Энергетический подход к анализу линейных электрических цепей и оценке времени переходных процессов. Учебно-методическое пособие

Сократив левую часть полученного уравнения на dqdt , получим

Зная, что p 1 , получим RC .

Для проверки предыдущих результатов воспользуемся вторым законом Кирхгофа и составим дифференциальное уравнение, описывающее цепь из последовательно соединенных R- и C-элементов:

Преобразуем это уравнение, поделив оба слагаемых на R. В результате получим

dqdt RCq 0 .

31

Характеристическое уравнение будет иметь вид pq R1C q 0 ,

откуда

Отметим, что полученный результат согласуется с формулой (10а). тогда при L 0 также совпадает и 1 RC , 2 0 .

Рассмотрим цепь R–L без источника питания. Пусть в момент коммутации индуктивность обладает энергией, равной L2 i2. На резисторе

рассеивается энергия, равная R i2dt. Составим функционал энергий вида

С учетом того, что i dqdt , вынесем dqdt за скобку и получим

Сократим уравнение (26) на dqdt , будем иметь

Далее перейдем к характеристическому уравнению

Lp2q Rpq 0 .

32

Преобразуем его к виду

Lp R 0 ,

p RL ,

откуда 1p RL .

Покажем, что данный результат также вытекает из второго закона Кирхгофа. Составим дифференциальное уравнение для последовательной R–L-цепи, которое будет иметь следующий вид:

L dtdi Ri 0.

Зная, что i dqdt , получим

В результате этого перейдем к характеристическому уравнению и получим

Lp2q Rpq 0.

Окончательно будем иметь:

Lp R 0 ,

p RL ,

1p RL .

Результаты при использовании функционала энергий и второго закона Кирхгофа полностью совпадают и аналогичны общему решению формул (6а) и (10а).

33

Действительно, после подстановки в формулу (10а) C , следу-

ет, что 1 RL , а 2 0 .

Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно соединенных элементов L и С без источника питания. Конденсатор предварительно

заряжен до напряжения UC U0 .

После коммутации рассмотрим энергию элементов цепи. Энергия

и продифференцируем левую часть функционала один раз. Вынесем dqdt за скобку, в результате получим

Сократим dqdt в этом выражении и получим

q L d 2q 0. C dt2

34

Перейдем к следующему характеристическому уравнению:

Проверим предыдущие результаты. Для этого воспользуемся вторым законом Кирхгофа. Составим дифференциальное уравнение для цепи L–C:

L dtdi2 uс 0.

Зная, что i dqdt и uс Cq , получим

L d 2q q 0 . dt2 C

Далее перейдем к следующему характеристическому уравнению: p2q LCq 0 .

Преобразуем его к виду

p2 LC1 ,

35

Отметим также, что полученный результат совпадает с форму-

лой (10а) при R 0, 1 2 LC .

Результат, полученный на основании закона Кирхгофа, подтверждает тот результат, который был получен с помощью функционала энергий элементов цепи.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1.Что такое электрическая цепь?

2.Чему равна энергия индуктивного элемента?

3.Чему равна энергия емкостного элемента?

4.Чему равны потери на резисторе?

5.Сформулируйте закон сохранения энергии для последовательной электрической R–L–C-цепи без источника питания.

6.Выведите характеристические уравнения для R–L–C-, R–L-, R–C- и L–C-цепей на основе энергетического критерия.

7.Опишите состояние R–L-, R–C- и L–C-цепей с источником питания или без него, используя заряд.

8.Решите задачи 1–10.

Выполнение пп. 7 и 8 контрольного задания

Ответы к п. 7

36

В результате подстановки формулы (29) в (30) получим

R dqdt C1 dqdt dt 0 , R dqdt C1 q 0 .

В этих выражениях произведем замену dqdt p и получим характеристическое уравнение

Rpq C1 q 0 .

Сократим q и будем иметь

Rp C1 0 .

Найдем р и

p R1C ,

1p RC .

Найдем qсв :

t qсв Ae RC .

Найдем A из начальных условий:

A qсв(0) qс(0) qс пр(0) qс(0) qс пр(0) q0 0 q0 ,

37

Цепь R–C с источником постоянного напряжения

Пусть E U0 , qс(0 ) 0 , тогда

qс пр q0 ,

Цепь R–L (см. рис. 2, а)

После коммутации возникает замкнутый контур: q qпр qсв 0 qсв qсв ,

Сформируем характеристическое уравнение путем преобразования следующих уравнений:

Lp2qсв Rpqсв 0 ,

38

Lp2 Rp 0 .

Получим следующее характеристическое уравнение:

Lp R 0 .

Найдем р и

p RL ,

1p RL .

Найдем qсв :

t qсв Ae .

Зная, что

q(0) q(0) q0 ,

найдем постоянную интегрирования:

A qсв(0) q(0) qпр(0) q0 0 q0 ,

t q qсв q0e .

Цепь R–L с источником постоянного напряжения

Зная, что

iсв dqdtсв ,

39

найдем q:

q qпр qсв .

Далее найдем qпр и qсв :

qпр q0 , qсв(0) q(0) qпр(0) q(0 ) qпр(0) q .

Найдем q, подставив qпр и qсв в предыдущее уравнение:

Цепь R, L и C без источника питания

Конденсатор предварительно заряжен до напряжения uC u0.

После коммутации изменение электрического заряда на обкладках конденсатора и напряжений на индуктивности и емкости описывается следующим дифференциальным уравнением (см. рис. 1, а):

Это уравнение составлено на основе второго закона Кирхгофа

с учетом того, что напряжение на индуктивности uL L didtL , напря-

жение на резисторе uR iR, напряжение на конденсаторе uC Cq , ток

в последовательной R–L–C-цепи равен i dqdt . Запишем уравнение (33) в виде

40