɯ ɞɪɭɝ ɜ ɞɪɭɝɚ ɢ ɩɟɪɟɢɦɟɧɨɜɚɧɢɟɦ ɚɪɝɭɦɟɧɬɨɜ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɢɯ ɫɭɩɟɪɩɨɡɢɰɢɟɣ

ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɜ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɦ ɚɧɚɥɢɡɟ ɜɜɨɞɢɬɫɹ ɩɨɧɹɬɢɟ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɹɜɥɹɸɳɟɣɫɹ ɫɭɩɟɪɩɨɡɢɰɢɟɣ ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɨɝɨ ɧɟ ɡɚɜɢɫɹɳɟɝɨ ɨɬ ɡɧɚ ɱɟɧɢɹ ɚɪɝɭɦɟɧɬɚ ɱɢɫɥɚ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɢɯ ɨɩɟɪɚɰɢɣ ɚ ɬɚɤɠɟ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ xn sin x ex ɢ ɬ ɩ

17

Ⱥ ɇ Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɵɦ ɢ ȼ ɂ Ⱥɪɧɨɥɶɞɨɦ ɞɨɤɚɡɚɧɨ ɱɬɨ ɜɫɹɤɚɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜ ɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ n ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɦɚ ɜ ɜɢɞɟ ɫɭɩɟɪɩɨɡɢɰɢɢ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɞɜɭɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ

Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟ ɉɨɧɹɬɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɲɢɪɨɤɨ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɜ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɦ ɚɧɚɥɢɡɟ ɛɨɥɟɟ ɬɨɝɨ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɜ ɧɟɦ ɛɚɡɨɜɵɦ ɩɨɧɹɬɢɟɦ ȼ ɰɟɥɨɦ ɩɨɞɯɨɞ ɤ ɩɨ ɧɢɦɚɧɢɸ ɬɟɪɦɢɧɚ «ɮɭɧɤɰɢɹª ɜ ɦɚɬɚɧɚɥɢɡɟ ɧɟɫɤɨɥɶɤɨ ɭɠɟ ɱɟɦ ɜ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɟ Ʉɚɤ ɩɪɚɜɢɥɨ ɜ ɧɟɦ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɸɬɫɹ ɬɚɤ ɧɚɡɵɜɚɟɦɵɟ ɜɵɱɢɫɥɢɦɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ Ɏɭɧɤɰɢɹ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɜɵɱɢɫɥɢɦɨɣ ɟɫɥɢ ɡɚɞɚɧɚ ɩɪɨɰɟɞɭɪɚ ɩɨɡɜɨɥɹɸ ɳɚɹ ɩɨ ɥɸɛɨɦɭ ɡɚɞɚɧɧɨɦɭ ɡɧɚɱɟɧɢɸ ɚɪɝɭɦɟɧɬɚ ɧɚɣɬɢ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ

ʚˈˍ˙ˋˢ ͒ 3Ǥ ʝ˕ːˑ˛ˈːˋˢ ˋ ˋ˘ ˔˅ˑˌ˔˕˅˃

ɈɋɇɈȼɇɕȿ ɉɈɇəɌɂə ɂ ɈɉɊȿȾȿɅȿɇɂə

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɉɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɨ R An ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ n ɦɟɫɬɧɵɦ n ɦɟɪɧɵɦ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟɦ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ Ⱥ Ƚɨɜɨɪɹɬ ɱɬɨ ɷɥɟɦɟɧɬɵ a1 an ɧɚɯɨɞɹɬɫɹ ɜ ɨɬ ɧɨɲɟɧɢɢ R ɟɫɥɢ a1 an R

Ɉɞɧɨɦɟɫɬɧɨɟ ɨɞɧɨɦɟɪɧɨɟ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ – ɷɬɨ ɩɪɨɫɬɨ ɧɟɤɨɬɨɪɨɟ ɩɨɞɦɧɨɠɟ ɫɬɜɨ Ⱥ Ɍɚɤɢɟ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɩɪɢɡɧɚɤɚɦɢ Ƚɨɜɨɪɹɬ ɱɬɨ a ɨɛɥɚɞɚɟɬ ɩɪɢ ɡɧɚɤɨɦ R ɟɫɥɢ a R ɢ R A ɋɜɨɣɫɬɜɚ ɨɞɧɨɦɟɫɬɧɵɯ ɨɬɧɨɲɟɧɢɣ – ɷɬɨ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜ Ⱥ ɩɨɷɬɨɦɭ ɞɥɹ ɫɥɭɱɚɹ n 1 ɬɟɪɦɢɧ «ɨɬɧɨɲɟɧɢɹª ɭɩɨɬɪɟɛɥɹɟɬɫɹ ɪɟɞɤɨ

ɇɚɢɛɨɥɟɟ ɱɚɫɬɨ ɜɫɬɪɟɱɚɸɳɢɦɢɫɹ ɢ ɯɨɪɨɲɨ ɢɡɭɱɟɧɧɵɦɢ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɞɜɭɯ ɦɟɫɬɧɵɟ ɢɥɢ ɛɢɧɚɪɧɵɟ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ȿɫɥɢ a ɢ b ɧɚɯɨɞɹɬɫɹ ɜ ɨɬɧɨɲɟɧɢɢ R ɷɬɨ ɨɛɵɱɧɨ ɡɚɩɢɫɵɜɚɟɬɫɹ ɜ ɜɢɞɟ aRb .

