Элементы теории вероятностей и математической статистики. Учебно-практическое пособие
.pdf
лОЫ˜‡ИМ˚В ‚ВОЛ˜ЛМ˚ Л Лı ı‡р‡НЪВрЛТЪЛНЛ. б‡НУМ˚ р‡ТФрВ‰ВОВМЛfl
Математическое ожидание случайной величины, распределенной по нормальному закону, равно а, а дисперсия σ2.
Нормированным называют нормальное распределение с параметрами а = 0 и σ = 1.
Вероятность попадания в заданный интервал (α, β) нормальной случайной величины определяется равенством:
Р( α X β) = Ф(βσa ) Ф(ασa ) ,
где Ф(х) — функция Лапласа.
Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х по абсолютной величине будет меньше наперед заданного малого положительного числа δ, определяется равенством:
Р( X a δ) 2Ф(σδ) .
Правило трех сигм. Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превышает утроенного среднего квадратического отклонения.
При исследовании турбулентных течений в океане и атмосфере широкое применение находит так называемый логнормальный закон распределения (когда по нормальному закону распределена не сама величина Х, а ее натуральный логарифм).
Плотность распределения в этом случае имеет вид:
|
1 |
|
|
|
ln x α 2 |
|
|
|
|
e |
2β2 |
при |
x 0; |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2π |
|
|
||||
f x xβ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
при |
x 0. |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
41
ê‡Á‰ÂÎ 5
Сведения о параметрах некоторых видов законов распределения можно найти в нижеследующей таблице:
Вид распределения |
Математическое ожидание |
Дисперсия |
||||||||||
Биноминальное |
|
np |
|
npq |
|
|
||||||
Пуассона |
λ np |
|
|
|
λ |
|
|
|
||||
Геометрическое |
|
1 |
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
p2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Показательное |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
λ2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Равномерное |
|
a b |
|
|
(b a)2 |
|
||||||
2 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Нормальное |
|
|
a |
|
|
|
σ2 |
|
|
|
||
Логнормальное |
|
|
β2 |
2 |
(eβ |
2 |
1) |
|||||
|
eα 2 |
e2 α β |
|
|||||||||
→Пример 5.1
Бросают три монеты. Построить ряд распределений Х — числа выпаданий герба и интегральную функцию распределе-
ния F(x).
Решение. Вероятность выпадания герба при броске одной монеты составляет 0,5. Пусть Х — число выпаданий герба. В трех испытаниях n = 3 (так как подбрасывают 3 монеты), герб может выпасть Х = 0, 1, 2, 3 раз. Соответствующие вероятности вычисляем с помощью формулы Бернулли:
Рn(x) = C x pxqn-x; q = 1– p = 1 – 0,5 = 0,5;
n
Р(х=0) = С0 р0q3–0 = 1 · 1 · 0.53 =0.125;
3
Р(х=1) = С1 р1q3–1 = 3 · 0,5 · 0,52 = 0,375;
3
P(x=2) = C 2 p2q1=3 · 0,52 · 0,5 = 0,375;
3
P(x=3) = C 3 p3q0 = 1 · 0,53 · 1 = 0,125;
3
Проверка: рi 0,125 0,375 0,375 0,125 1,0.
Следовательно, ряд распределения Х имеет вид:
42
лОЫ˜‡ИМ˚В ‚ВОЛ˜ЛМ˚ Л Лı ı‡р‡НЪВрЛТЪЛНЛ. б‡НУМ˚ р‡ТФрВ‰ВОВМЛfl
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
р |
0,125 |
0,375 |
0,375 |
0,125 |
|
|
|
|
|
1.Если х 0, F(x) = 0. Действительно, значений, меньших 0, величина х не принимает. Поэтому при Х < 0 функция F(x)
=P(X x) = 0.
2.Если 0 х <1, то F(x) = 0,125. Действительно, Х может принять значение 0 с вероятностью 0,125.
3.Если 1 х < 2, то F(x) = 0,5. Действительно, Х может принять значение 0 с вероятностью 0,125 и значение 1 с вероятностью 0,375. Таким образом, одно из этих значений, неважно какое, Х может принять (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0,125 + 0,375 = 0,5.
