Элементы теории вероятностей и математической статистики. Учебно-практическое пособие
.pdf
лОЫ˜‡ИМ˚В ЩЫМНˆЛЛ. лЛТЪВП˚ ‰‚Ыı ТОЫ˜‡ИМ˚ı ‚ВОЛ˜ЛМ
симы, то события X = 1 и Y = 2 независимые, следовательно, вероятность их совместного наступления (т.е. вероятность события Z = 3) потеоремеумноженияравна 0,3 · 0,6 = 0,18.
Аналогично найдем:
p(Z = 1 + 4 = 5) = 0,3 · 0,4 = 0,12;
p(Z = 3 + 2 = 5) = 0,7 · 0,6 = 0,42;
p(Z = 3 + 4 = 7) = 0,4 · 0,4 = 0,28.
Напишем искомое распределение, сложив предварительно вероятности несовместимых событий Z = Z2 = 5, Z = Z3 = = 5(0,12 + 0,42 = 0,54).
Z |
3 |
5 |
7 |
p |
0,18 |
0,54 |
0,28 |
Контроль: 0,18 + 0,54 + 0,28 = 1.
→Пример 6.4
Дана плотность вероятности системы случайных величин
(X, Y):
f (x, y) 0,5sin(x y) |
(0 x |
π |
, |
0 y |
π |
). |
|
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
Определить:
а) функцию распределения системы; б) математическое ожидание X и Y; в) коэффициент корреляции rxy.
Решение. Находим функцию распределения (при 0 x π2 и 0 y π2 ):
61
ê‡Á‰ÂÎ 6
|
|
|
|
|
|
|
F(x, y) P(X x, Y y) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x |
y |
0,5sin(x y)dxdy 0,5[sin x sin y sin(x y)]. |
|||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Математическое ожидание случайной величины X |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M[X] 0,52 |
2 |
x sin(x y)dxdy |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0,52 |
x[ cos(x |
) cos x]dx |
0,785. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Дисперсия случайной величины X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π2 |
|||
|
|
|
|
D[X] 0,52 2 |
x2 sin(x y)dxdy |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
16 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π2 |
|
π2 |
|
|
|
|
π |
|
|
0,52 |
x2 [ cos(x |
) cos x]dx |
|
|
|
|
2 0,188. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
16 |
|
|
|
|
|
||||||
Из симметрии плотности вероятности относительно X и Y следует, что
M[Y] M[X]; D[Y] D[X].
Находим σx |
σy |
|
|
|
|
D X |
D Y 0,433; |
|
|
|
||||||||||
Вычислим корреляционный момент |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
π2 |
|
|
|
|
|
|
Kxy 0,52 |
2 |
xysin(x y)dxdy |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
||||
|
π |
|
|
|
π |
|
|
|
π |
|
π |
|
π2 |
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
0,5 x[sin x |
|
|
|
|
sin x |
|
cos x |
|
|
]dx |
|
|
||||||||
2 |
2 |
|
|
16 |
||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||
π 1 π2 0,046. 2 16
62
лОЫ˜‡ИМ˚В ЩЫМНˆЛЛ. лЛТЪВП˚ ‰‚Ыı ТОЫ˜‡ИМ˚ı ‚ВОЛ˜ЛМ
Теперь найдем коэффициент корреляции rxy.
rxy |
|
Kxy |
|
0,046 |
0,245. |
; |
||
σx |
σy |
0,188 |
||||||
|
|
|
|
|
||||
ᇉ‡˜Ë
6.1. Случайная величина X имеет распределение
X |
–1 |
0 |
1 |
2 |
p |
0,2 |
0,1 |
0,3 |
0,4 |
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = 2x.
6.2. Случайная величина X имеет распределение
X |
–1 |
0 |
1 |
|
p |
1 |
1 |
1 |
|
3 |
3 |
3 |
||
|
Найти: M[Y], D[Y] случайной величины Y = |X|.
6.3.Ребро куба измерено приближенно, причем a x b. Рассматривая ребро куба как случайную величину X, распределенную в интервале (a, b), найти:
а) математическое ожидание объема куба; б) дисперсию объема куба.
6.4.Непрерывная случайная величина X распределена в интервале (0,1) по закону с плотностью
2x, |
если |
x 0,1 ; |
f x |
если |
x 0,1 . |
0, |
||
|
|
|
63
ê‡Á‰ÂÎ 6
Найти математическое ожидание и дисперсию квадрата случайной величины Y = X2.
