Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Элементы теории вероятностей и математической статистики. Учебно-практическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

щОВПВМЪ˚ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНУИ ТЪ‡ЪЛТЪЛНЛ

Подставив t = 1,96, XB =14, σ = 5, n = 25, получим доверительный интервал 12,04 < a < 15,96.

→Пример 7.3

Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,01 установить, случайно или значимо расхождение между эмпи-

рическими частотами ni и теоретическими частотами ni , кото-

рые вычислены, исходя из гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности X:

ni	8	16	40	72	36	18	10
ni	6	18	36	76	39	18	7

Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия Пирсона:

χ	2	ni ni 2	.
	набл	n

Проводя вычисления, получим χнабл2			=3,061.

По таблице критических точек распределения χ2 (приложение 5), по уровню значимости 0,01 и числу степеней свободы K = S – 3 = 7 – 3 = 4 находим критическую точку правосто-

ронней критической области χнабл2 (0,01; 4)=13,3.

Так как χнабл2 < χкр2 , то нет оснований отвергать гипотезу о

нормальном распределении генеральной совокупности. Другими словами, расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами незначимо (случайно).

á‡‰‡˜Ë

7.1. Выборка задана в виде распределения частот:

Xi	5	7	9	12
ni	10	4	6	20

ê‡Á‰ÂÎ 7

Найти распределение относительных частот.

7.2. Найти эмпирическую функцию распределения по следующей выборке

Xi	2	5	7	8
ni	1	3	2	4

7.3.Задана генеральная совокупность: 15, 19, 13, 12, 9, 14, 15, 19, 12, 17, 13, 9, 15, 12, 15, 14, 18, 16, 15, 12 из 20 элемен-

тов. Сделать следующее:

а) построить статистическое распределение выборки и ее эмпирическую функцию распределения;

б) найти числовые характеристики выборки: среднее, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;

в) построить полигоны частот и относительных частот, а также гистограмму, разбив интервал на 4 равных подынтервала; г) найти моду, медиану, размах и коэффициент вариации.

7.4.Для определения точности дальномера, систематическая ошибка которого практически равна нулю, было произведено пять независимых измерений, результаты которых представлены в таблице:

N0 измерения	1	2	3	4	5
xi, м	2781	2836	2807	2763	2858

Определить несмещенную оценку дисперсии ошибок дальномера, если значение измеряемой величины:

а) известно и равно 2800 м; б) неизвестно.

7.5. В итоге четырех измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 8, 9, 11, 12. Найти:

щОВПВМЪ˚ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНУИ ТЪ‡ЪЛТЪЛНЛ

а) выборочную среднюю результатов измерений; б) выборочную иисправленную дисперсиюошибокприбора.

7.6. Постоянная величина измерена 25 раз с помощью прибора, систематическая ошибка которого равна нулю, а случайные ошибки измерения распределены нормально со средним квадратическим отклонением σ = 10 м. Определить границы доверительного интервала для значения измеряемой величины

при доверительной вероятности 0,99, если x =100 м.

7.7. По данным 16 независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены средние арифмети-

ческое результатов измерений xв = 42,8 и «исправленное» среднее арифметическое отклонение s. Оценить истинное значение измеряемой величины с надежностью = 0,999.

7.8.Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,95 точность оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средней равна 2, если известно среднее квадратичное отклонение генеральной совокупности σ = 16.

7.9.По данным 16 независимых равноточных измерений найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение S = 8 нормально распределенного количественного признака. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,999.

7.10.Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X с эмпирическим распределением выборки объема n = 200:

Xi	0,3	0,5	0,7	0,9	1,1	1,3	1,5	1,7	1,9	2,1	2,3
ni	6	9	26	25	30	26	21	24	20	8	5
											83

кВНУПВМ‰ЫВП‡ﬂ ОЛЪВр‡ЪЫр‡

1.Вентцель Е. С., Овчаров А. А. Теория вероятностей. — М.:

Наука, 1973 (каф. географии океана РГУ им. И. Канта).

2.Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Высшая школа, 2002 (учебный абонемент б-ки РГУ им. И. Канта).

3.Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для вузов. — М.: Высшая школа, 2002 (учебный абонемент б-ки РГУ им. И. Канта).

4.Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций / под ред. А. А. Свешникова. — М.: Наука, 1970 (каф. географии океана РГУ им. И. Канта).

5.Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. — СПб.: Лань, 2003 (каф. географии океана РГУ им. И. Канта).

