Дискретная математика. Учебное пособие-1

ɫɬɜɨ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɡɚɦɤɧɭɬɨ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɫɥɨɠɟɧɢɹ ɨɞɧɚɤɨ ɨɬ ɤɪɵɬɨ ɬɨ ɟɫɬɶ ɧɟɡɚɦɤɧɭɬɨ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɞɟɥɟɧɢɹ

ȿɫɥɢ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ R ɬɪɚɧɡɢɬɢɜɧɨ ɬɨ ɨɱɟɜɢɞɧɨ R R ɢ ɧɚɨɛɨɪɨɬ ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ «ɛɵɬɶ ɞɟɥɢɬɟɥɟɦª ɬɪɚɧɡɢɬɢɜɧɨ ɞɥɹ ɥɸɛɨɣ ɰɟɩɨɱɤɢ ɷɥɟɦɟɧ ɬɨɜ ɢ ɫɚɦɨ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɬɪɚɧɡɢɬɢɜɧɵɦ ɡɚɦɵɤɚɧɢɟɦ ɷɬɨɝɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ

ȿɫɥɢ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ R ɧɟ ɬɪɚɧɡɢɬɢɜɧɨ ɬɨ R R. ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɬɪɚɧɡɢɬɢɜɧɵɦ ɡɚɦɵɤɚɧɢɟɦ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ «ɛɵɬɶ ɫɵɧɨɦª ɹɜɥɹɟɬɫɹ

ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ «ɛɵɬɶ ɩɪɹɦɵɦ ɩɨɬɨɦɤɨɦª ɜɤɥɸɱɚɸɳɟɟ ɜ ɫɟɛɹ ɩɨɧɹɬɢɹ «ɛɵɬɶ ɫɵ ɧɨɦª «ɛɵɬɶ ɜɧɭɤɨɦª «ɛɵɬɶ ɩɪɚɜɧɭɤɨɦª ɢ ɬɚɤ ɞɚɥɟɟ

ʚˈˍ˙ˋˢ ͒ 4Ǥ ʝ˔ːˑ˅ː˞ˈ ˅ˋˇ˞ ˑ˕ːˑ˛ˈːˋˌ

ɂɡ ɫɨɞɟɪɠɚɧɢɹ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɣ ɥɟɤɰɢɢ ɢ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɧɵɯ ɜ ɧɟɣ ɩɪɢɦɟɪɨɜ ɜɢɞɧɨ ɱɬɨ ɩɨɧɹɬɢɟ «ɨɬɧɨɲɟɧɢɟª ɫɥɟɞɭɟɬ ɩɨɧɢɦɚɬɶ ɜɟɫɶɦɚ ɲɢɪɨɤɨ ȼ ɞɚɧɧɨɣ ɥɟɤ ɰɢɢ ɦɵ ɩɨɩɵɬɚɟɦɫɹ ɜɜɟɫɬɢ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɭɸ ɤɥɚɫɫɢɮɢɤɚɰɢɸ ɨɬɧɨɲɟɧɢɣ ɢ ɪɚɫ ɫɦɨɬɪɟɬɶ ɧɚɢɛɨɥɟɟ ɡɧɚɱɢɬɟɥɶɧɵɟ ɫ ɬɨɱɤɢ ɡɪɟɧɢɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ ɜɢɞɵ ɨɬɧɨɲɟɧɢɣ – ɚ ɢɦɟɧɧɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɢ ɢ ɩɨɪɹɞɤɚ

1. ɈɌɇɈɒȿɇɂə ɗɄȼɂȼȺɅȿɇɌɇɈɋɌɂ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɉɬɧɨɲɟɧɢɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟɦ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɢ ɢɥɢ ɩɪɨɫɬɨ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɶɸ ɟɫɥɢ ɨɧɨ ɪɟɮɥɟɤɫɢɜɧɨ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɨ ɢ ɬɪɚɧɡɢɬɢɜɧɨ

ɉɪɢɦɟɪ 1

ɚ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɱɚɫɬɨ ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ E ɧɚ ɥɸɛɨɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ ɹɜ ɥɹɟɬɫɹ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟɦ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɢ Ɋɚɜɟɧɫɬɜɨ – ɷɬɨ ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɨɟ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɢ ɜ ɬɨɦ ɫɦɵɫɥɟ ɱɬɨ ɩɪɢ ɭɞɚɥɟɧɢɢ ɥɸɛɨɣ ɩɚɪɵ ɢɡ ɷɬɨɝɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɬɨ ɟɫɬɶ ɥɸɛɨɣ ɟɞɢɧɢɰɵ ɧɚ ɝɥɚɜɧɨɣ ɞɢɚɝɨɧɚɥɢ ɦɚɬɪɢɰɵ E ɨɧɨ ɩɟɪɟɫɬɚɟɬ ɛɵɬɶ ɪɟɮɥɟɤɫɢɜɧɵɦ ɢ ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɭɠɟ ɧɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɶɸ;

ɛ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɹ ɜɢɞɚ a b a b a2 b2 ɢɥɢ sin 2 x cos2 x 1 ɫɨɫɬɨɹɳɢɟ ɢɡ ɮɨɪɦɭɥ ɫɨɟɞɢɧɟɧɧɵɯ ɡɧɚɤɨɦ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɡɚɞɚɸɬ ɛɢɧɚɪɧɨɟ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɧɚ ɦɧɨ ɠɟɫɬɜɟ ɮɨɪɦɭɥ ɨɩɢɫɵɜɚɸɳɢɯ ɫɭɩɟɪɩɨɡɢɰɢɢ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɗɬɨ ɨɬ ɧɨɲɟɧɢɟ ɨɛɵɱɧɨ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟɦ ɪɚɜɧɨɫɢɥɶɧɨɫɬɢ ɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɫɥɟ ɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɞɜɟ ɮɨɪɦɭɥɵ ɪɚɜɧɨɫɢɥɶɧɵ ɟɫɥɢ ɨɧɢ ɡɚɞɚɸɬ ɨɞɧɭ ɢ ɬɭ ɠɟ ɮɭɧɤɰɢɸ Ɋɚɜɧɨɫɢɥɶɧɨɫɬɶ ɜ ɞɚɧɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɯɨɬɹ ɢ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɚ ɡɧɚɤɨɦ « ª ɨɡɧɚɱɚɟɬ ɧɟ ɬɨ ɠɟ ɫɚɦɨɟ ɱɬɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɬɚɤ ɤɚɤ ɨɧɨ ɦɨɠɟɬ ɜɵɩɨɥ ɧɹɬɶɫɹ ɞɥɹ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɮɨɪɦɭɥ ȼɩɪɨɱɟɦ ɦɨɠɧɨ ɫɱɢɬɚɬɶ ɱɬɨ ɡɧɚɤ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɜ ɬɚɤɢɯ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹɯ ɨɬɧɨɫɢɬɫɹ ɧɟ ɤ ɫɚɦɢɦ ɮɨɪɦɭɥɚɦ ɚ ɤ ɮɭɧɤɰɢɹɦ ɤɨɬɨɪɵɟ ɢɦɢ

21

ɨɩɢɫɵɜɚɸɬɫɹ Ⱦɥɹ ɮɨɪɦɭɥ ɠɟ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ – ɷɬɨ ɫɨɜɩɚɞɟɧɢɟ ɮɨɪɦɭɥ ɩɨ ɧɚɩɢɫɚɧɢɸ Ɉɧɨ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɝɪɚɮɢɱɟɫɤɢɦ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨɦ Ʉɫɬɚɬɢ ɱɬɨɛɵ ɜ ɩɨ ɞɨɛɧɵɯ ɫɢɬɭɚɰɢɹɯ ɢɡɛɟɠɚɬɶ ɪɚɡɧɨɱɬɟɧɢɣ ɱɚɫɬɨ ɞɥɹ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɹ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɪɚɜɧɨɫɢɥɶɧɨɫɬɢ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬ ɡɧɚɤ « {ª;

