Элементы теории вероятностей и математической статистики. Учебно-практическое пособие

оУрПЫО‡ ФУОМУИ ‚ВрУflЪМУТЪЛ Л ЩУрПЫО‡ ЕВИВТ‡

Таким образом, до эксперимента вероятность гипотезы равнялась 0,6, а после его проведения и наступления события

A условная вероятность этой же гипотезы стала равной 0,63. Другими словами, использование формулы Бейеса позволило переоценить вероятность рассматриваемой гипотезы.

ᇉ‡˜Ë

3.1.Два предприятия изготавливают однотипные детали. Первое предприятие дает 10% брака, второе -15%. Для контроля отобрано 20 деталей первого предприятия и 30 — второго. Детали смешаны в одну партию и из нее случайным образом отобранаоднадеталь. Каковавероятность, чтоонабракованная?

3.2.Техническое устройство работает 50 % времени в первом режиме, 20 % — во втором, 30 % — в третьем. Надежность (вероятность безотказной работы) устройства при работе в первом режиме 0,8, во втором — 0,9, в третьем — 0,7. Найти полную надежность технического устройства.

3.3. В первой урне 1 белый и 4 черных шара, а во второй 1 белый и 7 черных шаров. В первую урну добавляют 2 шара, извлеченных из второйурны наугад. Найти вероятность того, что шар, наугадизвлеченныйизпополненнойурны, будет белым.

21

оУрПЫО‡ ФУОМУИ ‚ВрУflЪМУТЪЛ Л ЩУрПЫО‡ ЕВИВТ‡

3.9.В одной урне 5 белых и 5 черных шаров, а в другой — 4 белых и 7 черных. Из первой урны случайным образом вынимают 2 шара и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны, белые.

3.10.Предположим, что 5 % всех мужчин и 0,25 % всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность, что это мужчина? (Считать, что количество мужчин и женщин одинаково.)

3.11.Известно, что 96 % выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную — с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандарту.

3.12.Счетчик регистрирует частицы трех типов — A, B, C. Вероятность появления этих частиц P(A) = 0,2; P(В) = 0,5; P(С)

=0,3. Частицы каждого из этих типов счетчик улавливает с

вероятностями P1 = 0,8, Р2 = 0,2, Р3 = 0,4. Счетчик отметил частицу. Определить вероятность того, что это была частица B.

3.13.Трое охотников одновременно выстрелили по вепрю, который был убит одной пулей. Определить вероятность того, что вепрь был убит первым, вторым или третьим охотником, если вероятности попадания для них равны соответственно

0,2; 0,4; 0,6.

3.14.Предохранитель в электронной цепи отказывает при коротком замыкании в электронной лампе с вероятностью 0,4; при замыкании в обмотке трансформатора — с вероятностью 0,6; при пробое конденсатора — с вероятностью 0,8; по дру-

23

оУрПЫО‡ ФУОМУИ ‚ВрУflЪМУТЪЛ Л ЩУрПЫО‡ ЕВИВТ‡

щают в партию и вторично из той же партии извлекают деталь, которая тоже оказалась стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.

3.20. У рыбака имеется 3 излюбленных места для ловли рыбы, которые он посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает удочку на первом месте, рыба клюёт с вероятностью 0,1; на втором месте — с вероятностью 0,2; на третьем месте — с вероятностью 0,2. Известно, что рыбак, выйдя на ловлю рыбы, три раза закинул удочку и рыба клюнула только один раз. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом месте.

25

èÓ‚ÚÓрÂÌË ÓÔ˚ÚÓ‚

Наивероятнейшее значение μ числа появления события в независимыхиспытанияхопределяетсяиздвойногонеравенства

np q μ np p .

Причем если np - q — дробное, то существует одно наивероятнейшее значение; если np - q — целое, то таких значений два и они отличаются между собой на единицу.

Если число np — целое, то наивероятнейшее значение μ равняется np.

Локальная теорема Лапласа

Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1 (0<p<1), то вероятность Рn(k) того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приблизительноравно(темточнее, чембольшеn) значениюфункции:

при x k npqnp .

имеет следующие свойства:

а) φ(х) — определена на всей числовой оси;

б) φ(х) — четная функция, т.е. φ(–х) = φ(х); в) φ(х) спадает при х>0;

г) φ(х) = 0,0001 при х ≥ 4.

Интегральная теорема Муавра — Лапласа

Если вероятность Р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1 (0<p<1), то вероятность

27

ê‡Á‰ÂÎ 4

Рn(k1 k k2) того, что событие А появится в n испытаниях от k1 до k2 раз, приблизительно равно определенному интегралу

лирована и имеет следующие свойства:

а) Ф(х) определена на всей числовой оси; б) Ф(х) — нечетная функция, т. е. Ф(–х) = –Ф(х);

в) Ф(х) возрастает при х > 0 до 0,5 и спадает при х < 0 до –

0,5;

г) для х > 5 Ф(х) ≈0,5; для х < –5 Ф(х) ≈–0,5.

Вероятность отклонения относительной частоты события от постоянной вероятности

Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1 (0 < p < 1), а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что отклонение

относительной частоты mn события от ее вероятности р по

абсолютной величине не превышает сколь угодно малого положительного числа ε, находится по формуле

28

èÓ‚ÚÓрÂÌË ÓÔ˚ÚÓ‚

Пример 4.1

Вероятность того, что расход электроэнергии в течение одних суток не превысит установленной нормы, равна Р = 0,75. Найти вероятность того, что их ближайших 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжении каждых из 6 суток постоянна и равна Р = 0,75. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна q = 1 – 0,75 = 0,25. Искомая вероятность по формуле Бернулли равна:

Пример 4.2

Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель р = 0,6. Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Решение. По условию, р = 0,6, q = 0,4, k = 3. Искомая вероятность равна:

P k 3 qk 1 p 0,42 0,6 0,096.

Пример 4.3

Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину из трехочковой зоны равна 0,42. Произведено 10 бросков. Найти наивероятнейшее число попаданий.

Решение. По условиям задачи n = 10, p = 0,42. Тогда вероятность непопадания мяча в корзину q = 1 – p = 1 – 0,42 = 0,58.

Далееиспользуемформулу наивероятнейшегочисласобытий np – q μ np + p; или в числах 10 · 0,42 – 0,58 μ 10 · 0,42 + + 0,42; 3,62 μ 4,62.

Следовательно, μ = 4.

29

ê‡Á‰ÂÎ 4

Пример 4.4

Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна р = 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранныхдеталейокажутсянепровереннымиот70 до100 деталей.

Решение. Поусловиюр= 0,2; q = 0,8; n = 400; k1 = 70; k2 = 100.

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

Р400(70, 100) ≈Ф(x") – Ф(x').

Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:

Таким образом, имеем Р400(70, 100) = Ф(2,5) –Ф(–1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25).

По таблице значений функции Лапласа находим Ф(2,5) = 0,4938; Ф(1,25) = 0,3944.

Искомая вероятность Р400 (70, 100) = 0, 4938 + 0,3944 = 0, 8882.

ᇉ‡˜Ë

4.1.Вероятность поражения мишени лучником при одном выстреле из лука р = 0,75. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах лучник поразит мишень 3 раза.

4.2.Событие А состоит в одновременном выпадении двух гербов при бросании трех монет. Найти вероятность события А.

30