éÚ‚ÂÚ˚

		йнЗЦнх
Раздел 1
1.1. Ничья. 1.2. 5040. 1.3. 3360. 1.4. 0,2. 1.5. 0,4. 1.6.								1		. 1.7.	1 .
1.1. Ничья. 1.2. 5040. 1.3. 3360. 1.4. 0,2. 1.5. 0,4. 1.6.							1296			. 1.7.	1 .
	1	; 5 . 1.10. 0,2996. 1.11. 0,72 10 7					1296				6
1.8. 0,35. 1.9.	1	; 5 . 1.10. 0,2996. 1.11. 0,72 10 7					; 0,000968619.
	2	9	1		1			5			1 .
1.12. 0,2174.	1.13. 0,4196; 0,972. 1.14.		1	;	1	;		5	.	1.15.
1.12. 0,2174.	1.13. 0,4196; 0,972. 1.14.		216	;		;	54		.	1.15.
			216	36			54				4

1.16.0,08092. 1.17. 52. 1.18. 2 . 1.19. 1 R22 . 1.20. 0,121.

πR12

Раздел 2
		r	2	11
2.1. 0,1. 2.2. 0,55.	2.3. 2		. 2.4.	26	. 2.5.	0,1186. 2.6.	0,138.
2.1. 0,1. 2.2. 0,55.	2.3. 2		. 2.4.		. 2.5.	0,1186. 2.6.	0,138.
		R

2.7. 321 311 301 291 281 . 2.8. 0,106. 2.9. 512 . 2.10. 0,188. 2.11. 0,5177. 2.12. 0,873. 2.13. 0,3; 0,8. 2.14. 0,116; 0,444; 0,432.

2.15. 0,0776. 2.16. 0,081. 2.17. 0,5. 2.18. 114. 2.19. 976.

2.20. Зависимы; зависимы; могут быть как зависимы, так и независимы.

Раздел 3

3.1. 0,13. 3.2. 0,79. 3.3. 285 . 3.4. 0,2198. 3.5. 0,2555. 3.6. 0,9655.

3.7. 0,7333. 3.8. 0,3368. 3.9. 0,038. 3.10. 2021 . 3.11. 0,998.

éÚ‚ÂÚ˚

3.12. 0,263. 3.13. 0,103; 0,277; 0,620. 3.14. Пробой конденсатора.

3.15. 325 . 3.16. 1019 . 3.17. 0,034. 3.18. 34 ; 12 . 3.19. 294 . 3.20. 0,24.

Раздел 4

4.1. 0,2637. 4.2. 83 . 4.3. Вероятнее выиграть три партии из четы-

рех. 4.4. 0,246; 0,26; 0,000064. 4.5. 0,472. 4.6. 647 ; 5764 .

4.7. 0,00317. 4.8. 0,04527. 4.9. 0,04986. 4.10. 0,7498. 4.11. 0,0456; 0,9876; 0,9937. 4.12. 0,1587. 4.13. 0,64. 4.14. 0,9375. 4.15. 0,045. 4.16. 4; 0,251. 4.17. 30. 4.18. 0,99845. 4.19. 0,6962. 4.20. 0,6195.

Раздел 5

		0	при	x 3;
			при	3 x 4;
		0,2	при	3 x 4;
5.1.	F x	0,3	при	4 x 7; .

		0,7	при	7 x 10;
			при	x 10.
		1	при	x 10.

5.2. Нет; да; нет; нет. 5.3. Да. 5.4. 5,4; 4,84; 2,2.

5.5.	X	1	3

	p	0,2	0,8

5.6. –122; 81; 9. 5.7. 9; 20,25; 16,5. 5.8. p1 – p2; p1q1 + p2q2;

Z	–1	0	1

p	q1p2	q1q2 p1p2	p1q2

éÚ‚ÂÚ˚

5.9. 1,216. 5.10. M ξ =1,2; D ξ =0,56. 5.11. 0,09. 5.12. 0,39347.

