Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Энергетический подход к анализу линейных электрических цепей и оценке времени переходных процессов. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

916 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

и перейдем, зная, что i dqdt , к следующему уравнению:

L d 2q R dq q 0 . dt2 dt C

Упростим уравнение (4), разделив на L обе его части:

d 2q	R dq	q	0 .
dt2
	L dt	LC

Составим характеристическое уравнение p2 RL p LC1 0 .

(35)

(36)

(37)

Если дискриминант характеристического уравнения больше нуля, то решение ищем в виде

q A e p1t A e p2t ,

(38)

где

p1 и p2

– корни характеристического уравнения;

A1, A2

– посто-

янные интегрирования.

Этому

решению соответствует

апериодический

режим

работы

предложенной

электрической

цепи, и

так как

кр

Cдискриминант характеристического уравнения равен нулю,

Если

т. е. D

0 , так как

, то

кр

q A A t e p1t ,

(39)

и мы имеем предельный случай апериодического режима работы исследуемой электрической цепи.

Если дискриминант характеристического уравнения меньше нуля,

т. е. D	R	2	4	0,	так как R	2	L	, то

			LC		кр		C
	L

q Ae t sin(

t a) ,

(39а)

св

где

j св,

j св ,

и мы имеем периодический разряд конденсатора с

св

2 2

LC 2L

Найдем постоянные интегрирования для всех трех режимов функционирования электрической цепи.

Апериодический режим

Решением в этом случае является выражение

qA1e p1t A2e p2t .

Внашем случае p1 и p2 – отрицательные величины, что говорит о

затухающем характере процесса, протекающего в цепи, т. е. процесс апериодический.

Найдем константы интегрирования A1 и A2 из начальных ус-

ловий.

Напряжение на конденсаторе в момент времени t 0

uс qC(0) C1 A1e p1 0 A2e p2 0 u0 .

Ток в цепи в момент времени t 0

i dqdt A1 p1e p1t A2 p2e p2t 0 .

Составим систему уравнений

A1 A2 u0C,

A1 p1 A2 p2 0,

из которой следует, что

A1 СU0 A2 .

Найдем А2 :

(CU0 A2 ) p1 A2 p2 0 ; A2 ( p2 p1) CU0 p1 0 ;

A2 CU

;

C .

0 p

После того как получили постоянные интегрирования A1 и A2 ,

найдем окончательные выражения для заряда, тока и напряжений на элементах исследуемой цепи:


q U0C	p2		e	p t	U		0C			p1		e	p t		U0C					p2e	p t	p1e	p t
				1										2							1		2
	p p	2		1					p p		2			2	p p				2		1		2
1		2						1			2					1			2
						U0C				p2e		p t		p1e		p	t	;						(40)
												1				2
						p	2	p				1				2
							2	1

p2e

p t

p1e

i C

duс

U0C

p2 p1e

p t

p2 p1e

СU0 p2 p1

p t

. (41)

Зная, что

p1,2

получим следующее выражение для p1 p2 :

1 R p1 p2

4 L

	R	2	4	R


L			CL	L

	R	2	4


L			CL

1	R 2	R	2	4	1
						.
4					CL	.
4	L	L		CL	CL

Окончательно для выражений тока и напряжения на индуктивности имеем следующие выражения:

p t

;

1 e

(42)

L( p

)

p t

uL L dt

p1e 1

p2e

L( p

p )

p1e

p t

p2e

(43)

Графики для тока в цепи i и напряжений uL и uC , как временны́е

функции, представлены на рис. 8. Для R, L, C > 0 они представляют собой суперпозицию двух экспонент с отрицательными показателями.

Поэтому процесс всегда носит затухающий характер (см. рис. 8).

Если рассматривать временны́е характеристики цепи, то можно ввести временну́ю характеристику (размерность – секунды):

			1		и			2			1			.
					и									.
	1			p1						p2
				p1						p2
Согласно уравнению (21)
1						1									;	(44)
1		1		R		R 2					4				;	(44)
		1		R		R 2					4


		2		L	L							LC
		2		L	L							LC
2						1									.	(45)
2		1		R			R		2		4				.	(45)
		1		R			R		2		4


		2		L	L								LC
		2		L	L								LC

Преобразовав выражения (44) и (45), получим

	R	R 2				4
								1	RC			RC 2 4CL
	L	L			CL
1 2	L	L			CL
1 2		4						2
		4						2
		CL
			RC							L	R	2
				1			1	4					.	(46)
			2	1			1	4		C			.	(46)
			2							C

Аналогично выражению (46) получим

	1	RC	RC 2 4CL	RC		1 4	L	1
2					1					.	(47)
	2			2			C		R2

Длительность переходного процесса в уравнении (47) исследуемой цепи зависит от 1 и 2 , которые, в свою очередь, определяют ско-

рость затухания процесса в исследуемой цепи.