ɜ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜ ɧɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɫɱɢɬɚɹ ɱɬɨ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤ ɡɚɞɚɧ ɟɫɥɢ ɞɚɧɵ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɟɝɨ ɜɟɪɲɢɧ Ⱦɜɚ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢ ɤɚ ɛɭɞɟɦ ɫɱɢɬɚɬɶ ɪɚɜɧɵɦɢ ɤɨɧɝɪɭɷɧɬɧɵɦɢ ɟɫɥɢ ɩɪɢ ɧɚɥɨɠɟɧɢɢ ɨɧɢ ɫɨɜɩɚɞɚ ɸɬ ɬɨ ɟɫɬɶ ɩɟɪɟɜɟɞɟɧɵ ɞɪɭɝ ɜ ɞɪɭɝɚ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɧɟɤɨɬɨɪɨɝɨ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɹ Ɋɚ ɜɟɧɫɬɜɨ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟɦ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɢ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜ;

ɝ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ «ɢɦɟɬɶ ɨɞɢɧ ɢ ɬɨɬ ɠɟ ɨɫɬɚɬɨɤ ɨɬɞɟɥɟɧɢɹ ɧɚ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɨɟ ɱɢɫɥɨ b ª ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟɦ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬ ɧɨɫɬɢ;

ɟ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ «ɛɵɬɶ ɞɟɥɢɬɟɥɟɦª ɧɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ N ɨɬɧɨɲɟɧɢɟɦ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɢ Ɉɧɨ ɨɛɥɚɞɚɟɬ ɫɜɨɣɫɬɜɚɦɢ ɪɟɮɥɟɤɫɢɜɧɨɫɬɢ ɢ ɬɪɚɧɡɢɬɢɜɧɨɫɬɢ ɧɨ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɚɧɬɢɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɵɦ ɫɦ ɧɢɠɟ

ɉɭɫɬɶ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ M ɡɚɞɚɧɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɢ R Ɉɫɭɳɟ ɫɬɜɢɦ ɫɥɟɞɭɸɳɟɟ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɟ ȼɵɛɟɪɟɦ ɷɥɟɦɟɧɬ a1 M ɢ ɨɛɪɚɡɭɟɦ ɤɥɚɫɫ C1ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɨ M ɫɨɫɬɨɹɳɢɣ ɢɡ ɷɥɟɦɟɧɬɚ a1 ɢ ɜɫɟɯ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɵɯ ɟɦɭ ɜ ɪɚɦɤɚɯ ɞɚɧɧɨɝɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ Ɂɚɬɟɦ ɜɵɛɟɪɟɦ ɷɥɟɦɟɧɬ a2 M a2 C1 ɢ ɨɛɪɚɡɭɟɦ ɤɥɚɫɫ C2 ɫɨɫɬɨɹɳɢɣ ɢɡ a2 ɢ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɵɯ ɟɦɭ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɉɪɨɞɨɥ ɠɚɹ ɷɬɢ ɞɟɣɫɬɜɢɹ ɩɨɥɭɱɢɦ ɫɢɫɬɟɦɭ ɤɥɚɫɫɨɜ ɋ1 ɋ2 ... ɜɨɡɦɨɠɧɨ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɭɸ ɬɚɤɭɸ ɱɬɨ ɥɸɛɨɣ ɷɥɟɦɟɧɬ ɢɡ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ Ɇ ɜɯɨɞɢɬ ɯɨɬɹ ɛɵ ɜ ɨɞɢɧ ɤɥɚɫɫ

ɬɨ ɟɫɬɶ *Ci M .

i 1

ɗɬɚ ɫɢɫɬɟɦɚ ɨɛɥɚɞɚɟɬ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦɢ ɫɜɨɣɫɬɜɚɦɢɨɧɚ ɨɛɪɚɡɭɟɬ ɪɚɡɛɢɟɧɢɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ Ɇ ɬɨ ɟɫɬɶ ɤɥɚɫɫɵ ɩɨɩɚɪɧɨ ɧɟ ɩɟ-

ɪɟɫɟɤɚɸɬɫɹɥɸɛɵɟ ɞɜɚ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɢɡ ɨɞɧɨɝɨ ɤɥɚɫɫɚ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɵ

ɥɸɛɵɟ ɞɜɚ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɢɡ ɪɚɡɧɵɯ ɤɥɚɫɫɨɜ ɧɟ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɵ ȼɫɟ ɷɬɢ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɩɪɹɦɨ ɫɥɟɞɭɸɬ ɢɡ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬ

ɧɨɫɬɢ Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ ɟɫɥɢ ɛɵ ɧɚɩɪɢɦɟɪ ɤɥɚɫɫɵ ɋ1 ɢ ɋ2 ɩɪɟɫɟɤɚɥɢɫɶ ɬɨ ɨɧɢ ɢɦɟɥɢ ɛɵ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɢɧ ɨɛɳɢɣ ɷɥɟɦɟɧɬ ɗɬɨɬ ɷɥɟɦɟɧɬ ɛɵɥ ɛɵ ɨɱɟɜɢɞɧɨ ɷɤɜɢ ɜɚɥɟɧɬɟɧ a1 ɢ a2 Ɍɨɝɞɚ ɜ ɫɢɥɭ ɬɪɚɧɡɢɬɢɜɧɨɫɬɢ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ R ɜɵɩɨɥɧɹɥɨɫɶ ɛɵ a1 Ra2 Ɉɞɧɚɤɨ ɩɨ ɫɩɨɫɨɛɭ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɹ ɤɥɚɫɫɨɜ ɷɬɨ ɧɟɜɨɡɦɨɠɧɨ Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɦɨɠɧɨ ɞɨɤɚɡɚɬɶ ɞɪɭɝɢɟ ɞɜɚ ɫɜɨɣɫɬɜɚ

ɉɨɫɬɪɨɟɧɧɨɟ ɪɚɡɛɢɟɧɢɟ ɬɨ ɟɫɬɶ ɫɢɫɬɟɦɚ ɤɥɚɫɫɨɜ – ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜ ɦɧɨɠɟ ɫɬɜɚ Ɇ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɢɫɬɟɦɨɣ ɤɥɚɫɫɨɜ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɢ ɩɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ R Ɇɨɳɧɨɫɬɶ ɷɬɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɢɧɞɟɤɫɨɦ ɪɚɡɛɢɟɧɢɹ ɋ ɞɪɭɝɨɣ ɫɬɨɪɨɧɵ ɥɸɛɨɟ

22

ɪɚɡɛɢɟɧɢɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ Ɇ ɧɚ ɤɥɚɫɫɵ ɫɚɦɨ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬ ɧɟɤɨɬɨɪɨɟ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɢ ɚ ɢɦɟɧɧɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ «ɜɯɨɞɢɬɶ ɜ ɨɞɢɧ ɤɥɚɫɫ ɞɚɧɧɨɝɨ ɪɚɡɛɢɟɧɢɹª.

ɉɪɢɦɟɪ 1

ɚ ɜɫɟ ɤɥɚɫɫɵ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɢ ɩɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ȿ ɫɨɫɬɨɹɬ ɢɡ ɨɞ ɧɨɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚ;

ɛ ɮɨɪɦɭɥɵ ɨɩɢɫɵɜɚɸɳɢɟ ɨɞɧɭ ɢ ɬɭ ɠɟ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɧɚɯɨ ɞɹɬɫɹ ɜ ɨɞɧɨɦ ɤɥɚɫɫɟ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɢ ɩɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ ɪɚɜɧɨɫɢɥɶɧɨɫɬɢ ȼ ɞɚɧ ɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɫɱɟɬɧɵɦɢ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɫɚɦɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɮɨɪɦɭɥ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɤɥɚɫɫɨɜ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɢ ɬɨ ɟɫɬɶ ɢɧɞɟɤɫ ɪɚɡɛɢɟɧɢɹ ɢ ɤɚɠɞɵɣ ɤɥɚɫɫ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɫɬɢ;

ɜ ɪɚɡɛɢɟɧɢɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜ ɩɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɢɦɟɟɬ ɤɨɧɬɢɧɭɚɥɶɧɵɣ ɢɧɞɟɤɫ ɩɪɢɱɟɦ ɤɚɠɞɵɣ ɤɥɚɫɫ ɢɦɟɟɬ ɬɚɤɠɟ ɦɨɳɧɨɫɬɶ ɤɨɧɬɢɧɭɭɦ;

