Элементы теории вероятностей и математической статистики. Учебно-практическое пособие

ê‡Á‰ÂÎ 1

1.16.Букет состоит из 5 тюльпанов и 10 нарциссов. Из этого букета случайным образом составляют букеты по 3 цветка в каждом. Найти вероятность того, что в каждом букете будет по 1 тюльпану.

1.17.Стрелок стреляет на стенде по тарелочкам. Относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,8. Найти

число разбитых тарелочек, если всего было произведено

65выстрелов.

1.18.Внутрь круга радиусом R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата. Предполагается, что вероятность попадания точки в квадрат пропорциональна площади квадрата и не зависит от расположения относительно круга.

1.19.Даны две концентрические окружности радиусов R1 и R2. На большей окружности произвольно ставятся две точки: А и В. Какова вероятность того, что отрезок АВ не пересечет малую окружность?

1.20.Два судна должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих судов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из судов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого судна 1 час, а второго — 2 часа.

12

нВУрВП˚ ТОУКВМЛfl Л ЫПМУКВМЛfl ‚ВрУflЪМУТЪВИ

ê ‡ Á ‰ Â Î 2

нЦйкЦех лгйЬЦзаь а мезйЬЦзаь ЗЦкйьнзйлнЦв

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.

Суммой нескольких событий называется событие, со-

стоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.

Произведением нескольких событий называется событие,

состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этихсобытий безвероятности их совместного появления:

P A B P A P B P AB .

Для несовместных событий: P A B P A P B .

Если события А1, А2… Аn несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице:

n

p(Ai) 1.

i 1

Условной вероятностью РА(В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Два события называют независимыми, если появ-

13

ê‡Á‰ÂÎ 2

ление одного из них не изменяет вероятность появления другого события.

Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность второго при наличии первого:

P AB P A PA B .

Для независимых событий: P AB P A P B .

Пример 2.1

Бросают игральную кость. Какова вероятность того, что выпадет четное количество очков?

Решение. Событие А — появление четного количества очков, состоит из суммы трех несовместных событий (выпадения двойки — А2, выпадения четверки — А4, выпадения шестерки — А6). Известно, что вероятность выпадения любой

грани равна 16 . Тогда по теореме сложения:

P A P A2 P A4 P A6 16 16 16 12 .

Пример 2.2

Разрыв электрической цепи происходит в том случае, когда выходит из строя хотя бы один из трех последовательно соединенных элементов. Определить вероятность того, что не будет разрыва цепи, если элементы выходят из строя с вероятностями соответственно 0,3; 0,4; 0,6.

Решение. Искомая вероятность равна вероятности того, что не выйдут из строя все три элемента.

14

ê‡Á‰ÂÎ 2

2.3.Две одинаковые монеты радиуса r помещены внутри круга радиуса R, в который случайным образом бросается точка. Найти вероятность того, что эта точка попадет на одну из монет, если монеты не перекрываются.

2.4.Какова вероятность извлечь из колоды в 52 карты фигуру любой масти или карту пиковой масти (фигурой называется валет, дама или король)?

2.5.В урне 10 белых, 20 черных и 30 синих шаров. Случайным образом достают 3 шара. Какова вероятность того, что все шары синие?

2.6.В урне находятся 5 белых и 20 черных шаров. Из урны последовательно вынимаются шары до тех пор, пока не будет вынут белый шар. Вычислить вероятность того, что при этих условиях будет произведено 3 вынимания, т. е. что до первого белого шара будет вынуто 2 черных шара.

2.7.32 буквы русского алфавита написаны на разных карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимают наугад одна за другой и укладывают на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что получится слово «финал».

2.8.Из полной колоды карт (52 карты) вынимают сразу 4 карты. Найти вероятность того, что все эти 4 карты будут разных мастей.

