Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Энергетический подход к анализу линейных электрических цепей и оценке времени переходных процессов. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

916 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

U0 p2

e p1 t

– p

2 t1

–U0 p1

e 2

p2 – p1

–U0

e p2 t

L(p

– p )

e p1 t

L(p

– p )

U0 p1

e p1 t

– p

– U0 p

e p2 t

–U0

p2 – p1

Рис. 8

С учетом того, что p2 p1 LC1 , уравнение для тока в цепи и напряжения на индуктивности будет иметь следующий вид:

p t

i i

1 e

) ,

L( p

p )

св

uL uL св L

diсв

p1e

p t

p2e

(см. рис. 8).

1.3.2. Предельный апериодический процесс

При R R

корни

и p

характеристического уравне-

кр

ния будут иметь вид

R .

Найдем выражения для uc св и iсв :

св

( A A t)e pt ;

i С duc

св C( A pA pA t)e pt .

св

В момент t 0 значения uc св и iсв

будут равны:

uc св(0) uC (0) U0 ;

iсв(0) i(0) 0 .

Следовательно, имеем следующую систему уравнений уравнений:

U0 ,

pA 0,

откуда A2 pU0 .

Окончательные выражения для uC и i будут иметь следующий вид:

uc uc св U0 (1 pt)e pt ;

i iсв Cp2U0te pt UL0 te pt ,

так как p2 LC1 . Найдем uL :

uL uL св L dtdi U0 (1 pt)e pt .

1.3.3. Периодический процесс

Если		R R	2	L	2 ,	тогда	p	j ,	где
Если		R R	2		2 ,	тогда	p	j ,	где
		кр		C			1,2	св
				C
	2	2 – угловая частота собственных затухающих или сво-
св	0

бодных колебаний контура Tсв 2 – период собственных затухаю-

св

щих или свободных колебаний. Тогда свободное напряжение на конденсаторе будет иметь следующий вид:

u	c св	Ae t sin(	св	t ) ,	(11)
	c св		св

где A и – постоянные интегрирования. Выражение iсв будет иметь следующий вид:

i	С	duс св	CA sin(	св	t )	св	cos(	св	t ) .	(12)

св

Найдем постоянные интегрирования, зная, что uс св(0) uс(0) U0;

iсв(0) i(0) 0,

и, подставив их в уравнения (11) и (12), получим

Asin U0;

sin св cos 0.

Отсюда из последнего выражения получим

sin tg св . cos

Геометрическая интерпретация сводится к следующему (рис. 9):

так как

св

2 ;

св

2) sin

св

LC ,

2 св2

откуда A

, arctg

св .

sin

св

Постоянные интегрирования подставим

в уравнение (11) и получим следующее вы-

ражение для uс

и i:

св

e t sin(

св

t );

св

i iсв

св LC

sin(

t )

св

cos(

t ) e t

Рис. 9

св

sin(

)

cos(

t ) e t

св LC

св

U0e t

sin(

св

t ).

св

С учетом того,

что

tg св

что

2 2

св

св tg tg ,

то при 0 имеем

i i

e t

sin

св

e t sin(

t )

св

(рис. 10).

uC св

iсв

e – t

св LC

св

Tсв

–U0

e – t

св LC

–

св

e – t

св L

св

Tсв

–U0

e – t

св L

Рис. 10

1.4.Подключение колебательного контура

кисточнику напряжения

Если колебательный контур включается под напряжение, равное

U0 (рис. 11, а), то

uс пр U0 ;

Uс uс пр uс cв U0 uс св .

UC , i

uC пр = U0

uC св

uC, i

uC пр = U0

Рис. 11

Апериодический процесс:

uс U0 A1e p1t A2e p2t ;

периодический процесс:

uс U0 Ae t sin( свt ) .

На рис. 11, б и в представлены графики изменения uс и i для апе-

риодического и периодического процессов.

Если

апериодический

контур

включается

под

напряжение

вида

u Um sin( t ),

то общее выражение для Uс

примет вид

с пр

с св

sin t

A e p1t A e p2t .

