Элементы теории вероятностей и математической статистики. Учебно-практическое пособие
.pdf
щОВПВМЪ˚ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНУИ ТЪ‡ЪЛТЪЛНЛ
Дисперсией Dв σв2 вариационного ряда называется сред-
нее арифметическое квадратов отклонения вариант от их средней:
|
m |
|
|
|
|
|
xi |
|
|
2 ni |
|
Dв |
X |
. |
|||
i 1 |
|
|
|
||
|
n |
||||
|
|
|
|||
Средним квадратическим отклонением называется по-
ложительное значение корня квадратного из дисперсии:
σв Dв .
Коэффициентом вариации называется отношение среднего квадратического отклонения σв к среднему Xв , выра-
женное в процентах:
V σв 100% . Xв
Асимметрия выборочного распределения вычисляется по формуле:
A |
|
|
μ3 |
, |
|
S |
|
σ3в |
|
где μ3 — центральный статистический момент третьего порядка, вычисляемый по формуле:
μ3 (xi |
X)3 mi . |
i |
n |
Если распределение симметричное, то As = 0.
Эксцесс выборочного распределения вычисляется по формуле:
E |
|
|
μ4 |
3 . |
|
k |
σB4 |
||||
|
|
|
71
ê‡Á‰ÂÎ 7
Здесь μ4 — центральный статистический момент четвертого порядка, вычисляемый по формуле:
μ4 (xi |
X)4 mi . |
i |
n |
Статистические оценки параметров распределения
Статистической оценкой θ неизвестного параметра θ теоретического распределения называют функцию f(x1, x2, …, xn) от наблюдаемых случайных величин x1, x2, …, xn.
Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом θ = f(x1, x2, …, xn), где x1, x2, …, xn — результаты n наблюдений над количественным признаком X.
Несмещённой называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.
Смещённой называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.
Несмещённой оценкой генеральной средней служит вы-
борочная средняя:
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
xi ni |
|
||
|
|
в |
i 1 |
|
, |
|
X |
||||||
|
|
n |
||||
|
|
|
|
|
||
k
где xi — варианта выборки, ni — частота выборки xi, n ni
i 1
— объем выборки.
Смещённой оценкой генеральной дисперсии служит вы-
борочная дисперсия:
|
|
k |
xi |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
ni |
Xв |
|
||||
Dв |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
. |
|
n |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72
щОВПВМЪ˚ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНУИ ТЪ‡ЪЛТЪЛНЛ
Более удобная формула:
|
|
|
|
2 |
|
ni xi2 |
|
ni xi |
|
2 |
DB x |
2 |
(x) |
|
|
||||||
|
|
n |
|
n |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия:
|
n |
|
|
|
ni xi |
|
в 2 . |
|
S2 |
Dв |
|
X |
|||||
n 1 |
||||||||
|
|
|
n 1 |
|||||
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.
Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью покрывает заданный параметр.
Интервальной оценкой (с надежностью ) математического ожидания а нормально распределенного количест-
венного признака X по выборочной средней xв при известном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал:
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
σ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
xв t |
|
< a < xв t |
|
|
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|||
где |
|
σ |
δ |
— точность оценки, n — объем выборки, t — |
|||||||||||
t |
|
|
|||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф(t), при котором |
||
значение аргумента функции |
Лапласа |
||||||||||||||
Ф(t) 2γ ; при неизвестном σ.
|
|
|
s |
|
|
|
|
s |
||
xв t |
γ |
|
|
< a < xв t |
γ |
|
, |
|||
|
|
|||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
||
73
ê‡Á‰ÂÎ 7
где S — «исправленное» выборочное среднее квадратичное отклонение, t находится при помощи распределения Стьюдента по заданным n и из приложения 3.
2. Интервальной оценкой (с надежностью ) среднего
квадратического отклонения σ нормально распределенного количественного признака X по «исправленному» выбороч-
ному среднему квадратическому отклонению служит доверительный интервал:
S(1 q) σ S(1 q) при q 1; 0 σ S(1 q) при q 1.
где q находят по таблице приложения 4 по заданным n и .