ɝ ɪɚɡɛɢɟɧɢɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɩɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ «ɢɦɟɬɶ ɨɛɳɢɣ ɨɫɬɚɬɨɤ ɩɪɢ ɞɟɥɟɧɢɢ ɧɚ 7ª ɢɦɟɟɬ ɤɨɧɟɱɧɵɣ ɢɧɞɟɤɫ ɢ ɫɨɫɬɨɢɬ ɢɡ ɫɟɦɢ ɫɱɟɬɧɵɯ ɤɥɚɫɫɨɜ

ɈɌɇɈɒȿɇɂə ɉɈɊəȾɄȺ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɉɬɧɨɲɟɧɢɟ R ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟɦ ɧɟɫɬɪɨɝɨɝɨ ɩɨ ɪɹɞɤɚ ɟɫɥɢ ɨɧɨ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɪɟɮɥɟɤɫɢɜɧɵɦ ɚɧɬɢɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɵɦ ɢ ɬɪɚɧɡɢɬɢɜɧɵɦ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɉɬɧɨɲɟɧɢɟ R ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟɦ ɫɬɪɨɝɨɝɨ ɩɨɪɹɞ ɤɚ ɟɫɥɢ ɨɧɨ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɚɧɬɢɪɟɮɥɟɤɫɢɜɧɵɦ ɚɧɬɢɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɵɦ ɢ ɬɪɚɧɡɢɬɢɜɧɵɦ Ɉɛɚ ɬɢɩɚ ɨɬɧɨɲɟɧɢɣ ɜɦɟɫɬɟ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹɦɢ ɩɨɪɹɞɤɚ ɗɥɟɦɟɧ ɬɵ a b ɫɪɚɜɧɢɦɵ ɩɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ ɩɨɪɹɞɤɚ R ɟɫɥɢ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɨɞɧɨ ɢɡ ɞɜɭɯ ɨɬ

ɧɨɲɟɧɢɣ aRb ɢɥɢ bRa Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨ M ɧɚ ɤɨɬɨɪɨɦ ɡɚɞɚɧɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɩɨɪɹɞɤɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɨɥɧɨɫɬɶɸ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɵɦ ɟɫɥɢ ɥɸɛɵɟ ɞɜɚ ɟɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɫɪɚɜɧɢɦɵ ȼ ɩɪɨɬɢɜɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɱɚɫɬɢɱɧɨ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɵɦ

ɉɪɢɦɟɪ 1

ɚ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ « dª ɢ « tª ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹɦɢ ɧɟɫɬɪɨɝɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɨɬ ɧɨɲɟɧɢɹ «<ª ɢ «>ª – ɨɬɧɨɲɟɧɢɹɦɢ ɫɬɪɨɝɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɧɚ ɜɫɟɯ ɨɫɧɨɜɧɵɯ ɱɢɫɥɨ ɜɵɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɯ Ɉɛɚ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɩɨɥɧɨɫɬɶɸ ɭɩɨɪɹɞɨɱɢɜɚɸɬ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ N ɢ R ; ɛ ɨɩɪɟɞɟɥɢɦ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ «dª ɢ «<ª ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ Rn ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ

ɡɚɞɚɟɬ ɧɟɫɬɪɨɝɢɣ ɱɚɫɬɢɱɧɵɣ ɩɨɪɹɞɨɤ ɚ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɫɬɪɨɝɨɝɨ ɜɤɥɸɱɟɧɢɹ « ª

23

ɡɚɞɚɟɬ ɫɬɪɨɝɢɣ ɱɚɫɬɢɱɧɵɣ ɩɨɪɹɞɨɤ ɇɚɩɪɢɦɟɪ ^1 2` ^1 2 3` ɚ ^1 2` ɢ ^1 3 4` ɧɟ ɫɪɚɜɧɢɦɵ;

ɝ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɩɨɞɱɢɧɟɧɧɨɫɬɢ ɜ ɬɪɭɞɨɜɨɦ ɤɨɥɥɟɤɬɢɜɟ ɫɨɡɞɚɟɬ ɫɬɪɨɝɢɣ ɱɚ ɫɬɢɱɧɵɣ ɩɨɪɹɞɨɤ ȼ ɧɟɦ ɧɚɩɪɢɦɟɪ ɧɟɫɪɚɜɧɢɦɵɦɢ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɫɨɬɪɭɞɧɢɤɢ ɪɚɡ ɥɢɱɧɵɯ ɫɬɪɭɤɬɭɪɧɵɯ ɩɨɞɪɚɡɞɟɥɟɧɢɣ ɨɬɞɟɥɨɜ ɢ ɬ ɩ ;

ɞ ɜ ɚɥɮɚɜɢɬɟ ɪɭɫɫɤɨɝɨ ɹɡɵɤɚ ɩɨɪɹɞɨɤ ɛɭɤɜ ɡɚɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧ ɬɨ ɟɫɬɶ ɜɫɟɝɞɚ ɨɞɢɧ ɢ ɬɨɬ ɠɟ Ɍɨɝɞɚ ɷɬɨɬ ɫɩɢɫɨɤ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬ ɩɨɥɧɨɟ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɢɟ ɛɭɤɜ ɤɨɬɨ ɪɨɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟɦ ɩɪɟɞɲɟɫɬɜɨɜɚɧɢɹ Ɉɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ ai E a j ai ɩɪɟɞ

ɲɟɫɬɜɭɟɬ a j ɇɚ ɨɫɧɨɜɚɧɢɢ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɩɪɟɞɲɟɫɬɜɨɜɚɧɢɹ ɛɭɤɜ ɩɨɫɬɪɨɟɧɨ ɨɬ

ɧɨɲɟɧɢɟ ɩɪɟɞɲɟɫɬɜɨɜɚɧɢɹ ɫɥɨɜ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦɨɟ ɩɪɢɦɟɪɧɨ ɬɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɤɚɤ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɫɹ ɫɪɚɜɧɟɧɢɟ ɞɜɭɯ ɞɟɫɹɬɢɱɧɵɯ ɞɪɨɛɟɣ ɗɬɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɟɬ ɩɨɥ ɧɨɟ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɢɟ ɫɥɨɜ ɜ ɪɭɫɫɤɨɦ ɚɥɮɚɜɢɬɟ ɤɨɬɨɪɨɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɥɟɤɫɢɤɨɝɪɚɮɢ ɱɟɫɤɢɦ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɢɟɦ

ɉɪɢɦɟɪ 1

ɚ ɧɚɢɛɨɥɟɟ ɢɡɜɟɫɬɧɵɦ ɩɪɢɦɟɪɨɦ ɥɟɤɫɢɤɨɝɪɚɮɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɢɹ ɫɥɨɜ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɢɟ ɫɥɨɜ ɜ ɫɥɨɜɚɪɹɯ ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɥɟɫEɥɟɬɨ ɬɚɤ ɤɚɤ ɫ E ɬ ɩɨɷɬɨɦɭ ɫɥɨɜɨ ɥɟɫ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɨ ɜ ɫɥɨɜɚɪɟ ɪɚɧɶɲɟ ɫɥɨɜɚ ɥɟɬɨ;