ɉɪɢɦɟɪ 9 Ȼɢɧɚɪɧɵɟ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ N.

ɚ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ « dª ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɞɥɹ ɩɚɪ 7;9 7;7 ɢ ɧɟ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɞɥɹ ɩɚɪɵ 9;7 ;

ɛ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ «ɢɦɟɬɶ ɨɛɳɢɣ ɞɟɥɢɬɟɥɶ ɧɟ ɪɚɜɧɵɣ ɟɞɢɧɢɰɟª ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɞɥɹ ɩɚɪ 3;6 4;10 ɢ ɧɟ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɞɥɹ ɩɚɪ 6;5 11;3 ;

ɜ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ «ɛɵɬɶ ɞɟɥɢɬɟɥɟɦª ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɞɥɹ ɩɚɪ 2;6 5;5 ɢ ɧɟ ɜɵ ɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɞɥɹ ɩɚɪ 4;2 6;1 .

ɉɪɢɦɟɪ 10 Ȼɢɧɚɪɧɵɟ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ ɬɨɱɟɤ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ

ɚ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ «ɛɵɬɶ ɪɚɜɧɨɭɞɚɥɟɧɧɵɦɢ ɨɬ ɧɚɱɚɥɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬª ɜɵɩɨɥɧɹɬɫɹ ɞɥɹ ɩɚɪ ɬɨɱɟɤ 1; 4 ɢ 4;1 ɧɨ ɧɟ ɜɵɩɨɥɧɹɬɫɹ ɞɥɹ ɩɚɪɵ ɬɨɱɟɤ 3;0 ɢ 2;6 ;

18

ɛ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ «ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɬɶ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɰɟɧɬɪ ɤɨɬɨɪɨɣ ɧɚɯɨɞɢɬɫɹ ɜ ɧɚɱɚɥɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬª ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɞɥɹ ɩɟɪɜɨɣ ɩɚɪɵ ɬɨɱɟɤ ɢɡ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɝɨ ɩɪɢɦɟɪɚ ɢ ɧɟ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɞɥɹ ɜɬɨɪɨɣ ɩɚɪɵ;

ɜ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ «ɛɵɬɶ ɭɞɚɥɟɧɧɵɦɢ ɧɚ ɪɚɡɧɨɟ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɟ ɨɬ ɧɚɱɚɥɚ ɤɨɨɪɞɢ ɧɚɬª ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɞɥɹ ɜɫɟɯ ɬɨɱɟɤ ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɵɯ ɧɟ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɨɩɢ ɫɚɧɧɨɟ ɜ ɩɭɧɤɬɟ «ɛª.

ɉɭɫɬɶ ɞɚɧɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ R ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ Ⱥ Ⱦɥɹ ɥɸɛɨɝɨ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɚ A1 A ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ R1 ɧɚɡɵɜɚɟɦɨɟ ɫɭɠɟɧɢɟɦ R ɧɚ A1 ɤɨɬɨɪɨɟ

ɋɬɪɨɝɨ ɝɨɜɨɪɹ ɫɚɦɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ R ɢ ɟɝɨ ɫɭɠɟɧɢɟ R1 – ɷɬɨ ɪɚɡɧɵɟ ɨɬɧɨɲɟ ɧɢɹ ɫ ɪɚɡɧɵɦɢ ɨɛɥɚɫɬɹɦɢ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ Ɉɞɧɚɤɨ ɩɨ ɭɦɨɥɱɚɧɢɸ ɟɫɥɢ ɧɟ ɜɨɡɧɢ ɤɚɟɬ ɹɜɧɵɯ ɪɚɡɧɨɱɬɟɧɢɣ ɷɬɚ ɪɚɡɧɢɰɚ ɧɟ ɭɱɢɬɵɜɚɟɬɫɹ ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɜɩɨɥɧɟ ɦɨɠɧɨ ɝɨɜɨɪɢɬɶ ɨɛ ɨɬɧɨɲɟɧɢɢ «ɛɵɬɶ ɞɟɥɢɬɟɥɟɦª ɧɟ ɭɬɨɱɧɹɹ ɡɚɞɚɧɨ ɨɧɨ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ N ɢɥɢ ɧɚ ɤɚɤɨɦ-ɧɢɛɭɞɶ ɟɝɨ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɟ

Ⱦɥɹ ɡɚɞɚɧɢɹ ɛɢɧɚɪɧɵɯ ɨɬɧɨɲɟɧɢɣ ɦɨɠɧɨ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɥɸɛɵɟ ɫɩɨɫɨɛɵ ɡɚɞɚɧɢɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜ ɧɚɩɪɢɦɟɪ ɫɩɢɫɨɤ ɩɚɪ ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɵɯ ɞɚɧɧɨɟ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ Ɉɬɧɨɲɟɧɢɹ ɧɚ ɤɨɧɟɱɧɵɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɯ ɨɛɵɱɧɨ ɡɚɞɚɸɬɫɹ ɫɩɢɫɤɨɦ ɢɥɢ ɦɚɬɪɢɰɟɣ Ɇɚɬɪɢɰɚ ɛɢɧɚɪɧɨɝɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɧɚ ɤɨɧɟɱɧɨɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ M ^a1 a2 an ` – ɷɬɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɚɹ ɦɚɬɪɢɰɚ C ɩɨɪɹɞɤɚ n ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ ɤɚɠɞɵɣ ɷɥɟ ɦɟɧɬ cij ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ

­1 ɟɫɥɢɞɥɹɫɨɨɬɜɟɬɫɜɭɸɳɟɣɩɚɪɵɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɟɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ

ɫij ®0 .

¯ ɜɩɪɨɬɢɜɧɨɦɫɥɭɱɚɟ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɉɬɧɨɲɟɧɢɟ R 1 ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɛɪɚɬɧɵɦ ɤ ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ R ɟɫɥɢ bR 1a ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ ɤɨɝɞɚ aRb .

ɇɟɩɨɫɪɟɞɫɬɜɟɧɧɨ ɢɡ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɟɞɭɟɬ ɱɬɨ R 1 1 R ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɞɥɹ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ « dª ɨɛɪɚɬɧɵɦ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ « tª.

ɋȼɈɃɋɌȼȺ ɈɌɇɈɒȿɇɂɃ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɉɬɧɨɲɟɧɢɟ R ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɪɟɮɥɟɤɫɢɜɧɵɦ ɟɫɥɢ ɞɥɹ ɥɸɛɨɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚ a Ⱥ ɢɦɟɟɬ ɦɟɫɬɨ aRa.

Ƚɥɚɜɧɚɹ ɞɢɚɝɨɧɚɥɶ ɦɚɬɪɢɰɵ ɪɟɮɥɟɤɫɢɜɧɨɝɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɬɨɥɶɤɨ ɟɞɢɧɢɰɵ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɉɬɧɨɲɟɧɢɟ R ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɚɧɬɢɪɟɮɥɟɤɫɢɜɧɵɦ ɟɫɥɢ ɧɢ ɞɥɹ ɤɚɤɨɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚ a Ⱥ ɧɟ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ aRa.

19

Ƚɥɚɜɧɚɹ ɞɢɚɝɨɧɚɥɶ ɦɚɬɪɢɰɵ ɪɟɮɥɟɤɫɢɜɧɨɝɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɬɨɥɶɤɨ

ɧɭɥɢ

ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ « dª ɢ «ɢɦɟɬɶ ɨɛɳɢɣ ɞɟɥɢɬɟɥɶª ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɪɟɮɥɟɤ ɫɢɜɧɵɦɢ Ɉɬɧɨɲɟɧɢɹ « ª ɢ «ɢɦɟɬɶ ɫɵɧɚª ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɚɧɬɢɪɟɮɥɟɤɫɢɜɧɵɦɢ Ɉɬ ɧɨɲɟɧɢɟ «ɛɵɬɶ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɵɦ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɫɢ ɚɛɫɰɢɫɫª ɧɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɧɢ ɪɟ ɮɥɟɤɫɢɜɧɵɦ ɧɢ ɚɧɬɢɪɟɮɥɟɤɫɢɜɧɵɦ ɬɨɱɤɚ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɚ ɫɚɦɚ ɫɟɛɟ ɟɫɥɢ ɥɟɠɢɬ ɧɚ ɷɬɨɣ ɨɫɢ ɢ ɧɟ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɚ ɫɟɛɟ ɟɫɥɢ ɧɟ ɥɟɠɢɬ ɧɚ ɧɟɣ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɉɬɧɨɲɟɧɢɟ R ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɵɦ ɟɫɥɢ ɞɥɹ ɥɸɛɨɣ ɩɚɪɵ a b M 2 ɢɡ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ aRb ɫɥɟɞɭɟɬ bRa ɂɧɵɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ R

ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɵɦ ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ ɤɨɝɞɚ ɞɥɹ ɥɸɛɨɣ ɩɚɪɵ a b M 2 ɨɧɨ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɜ ɨɛɟ ɫɬɨɪɨɧɵ ɢɥɢ ɜɨɜɫɟ ɧɟ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ

Ɇɚɬɪɢɰɚ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɨɝɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɝɥɚɜɧɨɣ ɞɢɚɝɨɧɚɥɢ ɫij c ji ɞɥɹ ɥɸɛɵɯ i j

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɉɬɧɨɲɟɧɢɟ R ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɚɧɬɢɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɵɦ ɟɫɥɢ ɢɡ ɨɬɧɨɲɟɧɢɣ aRb ɢ bRa ɫɥɟɞɭɟɬ ɱɬɨ a b.