Если

периодический

контур

включается

под

напряжение

вида

u Um sin( t ),

то происходит наложение гармонического принуж-

денного процесса и свободного процесса затухающих колебаний:

uс uс пр		t		Ae	t	sin( свt ) .
	uс св Uсm sin		2

2. ВЫВОД ПОСТОЯННОЙ ВРЕМЕНИ ЧЕРЕЗ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ФУНКЦИОНАЛ

Рассмотрим последовательную R–L–C-цепь без источника питания. Конденсатор предварительно заряжен до напряжения Uс U0 .

Запишем уравнение баланса энергий для данной цепи после ком-

мутации: энергия конденсатора равна q2 , энергия индуктивности

равна L2 i2 и энергия, рассеиваемая на резисторе сопротивлением R ,

равна R i2dt. К достоинствам такого подхода следует отнести просто-

ту и очевидность перехода к характеристическому уравнению. Такой подход используется в механике и электромагнетизме длительное время.

Составим функционал энергии:

q2	L	i	2	R i	2	dt 0 .	(13)
2C	2

Зная, что i dqdt , преобразуем функционал, продифференцировав его члены один раз по времени, получим

2q dq dt

L	d	dq 2		dq		2
	dt
				R		0 .
2
			dt		dt

В нашем случае

d dq

d dq dq

d 2q dq

dq d 2q

d 2q dq

(14)

dt 2

dt dt2

dt2

dt dt

Подставим

конечный

результат

уравнения

(14)

в слагаемое

и вынесем за скобку

После этих преобразований получим

d 2q

0 .

(15)

dt C

Сократим обе части равенства на

и получим следующее выра-

жение:

0 .

(16)

dt2

Преобразуем левую часть уравнения (16), поделив все слагаемые

на L , получим

R dq

0 .

(17)

dt2

L dt

Характеристическое уравнение будет иметь вид
		p2		R	p		1			0 .							(18)
		p2			p					0 .							(18)
				L			LC
Корни характеристического уравнения (18) будут иметь следую-
щий вид:
	p1,2		R					R				2		1		,

			2L											LC
			2L					2L						LC
откуда
		1							1								.
																	.
1,2		p1,2		1		R						R 2				4
		p1,2		1		R						R 2				4


				2		L			L						LC
				2		L			L						LC
Преобразовав выражение для 1,2 , получим
		RC		1 1 4							L		R	2		,
		RC		1 1 4									R	2		,
	1,2	2									C
		2									C

или, зная, что p	1 и подставив вместо							p в уравнение (18)	1 , полу-

чим аналогичные выражения.
Для проверки предыдущих результатов воспользуемся вторым за-
коном Кирхгофа.
Составим дифференциальное уравнение, описывающее последова-
тельную R–L–C-цепь без источника питания:
		L di			Ri UC 0 .				(19)
			dt
Зная, что i dq	и UC		q	, преобразуем уравнение (19) к виду
Зная, что i dq	и UC			, преобразуем уравнение (19) к виду
dt			C
	L	d 2q			R	dq	q	0 .	(20)
	L	dt2			R	dt	C	0 .	(20)
		dt2				dt	C

Разделим обе части выражения (20) на L, получим
d 2q	R dq				q		0 .	(21)
dt 2
	L dt				CL

Выражение (21) идентично (10).
Из выражения (21) получим характеристическое уравнение
p2	R	p		1		0 ,
			LC
	L

одинаковое с уравнением (10а), что подтверждает достоверность предыдущих результатов.

Рассмотрим последовательную R–C-цепь без источника питания. Конденсатор предварительно заряжен до напряжения UC U0 .

Запишем уравнение баланса энергий для данной цепи после коммутации.

Энергия конденсатора равна q2 ; энергия, рассеиваемая на рези- 2C

сторе сопротивлением R, равна R i2dt. Составим функционал энергий:

q2	R i2dt 0 .	(22)
2C

Зная, что i dqdt , преобразуем уравнение (22) к виду и продифференцируем его по времени:

Вынесем dqdt

2q dq	dq		2
dt	R		0 .
2C
		dt

за скобку, в результате получим

dq 1 q R dq 0 . dt C dt

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]