ɛ ɟɫɥɢ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɱɢɫɥɚ ɜ ɩɨɡɢɰɢɨɧɧɵɯ ɫɢɫɬɟɦɚɯ ɫɱɢɫɥɟɧɢɹ ɧɚɩɪɢ ɦɟɪ ɜ ɞɟɫɹɬɢɱɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɟ ɤɚɤ ɫɥɨɜɚ ɜ ɚɥɮɚɜɢɬɟ ɰɢɮɪ ɬɨ ɢɯ ɥɟɤɫɢɤɨɝɪɚɮɢɱɟ ɫɤɨɟ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɢɟ ɫɨɜɩɚɞɚɟɬ ɫ ɨɛɵɱɧɵɦ ɟɫɥɢ ɜɫɟ ɫɪɚɜɧɢɜɚɟɦɵɟ ɱɢɫɥɚ ɢɦɟɸɬ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɪɚɡɪɹɞɨɜ ȼ ɨɛɳɟɦ ɠɟ ɫɥɭɱɚɟ ɷɬɢ ɞɜɚ ɜɢɞɚ ɦɨɝɭɬ ɧɟ ɫɨɜɩɚɞɚɬɶ ɇɚɩɪɢɦɟɪ 10 1073 ɢ 20 1073 ɧɨ 10 E1073 ɚ 20 ;1073 Ⱦɥɹ ɬɨɝɨ ɱɬɨɛɵ ɨɧɢ ɫɨɜɩɚɞɚɥɢ ɧɭɠɧɨ ɭɪɚɜɧɹɬɶ ɱɢɫɥɨ ɪɚɡɪɹɞɨɜ ɭ ɜɫɟɯ ɫɪɚɜɧɢɜɚɟɦɵɯ ɱɢ ɫɟɥ ɩɪɢɩɢɫɵɜɚɹ ɫɥɟɜɚ ɧɭɥɢ ȼ ɞɚɧɧɨɦ ɩɪɢɦɟɪɟ ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɩɨɥɭɱɢɦ 0020 E1073. Ɍɚɤɨɟ ɜɵɪɚɜɧɢɜɚɧɢɟ ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬ ɚɜɬɨɦɚɬɢɱɟɫɤɢ ɩɪɢ ɡɚɩɢɫɢ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ ɜ ɗȼɆ;

ɜ ɥɟɤɫɢɤɨɝɪɚɮɢɱɟɫɤɨɟ ɭɩɨɪɹɞɨɱɢɜɚɧɢɟ ɰɢɮɪɨɜɵɯ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɣ ɞɚɬ ɜɢ ɞɚ ɞɟɜɹɬɧɚɞɰɚɬɨɟ ɢɸɥɹ ɞɜɟ ɬɵɫɹɱɢ ɱɟɬɜɟɪɬɨɝɨ ɝɨɞɚ ɧɟ ɫɨɜɩɚɞɚɟɬ ɫ ɟɫɬɟɫɬɜɟɧɧɵɦ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɢɟɦ ɞɚɬ ɨɬ ɛɨɥɟɟ ɪɚɧɧɢɯ ɤ ɛɨɥɟɟ ɩɨɡɞɧɢɦ ɇɚɩɪɢ ɦɟɪ ɞɚɬɚ «ɥɟɤɫɢɤɨɝɪɚɮɢɱɟɫɤɢª ɫɬɚɪɲɟ ɜɨɫɟɦɧɚɞɰɚɬɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɥɸɛɨ ɝɨ ɝɨɞɚ ɑɬɨɛɵ ɜɨɡɪɚɫɬɚɧɢɟ ɞɚɬ ɫɨɜɩɚɞɚɥɨ ɫ ɥɟɤɫɢɤɨɝɪɚɮɢɱɟɫɤɢɦ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɢɟɦ ɨɛɵɱɧɨɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ ɧɚɞɨ «ɩɟɪɟɜɟɪɧɭɬɶª ɬɨ ɟɫɬɶ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ 2004.07.19. Ɍɚɤ ɨɛɵɱɧɨ ɞɟɥɚɸɬ ɩɪɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɢ ɞɚɬ ɜ ɩɚɦɹɬɢ ɗȼɆ

24

ʟʏʖʓʔʚ

ʑʑʔʓʔʜʗʔ ʑ ʝʐʨʢʭ ʏʚʒʔʐʟʢ

ʚˈˍ˙ˋˢ ͒ 5Ǥ ʬˎˈˏˈː˕˞ ˑ˄˜ˈˌ ˃ˎˆˈ˄˓˞

1.ɋȼɈɃɋɌȼȺ ȻɂɇȺɊɇɕɏ ȺɅȽȿȻɊȺɂɑȿɋɄɂɏ ɈɉȿɊȺɐɂɃ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɇɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ Ⱥ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɚɹ ɨɩɟɪɚɰɢɹ ɟɫɥɢ ɤɚɠɞɵɦ ɞɜɭɦ ɷɥɟɦɟɧɬɚɦ ɷɬɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɜɡɹɬɵɦ ɜ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɦ ɩɨ ɪɹɞɤɟ ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɩɨɫɬɚɜɥɟɧ ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɧɟɤɨɬɨɪɵɣ ɬɪɟɬɢɣ ɷɥɟ ɦɟɧɬ ɢɡ ɷɬɨɝɨ ɠɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ

ɉɪɢɦɟɪɚɦɢ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɨɩɟɪɚɰɢɣ ɦɨɝɭɬ ɫɥɭɠɢɬɶ ɬɚɤɢɟ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɤɚɤ ɫɥɨɠɟɧɢɟ ɢ ɜɵɱɢɬɚɧɢɟ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ ɫɥɨɠɟɧɢɟ ɢ ɜɵɱɢɬɚɧɢɟ ɜɟɤɬɨɪɨɜ ɦɚɬɪɢɰ ɭɦɧɨɠɟɧɢɟ ɤɜɚɞɪɚɬɧɵɯ ɦɚɬɪɢɰ ɜɟɤɬɨɪɧɨɟ ɭɦɧɨɠɟɧɢɟ ɜɟɤɬɨɪɨɜ ɢ ɞɪ

Ɉɬɦɟɬɢɦ ɱɬɨ ɫɤɚɥɹɪɧɨɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɜɟɤɬɨɪɨɜ ɧɟ ɦɨɠɟɬ ɫɱɢɬɚɬɶɫɹ ɚɥ ɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɨɣ ɨɩɟɪɚɰɢɟɣ ɬ ɤ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɨɦ ɫɤɚɥɹɪɧɨɝɨ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ ɛɭɞɟɬ ɱɢɫ ɥɨ ɢ ɱɢɫɥɚ ɧɟ ɨɬɧɨɫɹɬɫɹ ɤ ɦɧɨɠɟɫɬɜɭ ɜɟɤɬɨɪɨɜ ɤ ɤɨɬɨɪɨɦɭ ɨɬɧɨɫɹɬɫɹ ɫɨɦɧɨɠɢɬɟɥɢ

Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟ ȼɨɨɛɳɟ ɝɨɜɨɪɹ ɨɩɟɪɚɰɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɚɹ ɬɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɛɢɧɚɪɧɨɣ ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɜ ɧɟɣ ɭɱɚɫɬɜɭɸɬ ɞɜɚ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɇɨ ɬɚɤɠɟ ɦɨɠɧɨ ɝɨɜɨɪɢɬɶ ɨɛ ɭɧɚɪɧɵɯ ɨɩɟɪɚɰɢɹɯ ɜ ɤɨɬɨɪɵɯ ɭɱɚɫɬɜɭɟɬ ɬɨɥɶɤɨ ɨɞɢɧ ɷɥɟɦɟɧɬ ɞɚɧ ɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɢ ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɟɦɭ ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɩɨɫɬɚɜɥɟɧ ɜɬɨɪɨɣ ɷɥɟɦɟɧɬ ɷɬɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ Ɍɚɤɨɜɵ ɧɚɩɪɢɦɟɪ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɢɡɜɥɟɱɟɧɢɹ ɤɨɪɧɹ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɢɥɢ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹ ɦɨɞɭɥɹ ɱɢɫɥɚ

Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɦɨɠɧɨ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɬɪɢɧɚɪɧɭɸ ɢ ɩɪɨɱɢɟ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɧɚ ɞɚɧɧɨɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ ɜ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɨɬ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɚ ɭɱɚɫɬɜɭɸɳɢɯ ɜ ɧɢɯ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ȼ ɨɛɳɟɦ ɫɥɭɱɚɟ n ɚɪɧɨɣ ɨɩɟɪɚɰɢɟɣ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ Ɇ ɛɭɞɟɦ ɧɚɡɵɜɚɬɶ ɮɭɧɤɰɢɸ ɬɢɩɚ I M n o M

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɉɩɟɪɚɰɢɹ D ɨɬɨɛɪɚɠɚɸɳɚɹ ɥɸɛɨɣ ɷɥɟɦɟɧɬ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ Ɇ ɜ ɫɟɛɹ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɬɨɠɞɟɫɬɜɟɧɧɨɣ ɨɩɟɪɚɰɢɟɣ.

