Элементы теории вероятностей и математической статистики. Учебно-практическое пособие

кйллавлдав ЙйлмСДклнЗЦззхв мзаЗЦкланЦн ЛП. аееДзмагД дДзнД

З. е. З‡ТЛОВМНУ

щОВПВМЪ˚ ЪВУрЛЛ ‚ВрУflЪМУТЪВИ Л П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНУИ ТЪ‡ЪЛТЪЛНЛ

м˜В·МУ-Фр‡НЪЛ˜ВТНУВ ФУТУ·ЛВ

аБ‰‡ЪВО¸ТЪ‚У кУТТЛИТНУ„У „УТЫ‰‡рТЪ‚ВММУ„У ЫМЛ‚ВрТЛЪВЪ‡ ЛП. аПП‡МЫЛО‡ д‡МЪ‡

2009

УДК 519.22(075.8) ББК 22.172я73

В 19

В. М. Василенко

В 19 Элементы теории вероятностей и математической статистики: учеб.-практич. пособие. — Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2009. — 106 с.

ISBN 978-5-88874-992-0

Пособие содержит краткие теоретические сведения по темам курса теории вероятностей и математической статистики, а также примеры решения типовых задач и задачи для самостоятельного решения.

Предназначенодлястудентовфакультетагеографииигеоэкологии.

УДК 519.22(075.8) ББК 22.172я73

3

икЦСалгйЗаЦ

Теория вероятностей и математическая статистика лежат в основе множества специальных дисциплин и являются неотъемлемыми частями фундаментальной подготовки специалистов во всех областях знаний. Использование теоретиковероятностных и статистических методов, которые дают возможность анализировать, синтезировать и прогнозировать сложные географические и экологические процессы, в настоящее время становится все более актуальным. Это обусловливает необходимость изучения географами и экологами методов теории вероятностей и математической статистики.

Настоящее учебно-практическое пособие предназначено для студентов факультета географии и геоэкологии РГУ им. И. Канта, изучающих теорию вероятностей и математическую статистику на третьем курсе в объемах, предусмотренных учебным планом для географических специальностей высших учебных заведений.

Учебно-практическое пособие состоит из семи разделов и приложения. В начале каждого раздела приведена краткая сводка теоретических сведений и формул, требующихся для решения задач, включенных в раздел, и приводятся примеры решения типовых задач. Далее в разделе находятся предназначенные для самостоятельного решения задачи, расположенные по принципу: от простого к более сложному. В приложении помещены необходимые для решения задач таблицы.

В соответствии с уровнем математической подготовки студентов факультета в пособии приводятся только задачи

4

èр‰ËÒÎÓ‚ËÂ

невысокого и среднего уровня сложности; задачи повышенного уровня сложности не включены.

Часть задач заимствована из [1—5].

Автор благодарен кандидату физико-математических наук А. А. Гайдюкову и доктору физико-математических наук В. А. Гриценко за полезные замечания и советы в процессе работы над пособием, Е. А. Кожевниковой за помощь в оформлении рукописи.

5

йТМУ‚М˚В ФУМflЪЛfl. зВФУТрВ‰ТЪ‚ВММ˚И ФУ‰Т˜ВЪ ‚ВрУflЪМУТЪВИ

События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу:

P A mn ,

где m — число исходов, благоприятствующих A;

n — число всех возможных элементарных исходов. Событие Ā называют противоположным событию A, если

оно состоит в не появлении события A.

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

P A P A 1.

Перестановками называют комбинации состоящих из одних и тех же n различных элементов, отличающиеся только порядком их расположения.

Число всех возможных перестановок: P n n!,

где n! 1 2 3... n

Размещением называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений:

Amn n n 1 n 2 ... n m 1 .

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы однимэлементом.

7

йТМУ‚М˚В ФУМflЪЛfl. зВФУТрВ‰ТЪ‚ВММ˚И ФУ‰Т˜ВЪ ‚ВрУflЪМУТЪВИ

Пример 1.3

Два лица договорились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет второго 15 минут, после чего уходит. Определить вероятность встречи, если моменты прихода каждого лица независимы и равновозможны в течение указанного часа.

Решение. Пусть x — момент прихода первого лица, y — момент прихода второго. Пространство элементарных событий — это квадратOBCD площадью, численноравной60 кв. ед. (рис. 1).

Встреча состоится, если |x – y| 15. Данная область лежит между прямыми x – y = 15 и x – y = –15. Применяя геометрический метод определения вероятностей, найдем искомую вероятность появления события А как отношение площади, заштрихованной на рисунке 1, к площади всего квадрата, т. е.

ᇉ‡˜Ë

1.1. Два шахматиста играют одну партию. Событие А — выиграет первый игрок, событие В — выиграет второй игрок.

9