Энергетический подход к анализу линейных электрических цепей и оценке времени переходных процессов. Учебно-методическое пособие

R

(t t

)

i

Ae

.

L

1

1

Из начальных условий t t1

и i i1 имеем

U

R1 R

t

R

t

t

i

1

e

L

1

e

L

1

.

R

R

1

1

Задача 2

Дано: E 30 В,

R 10 Ом,

С 103 мкФ (рис. 14).

Определить i3

в переходном режи-

ме.

Решение

Рис. 14

Принужденная

составляющая на-

пряжения на конденсаторе

uс пр

ER

.

R R

Свободная составляющая

t

uс cв uс св(0)e

R С

,

э

где

p

1

1

.

R С

RR

э

R

C

R

R

t

t

E

E

R С

E

R C

uс uс пр uс св

e

э

1

e

э

;

2

2

2

duC

1

E

t

E

t

R

С

R C

i

i

C

C

e

э

e

э

.

3

с

dt

RэС

2

2Rэ

t

uс uс пр uс cв 0 uс св uс cв Uabe

R С

.

э

Зная uс, найдем i3 :

duc

1

t

Uab

t

R

С

R С

i С

U

ab

С

e

э

e

э

.

dt

R С

R

3

э

э

Задача 4

Дано: E 60 В,

R 10 cм,

С 104 мкФ (рис. 16).

Определить i2 (t) .

Решение

Выражение для переходного на-

Рис. 16

пряжения на конденсаторе имеет сле-

дующий вид:

uс uс пр uс св,

где uс пр

ER

E

, uс(0) E ,

uс cв Ae pt ,

p

1

.

R R

2

R C

э

Найдем постоянную интегрирования A из начальных условий:

A uс cв(0) uс

(0) uс пр(0) uс(0 ) uс пр(0) E

E

E

.

2

2

E

E

e

t

uс

RэС

;

2

2

duс

E

1

t

E

t

R C

R C

i

i

C

C

e

э

e

э

.

2

dt

2

R С

2R

с

э

э

Заметим, что i1 пр i3

пр

E

.

Рис. 17

R R

В то же время

1

3

i3 (0) i3(0 )

E

R2R3

1

,

R2R3

R2 R3 R3

R1

R

R

2

3

i

Ae pt ,

3 св

где p

Rэ

R1 R3

.

L

L

Найдем постоянную интегрирования А:

A i3 св(0) i3 (0) i3 пр(0) i3(0 ) i3 пр(0)

E

R2

E

.

R R

R

R

R R

R1

2

3

2

3

1

3

R

R

2

3

Найдем i3

и uL :

i i

i

E

Ae pt ;

R R

3

3 пр

3 св

1

3

uL

L

di3

LpAe pt .

dt

Задача 6

Дано: R1 4 см, R2 2 см,

L 1,34 Гн, E 10 В (рис. 18).

Определить i, i1 и i2.

Решение

Известно, что i1(0 ) 0 .

В то же время

i1(0) i1 пр

Рис. 18

i

,

i

E

,

i

Ae pt

, где

1 св

1 пр

R

1 св

Rэк

R1R2

1

p

.

R R

L

1

2

Определим постоянную интегрирования А:

A i

(0) i(0)

i

(0) i(0 )

i

(0) 0

E

E

.

1 св

пр

пр

R1

R1

Найдем i1 и i2 :

i i

i

E

E

e pt

E

(1

e pt )

;

R

1

1 пр

1 св

R

R

1

1

1

i2

1

L di1

L

E

( p)e pt

L

E

Rэ

e pt

ERэ

e pt .

R2

R2 R1 L

dt

R2 R1

R2R1

Задача 7

Дано: e 100sin

,

t

6

R 100 Ом,

C 32 мкФ,

f 50 Гц (рис. 19).

Рис. 19

Определить

i

в

переходном

режиме.

Решение

Определим uс в принужденном режиме:

uс пр

e( jX с)

.

jX с R

Определим uс до коммутации:

uс(0 )

e( jXс)

.

RR

jXс

R R

Определим р:

p

1

.

RC

Определим постоянную интегрирования A из начальных условий:

A uс св(0) uс(0 ) uс пр(0)

e( jXс)

e( jX с)

.

R

jXс

R jXс

2

Найдем uс в переходном режиме:

uс

uс пр uс св

e( jX с)

Ae

pt

;

R jX

с

Задача 8

Дано: e 100sin

314t

4

,

R 10 см, L 50 мГн (рис. 20).

Рис. 20

Определить i

в переходном

режиме.

Im пр

Em

;

R j L

Im (0 )

Em

.

R

j L

2

A iсв(0) i(0) iпр(0) i(0 ) iпр(0)

Em

Em

.

R

j L

R j L

2

Искомый ток

i

Em

Ae pt .

R j L

Задача 9

B,

Дано: e 100sin 314t

6

R 100 Ом,

C 32 мкФ (рис. 21).

Определить

i в переходном ре-

Рис. 21

жиме.

Im (0 )( jXс) Em

jX

с

.