Ɍɨɠɞɟɫɬɜɟɧɧɨɣ ɨɩɟɪɚɰɢɟɣ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ R ɧɚɩɪɢɦɟɪ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɭɦɧɨɠɟ ɧɢɟ ɧɚ ɟɞɢɧɢɰɭ

Ⱦɥɹ ɬɨɝɨ ɱɬɨɛɵ ɨɩɢɫɚɧɧɵɟ ɧɢɠɟ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɜɵɝɥɹɞɟɥɢ ɛɵ ɛɨɥɟɟ ɩɪɢ ɜɵɱɧɨ ɩɨɥɨɠɢɦ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɹ ɛɢɧɚɪɧɨɣ ɨɩɟɪɚɰɢɢ M ɷɥɟɦɟɧɬɚɦ a b ɡɚɩɢɫɵɜɚɬɶ ɧɟ ɜ ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɶɧɨɦ ɜɢɞɟ M a b ɚ ɜɢɞɟ aMb ɩɪɢɧɹɬɨɦ ɞɥɹ ɡɚɩɢɫɢ

ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɢɯ ɨɩɟɪɚɰɢɣ

25

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɉɩɟɪɚɰɢɹ M ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɤɨɦɦɭɬɚɬɢɜɧɨɣ ɟɫɥɢ ɞɥɹ ɥɸɛɵɯ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ a b ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ aIb bI a.

Ɉɩɟɪɚɰɢɢ ɫɥɨɠɟɧɢɹ ɢ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ ɱɢɫɟɥ ɤɨɦɦɭɬɚɬɢɜɧɵ ɚ ɜɵɱɢɬɚɧɢɟ ɢ ɞɟɥɟɧɢɟ ɧɟɤɨɦɦɭɬɚɬɢɜɧɵ Ɍɚɤɠɟ ɧɟɤɨɦɦɭɬɚɬɢɜɧɚ ɨɩɟɪɚɰɢɹ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ ɦɚɬɪɢɰɤɚɤ ɢɡɜɟɫɬɧɨ ɢɡ ɤɭɪɫɚ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɚɥɝɟɛɪɵ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɉɩɟɪɚɰɢɹ M ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɚɫɫɨɰɢɚɬɢɜɧɨɣ ɟɫɥɢ ɞɥɹ ɥɸɛɵɯ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ a b c ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ aIb I c aI bI c

ȼɵɩɨɥɧɟɧɢɟ ɭɫɥɨɜɢɹ ɚɫɫɨɰɢɚɬɢɜɧɨɫɬɢ ɨɡɧɚɱɚɟɬ ɱɬɨ ɫɤɨɛɤɢ ɜ ɜɵɪɚɠɟɧɢɢ aM bM c ɦɨɠɧɨ ɧɟ ɪɚɫɫɬɚɜɥɹɬɶ ɋɥɨɠɟɧɢɟ ɢ ɭɦɧɨɠɟɧɢɟ ɱɢɫɟɥ ɚɫɫɨɰɢɚɬɢɜɧɵ ɱɬɨ ɢ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɧɟ ɫɬɚɜɢɬɶ ɫɤɨɛɤɢ ɜ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹɯ ɬɢɩɚ a b c ɢ abc ȼ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɩɪɢɦɟɪɚ ɧɟɚɫɫɨɰɢɚɬɢɜɧɨɣ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɦɨɠɧɨ ɩɪɢɜɟɫɬɢ ɜɨɡɜɟɞɟɧɢɟ ɜ ɫɬɟɩɟɧɶ

ab c z a bc .

ɉɪɚɜɞɚ ɡɚɩɢɫɶ abc ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɞɨɩɭɫɬɢɦɨɣ ɧɨ ɫɥɭɠɢɬ ɫɨɤɪɚɳɟɧɢɟɦ ɡɚɩɢɫɢ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ a bc ɚ ɧɟ ab c ɫɨɤɪɚɳɟɧɧɚɹ ɡɚɩɢɫɶ ɤɨɬɨɪɨɝɨ – abc ȼɚɠɧɵɦ ɩɪɢ ɦɟɪɨɦ ɚɫɫɨɰɢɚɬɢɜɧɨɣ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɤɨɦɩɨɡɢɰɢɹ ɨɬɨɛɪɚɠɟɧɢɣ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɉɩɟɪɚɰɢɹ M ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɞɢɫɬɪɢɛɭɬɢɜɧɨɣ ɫɥɟɜɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɩɟɪɚɰɢɢ \ ɟɫɥɢ ɞɥɹ ɥɸɛɵɯ a b c ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ

aM b\c aMb \ aMc

ɢ ɞɢɫɬɪɢɛɭɬɢɜɧɨɣ ɫɩɪɚɜɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɩɟɪɚɰɢɢ \ ɟɫɥɢ ɞɥɹ ɥɸɛɵɯ a b c ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ

a\b Mc aMc \ bMc .

ɇɚɥɢɱɢɟ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɞɢɫɬɪɢɛɭɬɢɜɧɨɫɬɢ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɪɚɫɤɪɵɜɚɬɶ ɫɤɨɛɤɢ ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɭɦɧɨɠɟɧɢɟ ɞɢɫɬɪɢɛɭɬɢɜɧɨ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɫɥɨɠɟɧɢɹ ɢ ɜɵɱɢɬɚɧɢɹ ɢ ɫɩɪɚɜɚ ɢ ɫɥɟɜɚ

b c a a b c ab ac .

ȼɨɡɜɟɞɟɧɢɟ ɜ ɫɬɟɩɟɧɶ ɞɢɫɬɪɢɛɭɬɢɜɧɨ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ ɫɩɪɚɜɚab c acbc ɧɨ ɧɟ ɫɥɟɜɚ abc z abac ɋɥɨɠɟɧɢɟ ɢ ɜɵɱɢɬɚɧɢɟ ɱɢɫɟɥ ɧɟɞɢɫɬɪɢɛɭ ɬɢɜɧɨ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ a bc z a b a c ɇɢɠɟ ɛɭɞɟɬ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɱɬɨ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɹ ɢ ɨɛɴɟɞɢɧɟɧɢɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜ ɞɢɫɬɪɢɛɭɬɢɜɧɵ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɞɪɭɝ ɞɪɭɝɚ ɢ ɫɥɟɜɚ ɢ ɫɩɪɚɜɚ

26

ȺɅȽȿȻɊȺɂɑȿɋɄɂȿ ɋɌɊɍɄɌɍɊɕ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɉɭɫɬɶ ɞɚɧɨ ɧɟɤɨɬɨɪɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ Ɇ ɧɚ ɤɨɬɨɪɨɦ ɡɚɞɚɧɚ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ ɨɩɟɪɚɰɢɣ : ^M1 M2 Mm ` ɋɬɪɭɤɬɭɪɚ ɜɢɞɚ A M ;: ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ

ɚɥɝɟɛɪɨɣ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ Ɇ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɧɟɫɭɳɢɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɦ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ ɨɩɟ ɪɚɰɢɣ : – ɫɢɝɧɚɬɭɪɨɣ ɜɟɤɬɨɪ «ɚɪɧɨɫɬɟɣª ɨɩɟɪɚɰɢɣ ɩ1 ɩ2 ɩɬ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ

ɬɢɩɨɦ.

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨ Ɇc Ɇ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɡɚɦɤɧɭɬɵɦ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɩ ɚɪɧɨɣ ɨɩɟɪɚɰɢɢ M ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ Ɇ ɟɫɥɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɮɭɧɤɰɢɢ M ɧɚ ɚɪɝɭɦɟɧ ɬɚɯ Ɇc ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɬ Ɇc ɬɨ ɟɫɬɶ M Ɇc Ɇc ȿɫɥɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ Ɇc ɡɚɦɤɧɭɬɨ ɨɬ ɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɜɫɟɯ ɨɩɟɪɚɰɢɣ : ^M1 M2 Mm ` ɬɨ ɫɬɪɭɤɬɭɪɚ Ac ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ

ɩɨɞɚɥɝɟɛɪɨɣ ɚɥɝɟɛɪɵ A.