6.5. Непрерывнаяслучайнаявеличинараспределенапозакону
|
1 |
|
|
|
|
π |
|
|
π |
||
|
|
cos x, |
если |
x |
|
|
; |
|
|
; |
|
2 |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
f x |
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
||
0, |
|
|
|
|
|
||||||
|
если |
x |
|
|
|
; |
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = sinX.
6.6.Индикатор кругового обзора навигационной станции представляет собой круг радиуса а. Вследствие помех может появиться пятно с центром в любой точке этого круга. Определить математическое ожидание и дисперсию расстояния центра пятна от центра круга.
6.7.Определить математическое ожидание длины хорды, соединяющей заданную точку окружности радиуса а с другой точкой, все положения которой на окружности равновозможны.
6.8.Задана плотность распределения f(x) случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале (0, ∞). Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y, если Y = e–x.
6.9.Задана плотность распределения f(x) случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале (0, ∞).
Найти плотность распределения случайной величины Y, если Y = X3.
64
лОЫ˜‡ИМ˚В ЩЫМНˆЛЛ. лЛТЪВП˚ ‰‚Ыı ТОЫ˜‡ИМ˚ı ‚ВОЛ˜ЛМ
6.10. Дискретные случайные величины X и Y заданы распределениями
X |
4 |
10 |
p |
0,7 |
0,3 |
|
|
|
Y |
1 |
7 |
p |
0,8 |
0,2 |
Найти распределение случайной величины Z = X + Y.
6.11. Независимые случайные величины X и Y заданы плотностями распределения:
f1 (x) |
1 |
|
x |
(0 x ); |
f2 (y) |
1 |
|
y |
(0 y ). |
3 e |
3 |
5 e |
5 |
||||||
Найти композицию этих законов, т. е. плотность распределения случайной величины Z = X + Y.
6.12. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:
Y |
|
|
X |
|
|
|
26 |
30 |
|
41 |
50 |
|
|
|
|
|
|
2,3 |
0,05 |
0,12 |
|
0,08 |
0,04 |
|
|
|
|
|
|
2,7 |
0,09 |
0,3 |
|
0,11 |
0,21 |
|
|
|
|
|
|
Найти законы распределения составляющих X и Y.
6.13.Найти вероятность попадания случайной точки (X, Y)
впрямоугольник, образованный прямыми x = 1, x = 2, y = 3, y = 5, если известна функция распределения системы
65
ê‡Á‰ÂÎ 6
1 2 x 2 y 2 x y , |
если |
x 0, |
y 0; |
F x, y |
если |
x 0, |
y 0. |
0, |
6.14. Задана функция распределения двумерной случайной величины
1 e 4 x 1 e 2 y , |
если |
x 0, |
y 0; |
F x, y |
если |
x 0, |
y 0. |
0, |
Найти двумерную плотность вероятности системы (X, Y).
6.15. Система случайных величин (ξ, η) имеет плотность вероятности
|
a |
|
f (x, y) |
|
. |
1 x2 y2 x2 y2 |
||
Найти:
а) коэффициент а; б) функцию распределения системы (ξ, η);
в) законы распределения одномерных величин ξ и η.
6.16. Случайная точка (X, Y) распределена с постоянной плотностью внутри квадрата R, заштрихованного на рисунке:
Задание:
а) написать выражение плотности распределения f(x, y);
б) найти выражения f1(x), f2(y) отдельных величин X, Y, входящих в систему;
в) написать выражения условных плотностей f1(x|y) и f2(y|x).
66
лОЫ˜‡ИМ˚В ЩЫМНˆЛЛ. лЛТЪВП˚ ‰‚Ыı ТОЫ˜‡ИМ˚ı ‚ВОЛ˜ЛМ
6.17.Два стрелка независимо один от другого производят по одному выстрелу, каждый по своей мишени. Случайная величина X — число попаданий первого стрелка; Y — второго стрелка. Вероятность попадания в мишень для первого стрел-
ка p1, для второго p2. Построить функцию распределения системы случайных величин (X, Y).
