Энергетический подход к анализу линейных электрических цепей и оценке времени переходных процессов. Учебно-методическое пособие

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

__________________________________________________________________________

Е.И. АЛГАЗИН, К.А. ЛАЙКО

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К АНАЛИЗУ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ И ОЦЕНКЕ ВРЕМЕНИ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Учебно-методическое пособие

НОВОСИБИРСК

2019

1.ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

ВЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Вэлектрических цепях при переходе от одного установившегося режима к другому возникают электромагнитные процессы, называющиеся переходными. Такие переходы появляются при непериодических изменениях в цепи приложенного напряжения или изменениях параметров R–L–C [1–5].

Изменения в цепи могут произойти произвольно. К такого рода изменениям приводит следующее:

включение цепи под напряжение;

включение или отключение цепи;

включение или отключение фрагмента цепи и элемента цепи. Все эти виды включения или отключения называются одним сло-

вом – коммутация. Направление стрелки над ключом, которым осуществляется коммутация, показывает, размыкается или замыкается цепь.

Во время переходного процесса токи в ветвях цепи и напряжения на ее участках определяются как внешними источниками, приложенными к схеме или ее фрагментам, так и внутренними источниками в виде конденсаторов и индуктивности.

Принято считать, что момент коммутации происходит в момент t 0 . Именно с этого момента начинается перераспределение энергии

между элементами схемы.

Спустя некоторое время в цепи установится новый, послекоммутационный, режим. Он будет обусловлен только внешними по отношению к цепи источниками энергии.

При исследовании переходного процесса решаются две задачи:

–закон изменения токов и напряжений;

–время переходного процесса в исследуемой цепи.

Следует помнить, что изменение энергии в цепи, содержащей индуктивности и конденсаторы, не может происходить мгновенно.

В противном случае мощность, равная скорости изменения энергии p dE / dt , обращалась бы в бесконечность.

При анализе переходных процессов делаются следующие допущения:

–будем считать, что ключи, осуществляющие коммутацию, замыкаются и размыкаются мгновенно и без электрической дуги;

–время переходного процесса ограничено условным пределом;

4

– установившийся после коммутации режим рассчитывается при t .

Изучение переходных процессов является важной задачей, так как эти процессы могут привести к выходу из строя элементов электрических цепей.

1.1. Математическое описание анализа переходных процессов

Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 1, а. После коммутации в ней вместо R0 R остается сопротивление R. После коммутации со-

стояние цепи на основании первого закона Кирхгофа описывается уравнением

Продифференцируем это уравнение по времени еще раз:

Рис. 1

Решение такого рода уравнений состоит из частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения. Частное решение находят из установившегося после коммутации режима. Поэтому этот режим называют принужденным. Освободив

5

уравнение (2) от правой части, получаем однородное уравнение. Поэтому решение его в виде токов или напряжений называют свободным.

Переходный ток (или напряжение) находят как сумму свободной и принужденной составляющей (см. рис. 1):

При классическом подходе имеем решение в виде суммы двух экспонент:

руем его. Затем получаем характеристическое уравнение, а из него – корни p1 и p2 . Если p1 p2 p, то получим следующее решение:

iсв A1e pt A2 pe pt .

Постоянные интегрирования A1 и A2 находят из начальных условий.

1.2. Цепи первого порядка Классический метод решения. Законы коммутации

1.2.1. Короткое замыкание цепи R–L

Пусть к зажимам цепи до коммутации было приложено напряже-

ние u U0 (рис. 2, а).

После коммутации ключа получаем

i iпр iсв 0 iсв iсв.

6

Уравнение для iсв :

Из уравнения (6а) находим корень p RL и определяем постоян-

ную времени 1p RL .

Далее определяется постоянная интегрирования A:

Для определения токов при t 0 воспользуемся законами коммутации.

Первый закон коммутации

Ток в ветви с индуктивностью в цепи не может изменяться скачком и в момент коммутации остается равным тому значению, которое он имел в момент времени до коммутации.

Второй закон коммутации

Напряжение на конденсаторе не может изменяться скачком, и в момент коммутации остается равным тому значению, которое оно имело в момент времени до коммутации.

7

Математическая формулировка первого закона коммутации имеет

вид

i(0) iпр(0) iсв(0).

Следовательно, постоянная интегрирования А будет равна

По найденному аналитическому выражению тока находим напряжения на элементах R–L-цепи:

1.2.2. Включение цепи R–L под синусоидальное напряжение

Если к рассматриваемой цепи приложить напряжение вида

uUm sin( t ) , то свободный процесс не изменится.

Вданном случае – частота приложенного напряжения; –

начальная его фаза; Um – амплитуда приложенного напряжения.

8

Изменится только постоянная интегрирования. Находим ток до коммутации:

С учетом приведенных выше соотношений получим следующее выражение для тока:

Значение тока в момент времени t 0 будет

i(0) i(0 ) U| Zm| sin( 0 ) U| Zm| sin( ) .

В результате с учетом найденного значения i(0) записываем выражение для тока:

так как

A U| Zm| sin( ).

Значение постоянной интегрирования A зависит от момента замыкания ключа. Если ключ замкнется в момент прохождения тока через

нуль, когда , то iсв будет равен нулю, т. е. переходного процесса не будет.

9

1.2.3. Включение цепи R–L под напряжение

Рассмотрим более подробно цепь R–L (рис. 3).

i св

б

i

в

Рис. 3

Если цепь R–L включена под напряжение u U0 (рис. 3, а), то свободный режим ничем не отличается от цепи, изображенной на рис. 2, а:

10