Статистическая проверка статистических гипотез
Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.
Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу H0.
Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу
H1, которая противоречит нулевой.
Различают гипотезы, которые содержат одно или более одного предположения.
Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположений.
Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.
В итоге проверки гипотезы могут быть допущены ошибки двух родов.
Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки первого рода называют уровнем значимости и обозначают через α.
74
щОВПВМЪ˚ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНУИ ТЪ‡ЪЛТЪЛНЛ
Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки второго рода обозначают через β.
Статистическим критерием называют случайную вели-
чину K, которая служит для проверки гипотезы.
Наблюдаемым (эмпирическим) значением Kнабл называют то значение критерия, которое вычислено по выборке.
Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.
Областью принятия гипотезы называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают.
Основной принцип проверки статистических гипотез:
если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают.
Критическими точками Ккр называют точки, отделяю-
щие критическую область от области принятия гипотезы. Правосторонней называют критическую область, опреде-
ляемую неравенством
К > Kкр,
где Kкр — положительное число.
Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством
К < Ккр,
где Ккр — отрицательное число.
Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами:
К < К1, К > К2,
где К2 > К1. В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, то двусторонняя область определяется неравенствами (в предположении, что Ккр > 0)
75
ê‡Á‰ÂÎ 7
K Kкр , K>Kкр
или равносильным неравенством
K Kкр .
Для отыскания критической области задаются уровнем значимости α и ищут критические точки, исходя из следующих соотношений:
а) для правосторонней критической области
|
P K Kкр α |
Kкр 0 ; |
|
|
||
б) для левосторонней критической области |
|
|
||||
|
P K Kкр α |
Kкр 0 ; |
|
|
||
в) для двусторонней симметричной области |
|
|
||||
P K Kкр |
|
α |
Kкр 0 , |
R K Kкр |
α |
. |
|
|
2 |
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
Мощностью критерия называют вероятность попадания в критическую область при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза. Другими словами, мощность критерия есть вероятность, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если верна конкурирующая гипотеза.
Для проверки статистических гипотез используют критерии Пирсона, Бартлетта, Колмогорова, Романовского и некоторые другие.
→Пример 7.1
Высота холма измерялась 80 раз одним и тем же прибором. Были получены следующие данные (в м):
76
щОВПВМЪ˚ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНУИ ТЪ‡ЪЛТЪЛНЛ
40,26 |
40,35 |
40,44 |
40,35 |
40,39 |
40,42 |
40,32 |
40,4 |
40,37 |
40,35 |
40,44 |
40,35 |
40,30 |
40,34 |
40,31 |
40,32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
40,33 |
40,41 |
40,35 |
40,30 |
40,33 |
40,38 |
40,33 |
40,33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
40,28 |
40,30 |
40,40 |
40,36 |
40,32 |
40,32 |
40,42 |
40,35 |
40,29 |
40,33 |
40,31 |
40,36 |
40,36 |
40,34 |
40,30 |
40,30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
40,41 |
40,40 |
40,33 |
40,37 |
40,34 |
40,30 |
40,43 |
40,34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
40,35 |
40,34 |
40,34 |
40,31 |
40,43 |
40,36 |
40,34 |
40,34 |
40,28 |
40,44 |
40,32 |
40,34 |
40,31 |
40,31 |
40,36 |
40,34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
40,29 |
40,39 |
40,39 |
40,37 |
40,37 |
40,38 |
40,36 |
40,41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
40,27 |
40,38 |
40,37 |
40,37 |
40,36 |
40,35 |
40,32 |
40,36 |
Требуется:
1)составить интервальные статистические ряды распределения частот и относительных частот наблюдаемых значений непрерывной случайной величины X — высоты холма xi;
2)построить гистограмму;
3)найти эмпирическую функцию распределения;
4)вычислить числовые характеристики выборки: среднее арифметическое, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса, выборочный коэффициент вариации.
Решение. Изучение непрерывных случайных величин начинается с группировки статистического материала, т. е. с разбиения интервала наблюдаемых значений СВ X на k частичных интервалов равной длины, и подсчета частот попаданий наблюдаемых значений СВ X в частичные интервалы.
