Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Энергетический подход к анализу линейных электрических цепей и оценке времени переходных процессов. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

916 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

До коммутации тока в цепи R–L не было: i(0) i(0 ) 0.

Значит, постоянная интегрирования А будет равна

A iсв(0) i(0) iпр(0) 0 UR0 UR0 .

Следовательно, переходный ток будет равен

i U0

0 e

U0 1 e

Напряжение U L вычисляется следующим образом:

U L L

U0e

(см. рис. 3, б).

Если приложенное напряжение

u Um sin( t ) ,

то icв не изменится и принужденный ток будет синусоидальным: iпр U| Zm| sin( t ) ,

где \| Z \| R2	( L)2 ;		arctg	L	.
где \| Z \| R2	( L)2 ;		arctg		.
				R
Окончательно получим выражение для переходного тока:
		Um sin( t ) Um sin( )					R
i i	i	Um sin( t ) Um sin( )					e L
пр	св	Z				Z
		Z				Z

(см. график, изображенный на рис. 3, в).

1.2.4. Внезапное изменение сопротивления в цепи R–L

Цепь включена под u U0 . Переходный ток

i iпр iсв UR0 Ae pt .

Найдем постоянную интегрирования A из начальных условий:

A i

(0) i(0) i

(0) i(0 ) i

(0)

U0 .

св

пр

R0 R

i пр=

(t < 0) =

R 0 + R

i св

Рис. 4

Переходный ток (рис. 4)

R R

1.2.5. Разряд конденсатора

Рассмотрим цепь R–C (рис. 5).

Цепь включена под напряжение u U0 (рис. 5, а).

При этом напряжение на конденсаторе при t 0	uc u0 .
После коммутации iпр 0 и uc кр 0 .

uC , i

Рис. 5

Для свободного тока

Riсв

iсвdt

0 .

(7)

Зная, что

i C

duc

(8)

подставим уравнение (8) в (7) и получим

c св

св

RC duc св

0 .

(9)

cв

Решение уравнения (9) имеет вид

uc uc св Ae

duc св

pAe

puc св.

После подстановки этого решения в уравнение (9) получим uc cв RCpuc cв 0 ,

и характеристическое уравнение будет иметь следующий вид: 1 RCp 0 ;

p RC1 ;

P1 RC;

uc cв Ae RC .

Применим для нахождения постоянной интегрирования A второй закон коммутации:

uc (0) uc (0) U0;

A uc св(0) uc (0) uc пр(0) uc (0 ) uc пр(0) u0 0 u0.

Напряжение на конденсаторе будет иметь следующий вид (рис. 5, б):

uc uc пр uc cв uc св U0e

RC .

Ток вычисляется по следующему выражению:

RC .

i C

U0e

1.2.6. Включение цепи R–C под синусоидальное напряжение

Если цепь R–C включена на напряжение u Um sin( t ), то изменится постоянная интегрирования:

i U| Zm| sin( t ) ,

где

\| Z \|	(R0 R)	2	1	2
				;

			C

arctg

C(R

С учетом приведенных выше формул получим следующее выраже-

ние для напряжения на конденсаторе:

idt

1 Um

cos( t )

1 Um

sin

C | Z |

Вывод

Постоянная времени электрической цепи уменьшается, если при фиксированном минимальном активном сопротивлении R уменьшается емкость конденсатора С в цепи.

1.2.7. Включение цепи R–C под напряжение (заряд конденсатора)

Пусть к цепи приложено постоянное напряжение u u0 (рис. 6). Предположим, что uc (0) 0 . Тогда Uc пр U0.

Найдем Uc св

и Uc св(0) :

Uc св Ae

RC uc cв(0)e

RC ,

A uc cв(0);

Uc св(0) uc (0) uc пр(0) uc (0 ) uc пр(0) 0 U0

U0.

Тогда напряжение на конденсаторе имеет следующий вид:

c пр

c cв

( U

Зная Uc , найдем ток:

duc

i C

( U0 )e

(рис. 6, в).