4.Если 1 х < 3, то F(x) = 0,875. Действительно, Х может принять значение 0 с вероятностью 0,125, значение1 с вероятностью 0,375 и значение 2 с вероятностью 0,375. Следовательно, одно из этих значений, неважно какое, Х может принять (по теореме сложения для несовместных событий) с вероятно-
стью 0,125 + 0,375 + 0,375 = 0,875.
5.Если х > 3, то F(x)=1. Действительно, событие Х 3 достоверное и его вероятность равна 1.
Таким образом, интегральная функция распределения имеет вид:
|
0 |
x 0; |
|
|
0 x 1; |
|
0.125 |
|
F x |
0.5 |
1 x 2; |
|
|
|
|
0.875 |
2 x 3; |
|
|
x 3. |
|
1 |
|
|
|
|
43
ê‡Á‰ÂÎ 5
→Пример 5.2
С оптовой базы в супермаркет отправлено 5000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что по пути одна бутылка разобьется, равна 0,0002. Найти вероятность того, что разобьется ровно три бутылки.
Решение. По условиям задачи n велико, а р мало. Поэтому воспользуемся распределением Пуассона. По условию n = 5000,
р= 0,0002, k = 3. Найдем λ:
λnp 5000 0,0002 1.
По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна:
Р5000(3)= λk e λ / k! e 1 / 3! 61e 0,06.
→Пример 5.3
Автобусы некоторого маршрута идут четко по расписанию. Интервал движения — 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, который подойдет к остановке, будет ждать автобус меньше 3 минут.
Решение. Так как приход пассажира равновероятен в интервале 5 минут, то мы имеем дело с равномерным распределением, плотность которого в данном случае равна 1/5. Если интервал между приходом двух автобусов составляет 5 минут, то чтобы пассажир не ждал дольше 3 минут, он должен подойти к остановке не раньше чем через 5 – 3 = 2 минуты после отхода предыдущего автобуса. Вероятность такого события А равна:
5 |
5 |
|
|
2 |
|
|
|
р(А)=Р(2<X<5)= f(x)dx 1 dx |
1 |
dx 0,2х |
|
52 |
0,2 3 0,6. |
||
|
|||||||
2 |
2 |
5 |
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
→Пример 5.4
Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х равны соответственно 10 и 2. Найти вероятность того, что в
44
лОЫ˜‡ИМ˚В ‚ВОЛ˜ЛМ˚ Л Лı ı‡р‡НЪВрЛТЪЛНЛ. б‡НУМ˚ р‡ТФрВ‰ВОВМЛfl
результате испытания Х примет значение, заключенное в ин-
тервале (12; 14).
Решение. Воспользуемся формулой:
Р( α X β ) = Ф(βσa ) Ф( ασa ).
Подставив α = 12, β = 14, а = 10 и σ = 2, получим Р(12<X<14)= Ф(2) – Ф(1). По таблице значений функции Лапласа находим: Ф(2) = 0,4772, Ф(1)=0,3413. Искомая вероятность Р(12<X<14) равна 0,1359.
ᇉ‡˜Ë
5.1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
Х |
3 |
4 |
7 |
10 |
р |
0,2 |
0,1 |
0,4 |
0,3 |
Найти функцию распределения и построить ее график.
5.2.Может ли при каком-либо значении аргумента быть: 1) функция распределения больше единицы; 2) плотность распределения больше единицы; 3) функция распределения отрицательной; 4) плотность распределения отрицательной.
5.3.Может ли функция
|
1 |
x |
2 |
x 1;2 ; |
P(х) = |
3 |
|
||
|
0 |
|
x 1;2 |
|
|
|
|
бытьплотностьюраспределениякакой-либослучайнойвеличины?
45
ê‡Á‰ÂÎ 5
5.4. Случайная величина Х задана законом распределения
Х |
2 |
4 |
8 |
р |
0,1 |
0,5 |
0,4 |
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой величины.
5.5.Дискретная случайная величина Х имеет только два
возможных значения: х1 и х2, причем х1 < х2. Вероятность того, что Х примет значение х1, равна 0,2. Найти закон распределения СВ Х, зная, что математическое ожидание М(Х) =2,6 и среднее квадратическое отклонение σ(Х)=0,8.
5.6.Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Z, если известно что Х и Y — независимые дискретные случайные величины
иZ= 4Х – 7Y – 100; M(X) = 5; M(Y) = 6; D(X) = 2; D(Y) = 1.
