Элементы теории вероятностей и математической статистики. Учебно-практическое пособие

ê‡Á‰ÂÎ 4

4.10. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишеньбудетпораженанеменее70 разинеболее80 раз.

4.11. Вероятность того, что покупателю потребуется одежда 54-го размера равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 100 покупателей потребуют одежду 54-го размера:

а) 25 человек; б) от 10 до 30 человек;

в) не более 30 человек.

4.12.Пусть n — суммарное число появлений пятерки и шестерки в N бросках игральной кости. При N = 1800 найти вероятность того, что n ≥ 620.

4.13.Две электрические лампочки включены в сеть последовательно. Определить вероятность того, что при повышении напряжения в сети выше номинального произойдет разрыв цепи, если вероятность того, что лампочка перегорит, для обеих лампочек одинакова и равна 0,4.

4.14.Для одной торпеды вероятность потопить корабль равна 0,5. Какова вероятность того, что четыре торпеды потопят корабль, если для потопления корабля достаточно одного попадания торпеды в цель?

4.15.Вероятность изготовления нестандартной детали на станке-автомате равна 0,05. Найти вероятность того, что нестандартная деталь будет обнаружена контролером при проверке третьего изделия.

4.16.Сервисная компьютерная компания обслуживает 10 организаций, от каждой из которых может поступить заявка на очередной день с вероятностью 0,4, независимо от заявки других

32

ê‡Á‰ÂÎ 5

ê ‡ Á ‰ Â Î 5

лгмуДвзхЦ ЗЦгауазх. бДдйзх кДликЦСЦгЦзаь. пДкДднЦкалнада лгмуДвзхп ЗЦгауаз

Случайной величиной называется величина, которая в результате испытаний может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно — какое. Случайные величины обозначают большими буквами латинского алфавита, а их возможные значения соответствующими малыми буквами. Например:

Х (х1, х2, … ,хn), W (w1, w2, … ,wn).

Дискретной случайной величиной называется случайная величина, принимающая отделенные друг от друга значения, которые можно пронумеровать. Она характеризуется значениями и соответствующими вероятностями:

рi = P(X = xi).

Непрерывной называют случайную величину, которая может принять все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения может иметь различные формы.

34

ê‡Á‰ÂÎ 5

1. Функция распределения

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), выражающая вероятность того, что Х примет значение строго меньшее, чем х:

F(x) = P(X < x).

Область определения функции распределения — множество всех действительных чисел, а область значения — отрезок

[0; 1].

Функция F(x) есть неубывающая функция, т.е. F(x2) ≥ F(x1), если х2 > x1, причем F(–∞) = 0, F(+∞) = 1. Для дискретных случайных функций функция распределения есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева. Если функция распределения F(x) везде непрерывна и имеет производную, случайная величина называется непрерывной.

График функции распределения есть кривая, ограниченная прямыми y = 0 и y = 1.

2. Плотность распределения

Плотностью распределения непрерывной случайной ве-

личины называется функция f(x) = F′(x).

Плотность распределения любой случайной величины не-

отрицательна, f(x) ≥ 0, и обладает свойством f x dx 1.

График плотности f(x) называется кривой распределения. Элементом вероятности для случайной величины Х называется величина F(x)dx, приближенно выражающая вероятность попадания случайной точки Х в элементарный отрезок

dx, примыкающий к точке х.

Функция распределения F(x) выражается через плотность распределения формулой

36

ê‡Á‰ÂÎ 5

Центрированной случайной величиной называется раз-

ность между случайной величиной Х и ее математическим ожиданием:

X X M[X] .

Дисперсией (рассеянием) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной величины.

Дисперсия вычисляется по формулам:

n

D[X] = (xi M[X])2 pi — для дискретной случайной ве-

i 1

личины;

D[X] = (x M[X])2 f (x)dx — для непрерывной случайной

величины.

Использование особенностей математического ожидания приводит к следующей формуле для вычисления дисперсий:

D(X) = M(X2) – [M(X)]2.

Дисперсия имеет размерность квадрата измеряемой величины. Для того чтобы получить размерность рассеяния в единицах измеряемой величины, используют корень квадратный

из дисперсии σ(X) D(X) , который называют средним

квадратическим отклонением.

Свойства дисперсии:

1.Дисперсия постоянной величины равна 0.

2.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

3.Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

4.Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

38

ê‡Á‰ÂÎ 5

Дискретная случайная величина Х называется распределенной по закону Пуассона, если ее возможные значения 0, 1, 2, … k, а вероятность того, что Х = k, выражается формулой

Р(Х = k) = Рn(k) = λkk! e λ ,

где λ = np — параметр закона Пуассона.

Распределение Пуассона используется для описания массовых (n велико) и редких (р мало) событий.

Случайная величина называется распределенной по показательному (экспоненциальному) закону, если ее плотность вероятности имеет вид:

0,приx 0, f (x)

λe λx ,приx 0,

где λ — постоянная величина или параметр показательного распределения.

Вероятность попадания случайной величины, распределенной по показательному закону, в заданный интервал (α, β)

равна P α X β e λα e λβ .

Непрерывная случайная величина Х называется равномерно распределенной в интервале (a, b), если ее плотность распределения в этом интервале постоянна:

Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения равна:

1 ( x a )2

f(x) = σ 2π e 2σ2 .

40