Разобьем весь диапазон наблюдаемых значений на 5 интервалов. Длину частичного интервала определим по формуле:
h |
xmax xmin |
|
40,44 40,26 |
0,04. |
|
k |
5 |
||||
|
|
|
77
ê‡Á‰ÂÎ 7
За начало первого интервала принимаем величину, равную a0=40,26—0,02=40,24; тогда первый интервал будет
40,24 40,28 , второй — 40,28 40,32 и т.д. Шкала интер-
валов и группировка исходных статистических данных сводится в таблицу. В результате получаем статистический ряд
распределения частот ( n mi |
80 ): |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Интервал |
40,24— |
40,28— |
40,32— |
40,36— |
40,40— |
|
наблюдаемых |
||||||
значений CB X |
40,28 |
40,32 |
|
40,36 |
40,40 |
40,44 |
Частота mi |
4 |
19 |
|
32 |
15 |
10 |
Для получения статистического ряда относительных частот разделим mi на объем выборки n. В результате получим интервальный статистический ряд распределения относительных частот wi( wi = 1):
Интервал |
40,24— |
40,28— |
40,32— |
40,36— |
40,40— |
|
наблюдаемых |
||||||
значений CB X, M |
40,28 |
40,32 |
40,36 |
40,40 |
40,44 |
|
Относительная |
0,05 |
0,24 |
0,40 |
0,19 |
0,12 |
|
частота wi |
||||||
|
|
|
|
|
||
F (накопленная |
0,05 |
0,29 |
0,69 |
0,88 |
1,00 |
|
относительная |
||||||
частота) |
|
|
|
|
|
|
Для построения гистограммы |
относительных |
частот |
||||
wi на оси OX откладываются частичные интервалы, на каждом из них строится прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте данного частичного интервала. На представленном ниже рисунке изображена полученная гистограмма.
78
щОВПВМЪ˚ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНУИ ТЪ‡ЪЛТЪЛНЛ
Y 7,5
5,0
2,5
0 |
40,24 40,28 40,32 40,36 40,40 40,44 |
Х |
|
Значения эмпирической функции распределения выписаны в последней строке статистического ряда распределения wi. Запишем значения эмпирической функции распределения в аналитическом виде:
0, |
если x 40,24; |
|
если 40,24 x 40,28; |
0,05, |
|
|
если 40,28 x 40,32; |
0,29, |
|
F* x 0,69, |
если 40,32 x 40,36; |
0,88, |
если 40,36 x 40,40; |
|
если 40,40 x 40,44; |
1, |
|
|
если x 40,44. |
1, |
Находим среднее арифметическое по формуле
x mn i xi
40,26 4 40,30 19 40,34 32 40,38 15 40,42 10 40,344; 80
79
ê‡Á‰ÂÎ 7
а затем переходим к вычислению центральных моментов (k = = 2, 3, 4):
|
|
D(x) S2x xi x 2 |
mi 0,143 |
0,0018; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
80 |
|
|
|
|
|
|
Sx |
|
0,0018 0,042; |
|
||||
|
|
A |
|
xi |
x 3 mi |
|
|
0,001 |
0,17; |
||
|
|
|
|
|
80(0,042)3 |
||||||
|
|
|
s |
nS2x |
|
|
|
|
|||
E |
|
xi x 4 |
mi 3 |
|
|
0,0006 |
3 0,68; |
||||
|
|
80 (0,042)4 |
|||||||||
|
k |
|
|
nS4x |
|
|
|
|
|||
V Sxx 100% 400,042,344 100% 0,104%.
→Пример 7.2
Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака X генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение σ = 5, выборочная средняя XB =14 и объем выборки n = 25.
Решение. Требуется найти доверительный интервал.
|
|
σ |
|
|
|
σ |
||
xв t |
|
|
< a < xв t |
|
. |
|||
|
|
|||||||
|
|
n |
|
|
|
n |
||
Все величины, кроме t, известны. Найдем t из соотношения Ф(t) 0,295 0,475.
По таблице приложения 2 находим t = 1,96.
80