Ɉɬɧɨɲɟɧɢɟ «ɛɵɬɶ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɵɦ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɫɢ ɚɛɫɰɢɫɫª ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɵɦ ɟɫɥɢ ɩɟɪɜɚɹ ɬɨɱɤɚ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɚ ɜɬɨɪɨɣ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɷɬɨɣ ɨɫɢ ɬɨ ɢ ɜɬɨɪɚɹ ɬɨɱɤɚ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɚ ɩɟɪɜɨɣ Ɉɬɧɨɲɟɧɢɟ « dª ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɚɧɬɢɫɢɦɦɟɬ ɪɢɱɧɵɦ Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ ɟɫɥɢ a d b ɢ b d a ɷɬɨ ɨɡɧɚɱɚɟɬ ɱɬɨ a b.

ɇɟɬɪɭɞɧɨ ɭɛɟɞɢɬɶɫɹ ɜ ɬɨɦ ɱɬɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ R ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɨ ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶ ɤɨ ɬɨɝɞɚ ɤɨɝɞɚ R R 1 .

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɉɬɧɨɲɟɧɢɟ R ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɬɪɚɧɡɢɬɢɜɧɵɦ ɟɫɥɢ ɞɥɹ ɥɸɛɵɯ ɢɡ ɨɬɧɨɲɟɧɢɣ aRb ɢ bRc ɫɥɟɞɭɟɬ aRc.

Ɉɬɧɨɲɟɧɢɹ «ɛɵɬɶ ɪɚɜɧɵɦª «ɠɢɬɶ ɜ ɨɞɧɨɦ ɝɨɪɨɞɟª «ɛɵɬɶ ɩɚɪɚɥɥɟɥɶ ɧɵɦª ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɬɪɚɧɡɢɬɢɜɧɵɦɢ Ɉɬɧɨɲɟɧɢɹ «ɩɟɪɟɫɟɤɚɬɶɫɹª «ɛɵɬɶ ɫɵɧɨɦª ɧɟ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɬɪɚɧɡɢɬɢɜɧɵɦɢ

Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟ ȼ ɨɬɥɢɱɢɟ ɨɬ ɨɬɧɨɲɟɧɢɣ ɪɟɮɥɟɤɫɢɜɧɨɫɬɢ ɢ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɨɫɬɢ ɞɥɹ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɬɪɚɧɡɢɬɢɜɧɨɫɬɢ ɧɟ ɮɨɪɦɭɥɢɪɭɟɬɫɹ ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɨɝɨ ɩɨɧɹɬɢɹɚɧɬɢɬɪɚɧɡɢɬɢɜɧɨɫɬɢ .

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɍɪɚɧɡɢɬɢɜɧɵɦ ɡɚɦɵɤɚɧɢɟɦ R ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ R ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɬ-

ɧɨɲɟɧɢɟ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦɨɟ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɟɫɥɢ ɜ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ M ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɰɟɩɨɱɤɚ ɢɡ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ a a1 a2 an b ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ ɦɟɠɞɭ ɤɚɠɞɵɦɢ ɞɜɭɦɹ ɫɨ ɫɟɞɧɢɦɢ ɷɥɟɦɟɧɬɚɦɢ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ R aRa2 a2 Ra3 an 1 Rb ɬɨ ɝɨɜɨ

ɪɹɬ ɱɬɨ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɬɪɚɧɡɢɬɢɜɧɨɟ ɡɚɦɵɤɚɧɢɟ aRb.

Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟ Ɂɚɦɵɤɚɧɢɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɜɟɫɶɦɚ ɨɛɳɢɦ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɦ ɩɨɧɹɬɢ ɟɦ ɍɩɪɨɳɟɧɧɨ ɝɨɜɨɪɹ ɡɚɦɤɧɭɬɨɫɬɶ ɨɡɧɚɱɚɟɬ ɱɬɨ ɦɧɨɝɨɤɪɚɬɧɨɟ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɟ ɞɨɩɭɫɬɢɦɵɯ ɲɚɝɨɜ ɧɟ ɜɵɜɨɞɢɬ ɡɚ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɟ ɝɪɚɧɢɰɵ ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɦɧɨɠɟ

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