																											1		при				x	3,9 ;								1
5.13. 0,9596. 5.14. 0,5507.																5.15.													при				x	3,9 ;						5.16.		1	.
5.13. 0,9596. 5.14. 0,5507.																5.15.							f x 6										x 3,9 .							5.16.		2	.
																											0		при				x 3,9 .									2

5.17. 0,9999. 5.18. 0,98913. 5.19. 6%. 5.20. 79%.
Раздел 6
6.1.			2,4;1.99.									6.2.								2	;		2	.	6.3.								b a b2								a2 2		;
6.1.			2,4;1.99.									6.2.				3					;	9		.	6.3.													4					;
																3						9																4
9b6		2b5a 5b4a2										12b3a3					5b2a4 2ba5											9a6				. 6.4.				1 ;			1		. 6.5. 0;
												112																				. 6.4.				1 ;		12			. 6.5. 0;
												112																								2		12
1					2			a	2					4a														1
	.	6.6.					a;			.		6.7.				. 6.8. g y													f		ln			1			,	0			y 1.
	.	6.6.					a;			.		6.7.				. 6.8. g y													f		ln			1			,	0			y 1.
3					3 18									π
3					3 18									π													y								y
		g y						1					y ,
6.9.												3					0 y .
6.9.								3	y		2	f					0 y .
6.10.							3		y
6.10.							Z					5										11								17
							p					0,56										0,38							0,06
								1	e		5z		e		2		z					0,			;
								1			5z				15		z
								2				x 1							z
6.11. g z								2
							0														z 0, .
6.12.
6.12.
						X						26						30								41							50
						p						0,14						0,42								0,19							0,25

												Y							2,3								2,7
												p							0,29								0,71
6.13.				3		. 6.14. 8e 4 x1 2 y .
6.13.			128			. 6.14. 8e 4 x1 2 y .
			128
																																										87

éÚ‚ÂÚ˚

6.15.	1	arctgx			1	arctgy		1
		;							;
	π2	;	π		2		π	2	;
	π2		π		2		π	2
				1	при		x, y R;
				2	при		x, y R;
6.16. f x, y				2			x, y R;
			0 при				x, y R;

;

π1 x2

π1 y2

при

f1 x

при

;

f2 y

f1 x

2 1

при

;

при

;

f2 y

2 1

при

6.17.

x 0

0 x 1

1 x

y 0

0 y 1

q1q2

1 y

при

x 0

или y 0;

6.18. f x, y

λx μy

при

x 0

y 0;

λμe

F x, y

1 e

при

x 0

или y 0;

1 e

λx

μy

при

x 0

и y 0.

6.19.

;

. 6.20.

; 1

; 0,1972; 0,2887;

; 0,488.

4ab 2a 2b

Раздел 7

7.1.

0,25

0,1

0,15

0,5

éÚ‚ÂÚ˚

0,1 7.2. F* x 0,40,6

7.3. а)

при x 2;

при 2 x 5; при 5 x 7; при 7 x 8;

при x 8.

Xi	9	12		13		14		15		16	17	18	19
ni	2	4		2		2		5		1	1	1	2
					0		при		x 9;
							при		9 x 12;
					0,1		при		9 x 12;
							при		12 x 13;
					0,3		при		12 x 13;
					0,4		при		13 x 14;
		*					при		14 x 15;
		*	x		0,4		при		14 x 15;
		F	x				при		15 x 16;
					0,75		при		15 x 16;
					0,8		при		16 x 17;
							при		17 x 18;
					0,85		при		17 x 18;
					0,9		при		18 x 19;

							при		x 19.
					1		при		x 19.

б) xв = 14,2; Dв = 7,56; σв = 2,7495; г) 15; 14,5; 10; 19,36 %.

7.4. 1287,8 м2; 1508,5 м2. 7.5. 10; 2,5; 3,333. 7.6. (94,9 м; 105,1 м). 7.7. 34,66<a<50,94. 7.8. 246. 7.9. 0<σ<16,56. 7.10. k=8;

χнабл2 =7,91; χкр2 (0,05;8)=15,5. Нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

ирЛОУКВМЛﬂ

				икагйЬЦзаь
							П р и л о ж е н и е 1
	Таблица значений функции φ(x)							1	e x2 2 .
	Таблица значений функции φ(x)							2π	e x2 2 .
								2π

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	0,3989	3989 3989 3988 3986 3984 3982 3980 3977 3973
0,1	3970	3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918
0,2	3910	3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825
0,3	3814	3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697
0,4	3683	3668 3652 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538
0,5	3521	3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352
0,6	3332	3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144
0,7	3123	3101 3079 3066 3034 3011 2989 2966 2943 2920
0,8	2897	2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685
0,9	2661	2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444

1,0 0,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203

1,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965

1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1738 1736

1,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518

1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315

1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127

1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957

1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804

1,8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669

1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]