ɉɪɢɦɟɪ

ɚ ɚɥɝɟɛɪɚ R R; ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɨɥɟɦ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɩɨɧɹɬɢɹ ɩɨɥɹ ɛɭɞɟɬ ɞɚɧɨ ɧɢɠɟ ȿɟ ɬɢɩ – 2 2 ɗɬɨ ɨɡɧɚɱɚɟɬ ɱɬɨ ɫɢɝɧɚɬɭɪɚ ɞɚɧɧɨɣ ɚɥɝɟɛɪɵ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɞɜɟ ɛɢɧɚɪɧɵɟ ɨɩɟɪɚɰɢɢ Ɂɞɟɫɶ ɜɫɟ ɤɨɧɟɱɧɵɟ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɤɪɨɦɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ^0` ɧɟ ɡɚɦɤɧɭɬɵ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɛɟɢɯ ɨɩɟɪɚ ɰɢɣ ɢ ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɧɟ ɦɨɝɭɬ ɨɛɪɚɡɨɜɵɜɚɬɶ ɩɨɞɚɥɝɟɛɪɵ ɇɨ ɚɥɝɟɛɪɚ ɜɢɞɚ Q Q; – ɩɨɥɟ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ – ɨɛɪɚɡɭɟɬ ɩɨɞɚɥɝɟɛɪɭ;

ɛ ɩɭɫɬɶ ɡɚɞɚɧɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ Ɇ Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ ɟɝɨ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜ – ɛɭɥɟ

ɚɧ ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ ɤɚɤ 2Ɇ ɢɥɢ % Ɇ Ⱥɥɝɟɛɪɚ % Ɇ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɛɭɥɟɜɨɣ

ɜ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ F ɨɞɧɨɦɟɫɬɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɧɚ R ɬɨ ɟɫɬɶ ɮɭɧɤɰɢɣ f R o R ɜɦɟɫɬɟ ɫ ɭɧɚɪɧɨɣ ɨɩɟɪɚɰɢɟɣ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɨɜɚɧɢɹ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɚɥɝɟɛɪɨɣ Ɇɧɨɠɟ ɫɬɜɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɡɚɦɤɧɭɬɨ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɷɬɨɣ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɚɹ ɥɸɛɨɣ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɟɫɬɶ ɬɚɤɠɟ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɚɹ ɮɭɧɤ ɰɢɹ ɩɨɷɬɨɦɭ ɨɛɪɚɡɭɟɬ ɩɨɞɚɥɝɟɛɪɭ ɞɚɧɧɨɣ ɚɥɝɟɛɪɵ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɂɚɦɵɤɚɧɢɟɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ Ɇc Ɇ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɫɢɝɧɚɬɭɪɵ :ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ [M c]: ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɤɨɬɨɪɵɟ ɦɨɠɧɨ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɢɡ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɷɬɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɩɪɢɦɟɧɹɹ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɢɡ ɫɢɝɧɚɬɭɪɵ:ɜɤɥɸɱɚɹ ɫɚɦɢ ɷɥɟɦɟɧɬɵ Ɇc

ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɜ ɚɥɝɟɛɪɟ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ Z Z ; ɡɚɦɵɤɚɧɢɟɦ ɱɢɫɥɚ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɱɟɬɧɵɯ ɱɢɫɟɥ

Ɍɟɨɪɟɦɚ ɇɟɩɭɫɬɨɟ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɟ ɩɨɞɚɥɝɟɛɪ ɨɛɪɚɡɭɟɬ ɩɨɞɚɥɝɟɛɪɭ

27

ȽɈɆɈɆɈɊɎɂɁɆ ɂ ɂɁɈɆɈɊɎɂɁɆ

Ⱥɥɝɟɛɪɵ ɫ ɪɚɡɥɢɱɧɵɦɢ ɬɢɩɚɦɢ ɜ ɫɦɵɫɥɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɦ ɜ ɩɭɧɤɬɟ ɨɱɟ ɜɢɞɧɨ ɢɦɟɸɬ ɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɨ ɪɚɡɥɢɱɧɨɟ ɫɬɪɨɟɧɢɟ ȿɫɥɢ ɠɟ ɚɥɝɟɛɪɵ ɢɦɟɸɬ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɣ ɬɢɩ ɬɨ ɧɚɥɢɱɢɟ ɭ ɧɢɯ ɫɯɨɞɫɬɜɚ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɟɬɫɹ ɜɜɨɞɢɦɵɯ ɧɢɠɟ ɩɨɧɹɬɢɣ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɉɭɫɬɶ ɞɚɧɵ ɞɜɟ ɚɥɝɟɛɪɵ A M1 ;M1 Mn ɢ B M 2 ;\1 \n .

Ƚɨɦɨɦɨɪɮɢɡɦɨɦ ɚɥɝɟɛɪɵ A ɜ ɚɥɝɟɛɪɭ B ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɹ f Ɇ1 o Ɇ2 ɬɚ ɤɚɹ ɱɬɨ ɞɥɹ ɜɫɟɯ a M1 ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɭɫɥɨɜɢɟ

f Mi a \i f a ɞɥɹ ɥɸɛɨɝɨ i 1 n .

ɋɦɵɫɥ ɞɚɧɧɨɝɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɫɥɟɞɭɸɳɟɦ ɇɟɡɚɜɢɫɢɦɨ ɨɬ ɬɨɝɨ ɜɵɩɨɥɧɟɧɚ ɥɢ ɫɧɚɱɚɥɚ ɨɩɟɪɚɰɢɹ Mi ɜ ɚɥɝɟɛɪɟ A ɚ ɩɨɬɨɦ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɨ ɨɬɨɛɪɚ-

ɠɟɧɢɟ f ɥɢɛɨ ɫɧɚɱɚɥɚ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɨ ɨɬɨɛɪɚɠɟɧɢɟ f ɚ ɩɨɬɨɦ ɜ ɚɥɝɟɛɪɟ B ɜɵ ɩɨɥɧɟɧɚ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɚɹ ɨɩɟɪɚɰɢɹ \i ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɛɭɞɟɬ ɨɞɢɧɚɤɨɜ

ɋɟɣɱɚɫ ɦɵ ɨɩɪɟɞɟɥɢɦ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɜɢɞɵ ɝɨɦɨɦɨɪɮɢɡɦɚ ɨɛɥɚɞɚɸɳɢɟ ɞɨ ɩɨɥɧɢɬɟɥɶɧɵɦɢ ɫɜɨɣɫɬɜɚɦɢ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ƚɨɦɨɦɨɪɮɢɡɦ ɤɨɬɨɪɵɣ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɢɧɴɟɤɰɢɟɣ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ

ɦɨɧɨɦɨɪɮɢɡɦɨɦ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ƚɨɦɨɦɨɪɮɢɡɦ ɤɨɬɨɪɵɣ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɸɪɴɟɤɰɢɟɣ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ

ɷɩɢɦɨɪɮɢɡɦɨɦ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ƚɨɦɨɦɨɪɮɢɡɦ ɤɨɬɨɪɵɣ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɛɢɟɤɰɢɟɣ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ

ɢɡɨɦɨɪɮɢɡɦɨɦ

Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɦɨɠɧɨ ɫɤɚɡɚɬɶ ɱɬɨ ɢɡɨɦɨɪɮɢɡɦ – ɷɬɨ ɜɡɚɢɦɧɨ ɨɞɧɨɡɧɚɱ ɧɵɣ ɝɨɦɨɦɨɪɮɢɡɦ

Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟ ȿɫɥɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ-ɧɨɫɢɬɟɥɢ ɞɜɭɯ ɞɚɧɧɵɯ ɚɥɝɟɛɪ ɪɚɜɧɵ ɬɨ ɢɯ

ɝɨɦɨɦɨɪɮɢɡɦ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɷɧɞɨɦɨɪɮɢɡɦɨɦ ɚ ɢɡɨɦɨɪɮɢɡɦ – ɚɜɬɨɦɨɪɮɢɡɦɨɦ.