Экспоненты в формулах (38), (39), (39а) можно представить в виде

	t		t
			2 .
e p1t e 1		и e p2t e

Рассмотрим предельный случай апериодического режима.

Если корни характеристического уравнения (37) равны, то дискри-

минант D = 0 при условии, что	R	2	L	, и решение находим в виде

	кр		C

q ( A A t)e pt ,
	1	2

где p 12 RL , 1p 2 RL .

По аналогии с предыдущим случаем найдем напряжение на конденсаторе uс и ток в цепи i :

A t e

;

q A

(48)

(49)

Найдем постоянные интегрирования из начальных условий для t 0 :

uс(0) U0 ,				i(0) 0 ,
тогда
		t
A e		U			0	C,
	1				0

			A1
A			A1	0,
A				0,
	2

откуда

A1 U0C ,

A2 U0C .

Окончательно имеем

	uс						U0
				U0

	U	C			t	U		C
i			e
	0						0

uL L dtdi

	t		t		t
	U0				;
t e		1		e

e	t		Сte	t		t
		U0			U0 te
						;
		2			L

t t

U0 1 e .

(50)

(51)

(52)

Графики для i, uc ,												uL представлены на рис. 8.
Рассмотрим колебательный разряд конденсатора. Ему соответ-
ствует R 2								L			, и корни характеристического уравнения принима-
ствует R 2											, и корни характеристического уравнения принима-
			кр
ют комплексныйCвид (см. выражение (39а)):
p			1			R			j 1				4				R		2		j					2		2	j		,
p			1						j 1										2		j					2		2	j		,
1					2 L			2					CL													0			св
					2 L			2					CL				L
p	2		1				R		j 1					4			R		2		j					2		2	j		,
p			1						j 1										2		j					2		2	j		,
					2 L			2						CL												0				св
					2 L			2						CL			L
где			R	,						1		,						1		,		2			1		.
где				,								,								,							.
		2L			0						LC				1			p1							p2
Выражение для напряжения на конденсаторе имеет вид
														u	c	Ae t					sin(		св	t a) ,							(53)
															c								св

где A и a – постоянные интегрирования. Ток в контуре будет иметь следующее выражение:

i C duC CA sin(	св	t a)	св	cos(	св	t a) e t . (54)
dt	св		св		св
dt

Постоянные интегрирования найдем из начальных условий при

t 0 :

uc (0) u0 , i(0) 0 .

Составим систему уравнений

Asin a U0 ,

sin a cos a 0,

св

откуда tg a св , следовательно, a arctg св . С учетом того, что

св2 02 2 ,

02 св2 2 ,

имеем прямоугольный треугольник, в						котором 0 – гипотенуза,
св и – катеты. Тогда
		sin			св	,

					0
A	U0	U		0			U0	.
	sin a
			0		св		LC
							св

sin a

cos a

Выражения для uc и i

примут вид:

e t sin

t arctg св ;

(55)

св LC

св

CU0

св

sin

t arctg

св

cos

св

t arctg

св e t .

(56)

св

Используем соотношение

sin x

cos x 2

sin(x a) ,

(57)

св

где

св2 02 2 ,

откуда

02 св2 2 ,

tg a св .

Затем найдем следующие величины:

св ;

Для доказательства уравнения (27) возведем в квадрат правую и левую его части:

2 sin2 x 2 св sin x cos x св2 cos2 x

2 св2 sin x cos a cos xsin a 2 .

Преобразуем:

2 sin2 x 2 св sin x cos x св2 cos2 x

2 св2 2 sin2 x 2 св sin x cos x св2 cos2 x ;

2 sin2 x 2 св sin x cos x св2 cos2 x

2 св2

2 sin2 x 2 св sin x cos x св2

cos2 x .

Зная, что

2 2 , получим тождество.

св

Используя соотношение (57), преобразуем выражение для тока:

CU0

2 sin

t arctg св arctg

св e t ; (58)

св

св LC

e t sin(

0 sin(

t)e

св

свL

св

e t sin(

св

t ) .

(59)

свL

На рис. 8 представлены зависимости uс и i от времени.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]