6.18.Имеются две независимые случайные величины (X, Y), каждая из которых подчинена показательному закону:
f1 |
0, |
|
где |
x 0; |
f2 |
0, |
|
где |
y 0; |
x |
λx |
, где |
x 0; |
y |
μy |
, где |
y 0. |
||
|
λe |
|
|
μe |
|
Найти:
а) плотность распределения системы;
б) функцию распределения системы (X, Y).
6.19.Непрерывная двумерная случайная величина (X, Y) распределена равномерно внутри прямоугольника с центром симметрии в начале координат и сторонами 2а и 2b, параллельными координатным осям.
Найти:
а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотность распределения составляющих.
6.20.Распределение CB(X, Y) задано плотностью вероят-
ностей
|
|
1 |
0 |
x y 1; |
|
|
|
|
|||
2 |
xy |
||||
f x, y |
|
|
0 для остальных значений x и y
Найти числовые характеристики двумерной системы M[X], M[Y], x; y; Kxy;rxy..
67
ê‡Á‰ÂÎ 7
ê ‡ Á ‰ Â Î 7
щгЦеЦзнх еДнЦеДнауЦлдйв лнДналнада
Математическая статистика разрабатывает методы получения, математического описания и обработки экспериментальных данных, которые дают возможность по результатам испытаний делать вероятностные выводы про закономерности случайных массовых явлений. Основные задачи математической статистики таковы:
а) оценка неизвестной функции распределения; б) оценка неизвестных параметров распределения; в) статистическая проверка гипотез; г) оценка доверительных интервалов.
Генеральной совокупностью называют всю совокупность однородных объектов, которую изучают относительно некоторого количественного или качественного признака, характеризующего эти объекты.
Выборочной совокупностью, или выборкой, называют со-
вокупность случайно отобранных объектов из генеральной совокупности.
Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед выбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.
Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральной совокупности не возвращается.
Репрезентативной называют выборку, которая верно представляет пропорции генеральной совокупности.
68
щОВПВМЪ˚ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНУИ ТЪ‡ЪЛТЪЛНЛ
Пусть для изучения количественного (дискретного или непрерывного) признака X из генеральной совокупности извлечена выборка χ1, χ2, …, χn объема n. Наблюдавшиеся значения xi признака X называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, — вариацион-
ным рядом.
Статистическим распределением выборки называют перечень вариант xi вариационного ряда и соответствующих им частот ni (сумма всех частот равна объему выборки n) или относительных частот wi (сумма всех относительных частот равна единице).
Статистическое распределение выборки можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты интервала принимают сумму частот вариант, попавших в этот интервал).
Функцию распределения F(x) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения.
Эмпирической функцией распределения (функцией рас-
пределения выборки) называют функцию F (x), определяющую для каждого значения x относительную частоту события X < x:
F (x) nnx ,
где nx — число вариант, меньших x; n — объем выборки. При больших n F (x) ≈ F(x), или
lim p[ |
|
F(x) F (x) |
|
ε] 1; |
ε 0. |
|
|
||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства эмпирической функции распределения:
1)значения эмпирической функции принадлежат отрезку
[0; 1];
2)F (x) — неубывающая функция;
3)если x1 — наименьшая варианта, а xk — наибольшая, то
F (x) = 0 при х x1 и F (x) = 1 при х > xk.
69
ê‡Á‰ÂÎ 7
Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x1; n1), (x2; n2), …, (xk; nk), где xi — варианты выборки и ni — соответствующие им частоты.
Полигоном относительных частот называют ломаную,
отрезки которой соединяют точки (x1; w1), (x2; w2), …, (xk; wk), где xi — варианты выборки, wi — соответствующие им относительные частоты.
При непрерывном распределении признака весь интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на ряд частичных интервалов длины h и находят ni
— сумму частот вариант, попавших в i-интервал. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру,
состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению ni
n
сумме всех частот, т.е. объему выборки n.
Гистограммой относительных частот называют сту-
пенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высо-
ты равны отношению whi (плотность относительной частоты).
Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.
К основным характеристикам выборки относятся: медиана, мода, среднее арифметическое, дисперсия, коэффициент вариации, асимметрия и эксцесс.
Значение признака (варианта), который разделяет ранжированный вариационный ряд на две равные по количеству вариант части, называется медианой.
Модой дискретного статистического распределения называется варианта, которая имеет наибольшую частоту.
70