2.9.Из полной колоды карт (52 карты) вынимают сразу 2 карты. Одну из них смотрят — она оказалась валетом; после этого 2 вынутые карты перемешивают, и одну из них берут наугад. Найти вероятность того, что она окажется тузом.

2.10.Три стрелка поочередно ведут стрельбу по одной и той же мишени. Каждый стрелок имеет по 2 патрона. При пер-

16

ê‡Á‰ÂÎ 2

2.16.В урне находится 7 белых, 13 черных, 10 зеленых и 3 красных шара. Случайным образом из урны достают 3 шара. Какова вероятность, что все они одного цвета?

2.17.Вероятность события А появиться хотя бы один раз при двух независимых испытаниях равна 0,75. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что вероятность появления события в обоих испытаниях одна

ита же).

2.18.Рыбак ловит щук спиннингом. Вероятность поймать щуку при одном забросе блесны равна 0,02. Сколько блеснений должен сделать рыбак, чтобы с вероятностью, не меньшей чем 0,9, поймать хотя бы одну щуку?

2.19.Вероятность попадания при стрельбе в самолет из винтовки P = 0,004. Сколько стрелков должны стрелять одновременно, чтобы обеспечить поражение самолета с вероятностью не меньшей P 0,98 ?

2.20.Зависимы или независимы:

а) несовместные события; б) события, образующие полную группу; в) равновозможные события.

18

оУрПЫО‡ ФУОМУИ ‚ВрУflЪМУТЪЛ Л ЩУрПЫО‡ ЕВИВТ‡

ê ‡ Á ‰ Â Î 3

ойкемгД ийгзйв ЗЦкйьнзйлна а ойкемгД ЕЦвЦлД

Если об обстановке опыта можно сделать n исключающих другдругапредположений(гипотез), образующихполнуюгруппу

H1 , H2 ,...Hn ,

и если событие А может появиться только при одной из этих гипотез, то вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

P A P H1 PH1 A P H2 PH2 A ... P Hn PHn A ,

n

или P A P Hi PHi A ,

i 1

где P(Hi) — вероятность гипотезы Hi, PHi(А) — условная вероятность события А при этой гипотезе.

Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) H1, H2, Hn, которые образуют полную группу событий. Если до опыта вероятности гипотез были P(H1), P(H2) … P(Hn), а в результате появилось событие А, то с учетом этого события «новые», т. е. условные, вероятностигипотезвычисляютсяпо формулеБейеса:

19

ê‡Á‰ÂÎ 3

Формула Бейеса дает возможность «пересмотреть» вероятности гипотез с учетом наблюденного результата опыта.

Пример 3.1

На сборку поступают детали, изготовленные на двух стан- ках-автоматах, причем 60 % деталей поступает с первого автомата, а 40 % — со второго. Первый автоматический станок изготавливает 80 % деталей первого сорта, а второй — 70 %. Какова вероятность, что взятая наугад деталь окажется деталью первого сорта?

Решение. Пусть событие А состоит в том, что взятая наугад деталь окажется деталью первого сорта. Рассмотрим две гипотезы:

Н1 — наугад взятая деталь изготовлена на первом станке; Н2 — наугад взятая деталь изготовлена на втором станке. По условию задачи P H1 0,6 , P H2 0,4 . Условные ве-

роятности события A при этих гипотезах соответственно равны PH1 A 0,8 , PH2 A 0,7 . Искомую вероятность определим

по формуле полной вероятности:

P A 0,6 0,8 0,4 0,7 0,76.

Пример 3.2

На сборку поступают детали, изготовленные на двух стан- ках-автоматах, причем 60 % деталей поступает с первого автомата, а 40 % — со второго. Первый автоматический станок изготавливает 80 % деталей первого сорта, а второй — 70 %. На сборку поступило одно изделие, оказавшееся изделием первого сорта. Найти вероятность того, что это изделие изготовлено на первом станке.

Решение. Обозначим через А событие, состоящее из того, что на сборку поступила деталь первого сорта. Можно выдвинуть две гипотезы:

20