– –

uC св

UC пр

uC пр

3 t

–U0

UC св

Рис. 6

j t

Если u Um sin( t ) , то iпр

Ume

где | Z |

1 2

; arctg

Тогда можно найти uc пр :
	j t		j
uc пр Im Im прZce		Im Im пр	j

		Um	sin( t ),
		\| Z \|	sin( t ),
		\| Z \|

1 e j tC

	Um			t
		sin			.
	\| Z \| C	sin			.
	\| Z \| C				2
Найдем uc св:
			t		t
uc св Ae			RC	uc св(0)e	RC .
uc св Ae			RC	uc св(0)e	RC .
Далее найдем постоянную интегрирования:
A uc св(0)	uc (0) uc пр(0) uc (0 ) uc пр(0)

sin

Z C

Затем найдем uc :

uc uc пр uC св	Um		t
		sin
	Z C			2

Um				t
				RC .
	sin		e
Z C		2

2 .

Таким образом, найдено аналитическое выражение для переходного напряжения на конденсаторе.

1.3. Переходные процессы в цепи R–L–C без источника питания

Рассмотрим переходные процессы в цепи R–L–C (рис. 7).

Пусть ключ (рис. 7) переключается из положения 1 в положение 2. После коммутации полученный контур R–L–C можно описать следующим уравнением:

L didtсв Riсв C1 iсвdt 0 .

i = i св

Рис. 7

Зная, что i

C duc св , получим

св

d 2uc

св

duc св

uc св 0 .

(10)

Поскольку

uc св

;

duc св

pAe

puc св;

d 2uc св

uc св,

dt2

то после подстановки этих выражений в уравнение (10) имеем следу-

ющее характеристическое уравнение:

LCp2 RCp 1 0 ,

(10а)

или после упрощения

0 .

Корни такого характеристического уравнения равны

1,2

4L2

Обозначим

– резонансная частота контура;

– декремент затухания.

Тогда

2 2

1,2

0 .

Обозначим 2 R

, где R

– критическое сопротивление

кр

контура.

Все возможные случаи значения Rкр

и соответствующие им

p1,2

uc св сведены в таблицу.

Таблица режимов функционирования R–L–C-цепи

Свободная

Вид корней

Характер

составляющая

Условие

характеристиче-

свободного

(общий вид решения

ского уравнения

процесса

дифференциального

уравнения)

r rкр 2

L / C

p1 p2 – корни

Апериоди-

A e p1t

A e p2t

вещественные

c св

и разные

ческий

p1 p2

p –

Предель-

r rкр 2

L / С

ный случай

A e pt

A te pt

корни

апериоди-

c св

вещественные

ческого

= ( A1 A2t)e pt

и равные

процесса

uc cв A1 cos( свt)

p1, 2

j св –

+ A

sin(

св

t))e t

корни

Периодиче-

r rкр 2

L / C

= Ae t sin(

t ),

комплексные

ский (коле-

св

и сопряженные

бательный)

св 02 2

процесс

arctg

1.3.1. Апериодический процесс

Если R R

то u

c св

A e p1t A e p2t .

кр

duc св

Поскольку

и i

0 , то

Cp A e

p t

c пр

пр

св

1 1

A e p2t .

Определим постоянные интегрирования A1 и A2 . Учитывая, что

uc св(0) uc (0) uc пр(0) U 0 ;

i св(0) i(0) i пр(0) 0,

получим систему уравнений

A1 A2 U 0,

p1A1 p2 A 2 0.

Из полученной системы уравнений найдем постоянные интегрирования:

A	p2U0	;	A	p1U 0	.

1	p2 p1		2	p 2 p1

Зная A1 и A2 , получим следующие выражения:

uc uc св		U0		p2e	p t	p1e	p	t	;
					1		2
	p	2	p		1		2
		2	1

i iсв U0Cp2 p1 e p1t e p2t . p2 p1

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]