Ɍɟɨɪɟɦɚ ȿɫɥɢ A M1 ;M1 Mn ɢ B M 2 ;\1 \n – ɞɜɟ ɚɥɝɟɛɪɵ ɨɞ ɧɨɝɨ ɬɢɩɚ ɢ f M1 o M2 – ɢɡɨɦɨɪɮɢɡɦ ɬɨ f 1 B o A – ɬɨɠɟ ɢɡɨɦɨɪɮɢɡɦ

ɉɪɢɦɟɪ 16

ɚ ɩɭɫɬɶ N – ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ N2 – ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɟɬɧɵɯ ɱɢɫɟɥ Ⱥɥɝɟɛɪɵ N; ɢ N2 ; ɢɡɨɦɨɪɮɧɵ ɢɡɨɦɨɪɮɢɡɦɨɦ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɨɬɨɛɪɚɠɟɧɢɟ f n o 2n ɩɪɢɱɟɦ ɭɫɥɨɜɢɟ ɡɞɟɫɶ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ 2 a b 2a 2b . ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ N2 N ɬɨ ɞɚɧɧɵɣ ɢɡɨɦɨɪɮɢɡɦ ɟɫɬɶ ɢɡɨɦɨɪɮɢɡɦ ɚɥɝɟɛɪɵ N; ɜ ɫɟɛɹ;

ɜ ɛɭɥɟɜɵ ɚɥɝɟɛɪɵ ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɧɵɟ ɞɜɭɦɹ ɪɚɡɥɢɱɧɵɦɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɦɢ ɨɞɢ ɧɚɤɨɜɨɣ ɦɨɳɧɨɫɬɢ ɢɡɨɦɨɪɮɧɵ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɭ ɧɢɯ ɩɪɨɫɬɨ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵ ɫɦ ɜɵɲɟ ɚ ɨɬɨɛɪɚɠɟɧɢɟɦ f ɦɨɠɟɬ ɫɥɭɠɢɬɶ ɥɸɛɨɟ ɜɡɚɢɦɧɨɨɞɧɨɡɧɚɱɧɨɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ

Ɍɟɨɪɟɦɚ Ɉɬɧɨɲɟɧɢɟ ɢɡɨɦɨɪɮɢɡɦɚ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟɦ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬ ɧɨɫɬɢ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ ɚɥɝɟɛɪ

ɉɨɧɹɬɢɟ ɢɡɨɦɨɪɮɢɡɦɚ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɨɞɧɢɦ ɢɡ ɜɚɠɧɟɣɲɢɯ ɩɨɧɹɬɢɣ ɜ ɦɚɬɟɦɚ ɬɢɤɟ ȿɝɨ ɫɭɳɧɨɫɬɶ ɦɨɠɧɨ ɜɵɪɚɡɢɬɶ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ȿɫɥɢ ɞɜɟ ɚɥɝɟɛɪɵ ɢɡɨɦɨɪɮɧɵ ɬɨ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɢ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɥɸɛɨɣ ɢɡ ɧɢɯ ɦɨɠɧɨ ɩɟɪɟɢɦɟɧɨɜɚɬɶ ɬɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɱɬɨ ɷɬɢ ɚɥɝɟɛɪɵ ɫɨɜɩɚɞɭɬ ɗɬɨ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɩɨɥɭɱɢɜ ɧɟɤɨɬɨɪɨɟ ɷɤ ɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨɟ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɚɥɝɟɛɪɟ ɪɚɫɩɪɨɫɬɪɚɧɹɬɶ ɟɝɨ ɧɚ ɥɸɛɭɸ ɢɡɨɦɨɪɮɧɭɸ ɟɣ ɚɥɝɟɛɪɭ Ɋɚɫɩɪɨɫɬɪɚɧɟɧɧɨɟ ɜ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ «ɫ ɬɨɱ ɧɨɫɬɶɸ ɞɨ ɢɡɨɦɨɪɮɢɡɦɚª ɨɡɧɚɱɚɟɬ ɱɬɨ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɸɬɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɬɟ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɨɛɴɟɤɬɨɜ ɤɨɬɨɪɵɟ ɫɨɯɪɚɧɹɸɬɫɹ ɩɪɢ ɢɡɨɦɨɪɮɢɡɦɟ ɬɨ ɟɫɬɶ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɨɛɳɢɦɢ ɞɥɹ ɜɫɟɯ ɢɡɨɦɨɪɮɧɵɯ ɨɛɴɟɤɬɨɜ ȼ ɱɚɫɬɧɨɫɬɢ ɢɡɨɦɨɪɮɢɡɦ ɫɨɯɪɚɧɹɟɬ ɤɨɦɦɭɬɚ ɬɢɜɧɨɫɬɶ ɚɫɫɨɰɢɚɬɢɜɧɨɫɬɶ ɢ ɞɢɫɬɪɢɛɭɬɢɜɧɨɫɬɶ

ʚˈˍ˙ˋˢ͒6Ǥʟ˃ˊˎˋ˚ː˞ˈ˅ˋˇ˞˃ˎˆˈ˄˓˃ˋ˚ˈ˔ˍˋ˘˔˕˓˖ˍ˕˖˓

1. ɉɈɅɍȽɊɍɉɉɕ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɉɨɥɭɝɪɭɩɩɨɣ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɚɥɝɟɛɪɚ ɜɢɞɚ M ;M ɫ ɨɞɧɨɣ ɚɫɫɨ ɰɢɚɬɢɜɧɨɣ ɛɢɧɚɪɧɨɣ ɨɩɟɪɚɰɢɟɣ M .

Ʉɚɤ ɩɪɚɜɢɥɨ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɬɚɤɨɣ ɨɩɟɪɚɰɢɢ M ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɭɦɧɨɠɟɧɢɟ ɉɨ ɷɬɨɦɭ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɟɟ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɹ ɤ ɞɜɭɦ ɪɚɡɥɢɱɧɵɦ ɷɥɟɦɟɧɬɚɦ ɡɚɩɢɫɵɜɚɸɬ ɜ ɜɢ ɞɟ a · b ɢɥɢ ab ɚ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɧɟɨɞɧɨɤɪɚɬɧɨɝɨ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɹ ɤ ɨɞɧɨɦɭ ɷɥɟɦɟɧɬɭ ɡɚɩɢɫɵɜɚɸɬ ɜ ɜɢɞɟ a2 a3 ɢ ɬɚɤ ɞɚɥɟɟ Ɍɚɤɚɹ ɡɚɩɢɫɶ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɦɭɥɶɬɢɩɥɢɤɚɬɢɜ ɧɨɣ ɉɨɥɭɝɪɭɩɩɭ ɱɚɫɬɨ ɨɛɨɡɧɚɱɚɸɬ ɡɚɩɢɫɶɸ P M ;D .

Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟ ɇɟ ɫɥɟɞɭɟɬ ɩɨɧɢɦɚɬɶ ɫɤɚɡɚɧɧɨɟ ɜɵɲɟ ɜ ɬɨɦ ɫɦɵɫɥɟ ɱɬɨ ɩɨ ɥɭɝɪɭɩɩɚ ɜɫɟɝɞɚ ɜɤɥɸɱɚɟɬ ɜ ɫɟɛɹ ɢɦɟɧɧɨ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɭɸ ɨɩɟɪɚɰɢɸ ɭɦɧɨɠɟ ɧɢɹ Ɍɟɪɦɢɧ «ɭɦɧɨɠɟɧɢɟª ɡɞɟɫɶ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɭɫɥɨɜɧɵɦ ɋɢɦɜɨɥ «Dª ɩɪɢɦɟɧɹɟɬɫɹ ɢɦɟɧɧɨ ɞɥɹ ɬɨɝɨ ɱɬɨɛɵ ɭɤɚɡɚɬɶ ɧɚ ɷɬɨ ɉɨɞ ɫɢɦɜɨɥɨɦ «Dª ɦɨɠɟɬ ɩɨɧɢɦɚɬɶɫɹ ɢ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɦɚɬɪɢɰ ɢɥɢ ɜɟɤɬɨɪɨɜ ɢ ɤɨɦɩɨɡɢɰɢɹ ɤɚɤɢɯ-ɥɢɛɨ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɣ ɢ ɞɚɠɟ ɫɥɨɠɟɧɢɟ

ȼ ɨɛɳɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ab z ba ɤɚɤ ɧɚɩɪɢɦɟɪ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɦɚɬɪɢɰ ɬɨ ɟɫɬɶ ɞɚɧɧɚɹ ɨɩɟɪɚɰɢɹ ɧɟɤɨɦɦɭɬɚɬɢɜɧɚ ȿɫɥɢ ɠɟ ɭɦɧɨɠɟɧɢɟ ɤɨɦɦɭɬɚɬɢɜɧɨ ɬɨ ɩɨɥɭ ɝɪɭɩɩɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɤɨɦɦɭɬɚɬɢɜɧɨɣ ɢɥɢ ɚɛɟɥɟɜɨɣ ɩɨɥɭɝɪɭɩɩɨɣ

29

ȿɫɥɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ-ɧɨɫɢɬɟɥɶ ɩɨɥɭɝɪɭɩɩɵ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɬɚɤɨɣ ɷɥɟɦɟɧɬ e ɱɬɨ ɞɥɹ ɥɸɛɨɝɨ a ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ae ea a ɬɨ ɷɬɨɬ ɷɥɟɦɟɧɬ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɟɞɢɧɢɰɟɣɧɟɣɬɪɚɥɶɧɵɦ ɷɥɟɦɟɧɬɨɦ ɚ ɬɚɤɚɹ ɩɨɥɭɝɪɭɩɩɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɦɨɧɨɢɞɨɦ Ʌɟɝɤɨ ɩɨɤɚɡɚɬɶ ɱɬɨ ɟɫɥɢ ɩɨɥɭɝɪɭɩɩɚ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɟɞɢɧɢɰɭ ɬɨ ɨɧɚ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɚ Ⱦɟɣɫɬɜɢ ɬɟɥɶɧɨ ɞɨɩɭɫɬɢɦ ɫɭɳɟɫɬɜɭɸɬ ɞɜɟ ɟɞɢɧɢɰɵ e1 ɢ e2 Ɍɨɝɞɚ e1e2 e1 ɢ e1e2 e2 ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ e1 e2.

ɉɪɢɦɟɪ 7

ɚ ɚɥɝɟɛɪɚ N2 ; ɝɞɟ N2 – ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɱɟɬɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɚɛɟɥɟɜɨɣ ɩɨ ɥɭɝɪɭɩɩɨɣ Ɉɞɧɚɤɨ ɨɱɟɜɢɞɧɨ ɨɧɚ ɧɟ ɢɦɟɟɬ ɟɞɢɧɢɰɵ;

ɛ ɚɥɝɟɛɪɚ M ; ɝɞɟ M – ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɵɯ ɦɚɬɪɢɰ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨɣ ɪɚɡɦɟɪɧɨɫɬɢ ɨɛɪɚɡɭɟɬ ɧɟɤɨɦɦɭɬɚɬɢɜɧɭɸ ɩɨɥɭɝɪɭɩɩɭ ɉɪɢɱɟɦ ɷɬɚ ɩɨɥɭɝɪɭɩɩɚ ɹɜ ɥɹɟɬɫɹ ɦɨɧɨɢɞɨɦ ɚ ɪɨɥɶ ɟɞɢɧɢɰɵ ɜ ɧɟɣ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬ ɟɞɢɧɢɱɧɚɹ ɦɚɬɪɢɰɚ ȿ;

ɜ ɚɥɝɟɛɪɚ N; ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɤɨɦɦɭɬɚɬɢɜɧɨɣ ɩɨɥɭɝɪɭɩɩɨɣ ɫ ɟɞɢɧɢɰɟɣ Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ȿɫɥɢ ɥɸɛɨɣ ɷɥɟɦɟɧɬ ɩɨɥɭɝɪɭɩɩɵ P M ;D ɦɨɠɧɨ ɩɪɟɞɫɬɚ-

ɜɢɬɶ ɜ ɜɢɞɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ ɤɨɧɟɱɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ M 0 M ɬɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ M 0 ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɨɪɨɠɞɚɸɳɢɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɦ ɢɥɢ ɫɢɫɬɟɦɨɣ ɨɛɪɚɡɭ ɸɳɢɯ ɩɨɥɭɝɪɭɩɩɵ ɚ ɟɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɨɛɪɚɡɭɸɳɢɦɢ.

ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɜ ɩɨɥɭɝɪɭɩɩɟ N; ɩɨɪɨɠɞɚɸɳɢɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɦ ɫɥɭɠɢɬ ɛɟɫɤɨ ɧɟɱɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɩɪɨɫɬɵɯ ɱɢɫɟɥ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɉɨɥɭɝɪɭɩɩɚ ɤɨɬɨɪɚɹ ɢɦɟɟɬ ɬɨɥɶɤɨ ɨɞɧɭ ɨɛɪɚɡɭɸɳɭɸ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɰɢɤɥɢɱɟɫɤɨɣ.

Ɇɨɠɧɨ ɩɨɤɚɡɚɬɶ ɱɬɨ ɜ ɰɢɤɥɢɱɟɫɤɨɣ ɩɨɥɭɝɪɭɩɩɟ ɜɫɟ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɫɬɟɩɟɧɹɦɢ ɜ ɫɦɵɫɥɟ ɢɦɟɸɳɟɣɫɹ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɷɬɨɣ ɨɛɪɚɡɭɸɳɟɣ ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɰɢɤ ɥɢɱɟɫɤɨɣ ɩɨɥɭɝɪɭɩɩɨɣ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɨɥɭɝɪɭɩɩɚ N; ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɥɸɛɨɟ ɧɚɬɭɪɚɥɶ ɧɨɟ ɱɢɫɥɨ – ɷɬɨ ɫɭɦɦɚ ɧɟɤɨɬɨɪɨɝɨ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɚ ɟɞɢɧɢɰ

ɉɭɫɬɶ ɩɨɥɭɝɪɭɩɩɚ P M ;D ɢɦɟɟɬ ɤɨɧɟɱɧɨɟ ɱɢɫɥɨ ɨɛɪɚɡɭɸɳɢɯ ^a1 an `.

ȿɫɥɢ ɜ ɡɚɩɢɫɢ ɨɩɭɫɬɢɬɶ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɟ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɤɚɤ ɷɬɨ ɨɛɵɱɧɨ ɞɟɥɚɟɬɫɹ ɞɥɹ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ ɬɨ ɜɫɟ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɩɨɥɭɝɪɭɩɩɵ ɦɨɠɧɨ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɤɚɤ ɫɥɨɜɚ ɜ ɚɥɮɚɜɢɬɟ ^a1 an ` ɉɪɢɱɟɦ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɫɥɨɜɚ ɦɨɝɭɬ ɨɤɚɡɚɬɶɫɹ ɪɚɜ-

ɧɵɦɢ ɤɚɤ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɪɚɜɧɵɟ ɷɥɟɦɟɧɬɵ 24 2 8 16 1 ɡɚɩɢɫɚɧɵ ɪɚɡɥɢɱɧɵɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ ȼ ɤɨɦɦɭɬɚɬɢɜɧɨɣ ɩɨɥɭɝɪɭɩɩɟ ɞɥɹ ɞɜɭɯ ɥɸɛɵɯ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ab ba ɩɨɡɜɨɥɹɸɳɟɟ ɭɫɬɚɧɚɜɥɢɜɚɬɶ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɜ ɬɨɦ ɱɢɫ ɥɟ ɡɚɩɢɫɚɧɧɵɯ ɪɚɡɥɢɱɧɵɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ ɉɨɞɨɛɧɵɟ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɨɩɪɟɞɟ ɥɹɸɳɢɦɢ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹɦɢ.

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɉɨɥɭɝɪɭɩɩɚ ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ ɧɟɬ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɳɢɯ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɣ ɢ ɥɸɛɵɟ ɞɜɚ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɫɥɨɜɚ ɨɛɨɡɧɚɱɚɸɬ ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɝɪɭɩɩɵ ɧɚɡɵ ɜɚɟɬɫɹ ɫɜɨɛɨɞɧɨɣ.

30