5.7.Из 100 карточек с числами 00, 01, 02, ..., 98, 99 наугад
вынимается одна. Пусть ζ1, ζ2 — соответственно сумма и произведение цифр на вынутой карточке. Найти М [ζ1], M [ζ2], D [ζ1].
5.8.Два стрелка стреляют каждый по своей мишени, делая по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого
стрелка равна р1, для второго р2. Рассматриваются две случайные величины: Х1 — число попаданий первого стрелка, Х2 — число попаданийвторогострелка— иихразностьZ= Х1 – Х2. Построить рядраспределенияслучайнойвеличиныZ инайтиМ[Z] иD [Z].
5.9.Охотник, имеющий 3 патрона, стреляет в цель до первого попадания (пока не израсходует все патроны). Определить математическое ожидание числа израсходованных патронов при условии, что вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8.
46
лОЫ˜‡ИМ˚В ‚ВОЛ˜ЛМ˚ Л Лı ı‡р‡НЪВрЛТЪЛНЛ. б‡НУМ˚ р‡ТФрВ‰ВОВМЛfl
5.10.Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, случайным образом и без возврата извлекаются 3 шара. СВ ζ — число белых шаров в выборке. Описать закон распределения СВ ζ и найти М(ζ) и D(ζ).
5.11.Высокоточный станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,001. Найти вероятность того, что среди 2000 деталей окажется ровно 4 бракованных.
5.12.Рыбак забросил спиннинг 100 раз. Какова вероятность того, что он поймал хотя бы одну рыбу, если одна рыба приходится в среднем на 200 забрасываний?
5.13.Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель 2 пуль и более, если число выстрелов в залпе равно 5000.
5.14.Время Т безотказной работы двигателя истребителя распределено по показательному закону. Известно, что среднее время безотказной работы двигателя между техническими обслуживаниями равно 100 часам. Найти вероятность безотказной работы двигателя за 80 часов.
5.15.Случайная величина Х распределена равномерно на интервале (a; b), М[X] = 6, D[X]=3. Найти плотность распределения СВ Х.
5.16.Минутная стрелка электронных часов двигается рывками в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данный момент часы покажут время, которое отличается от истинного, не более чем на 15 секунд.
47
ê‡Á‰ÂÎ 5
5.17.Вес желтоперого тунца, вылавливаемого ярусом в экваториальной Атлантике, — случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 кг и средним квадратическим отклонением 0,9 кг. Найти вероятность того, что очередной тунец, снятый с яруса, имеет вес не более 70 кг, но не менее 60 кг.
5.18.Рост взрослых мужчин в России является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть ее математическое ожидание равно 175 см, а среднее квадратическое отклонение равно 6 см. Найти вероятность того, что хотя бы один из 5 случайно встреченных мужчин будет иметь рост от 170 до 180 см.
5.19.Для контроля отобрана партия конденсаторов. Отклонение их емкости от номинала распределено по нормаль-
ному закону и не превышает 20 %. Какой процент из них будет иметь отклонение от номинала в пределах от 0 до + 1 %? (Считается, что весь диапазон отклонений равен 3 σ, а математическое ожидание равно 0.)
5.20. Валики, изготовленные станком-автоматом, считаются стандартными, если отклонение диаметра валика от проектного размера не превышает 2 мм. Случайное отклонение диаметра валиков подчиняется нормальному закону со средним квадратичным отклонением σ = 1,6 мм и математическим ожиданием а = 0. Сколько процентов стандартных валиков изготавливает автомат?
48
лОЫ˜‡ИМ˚В ЩЫМНˆЛЛ. лЛТЪВП˚ ‰‚Ыı ТОЫ˜‡ИМ˚ı ‚ВОЛ˜ЛМ
ê ‡ Á ‰ Â Î 6
лгмуДвзхЦ омздсаа. лалнЦех СЗмп лгмуДвзхп ЗЦгауаз
Функция одного случайного аргумента. Если каждому возможному значению случайной величины X соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента X и записывают Y = φ(x).
Если X — дискретная случайная величина и функция
Y = φ(x) монотонна, то различным значениям X соответствуют различные значения Y, причем вероятности соответствующих значений X и Y одинаковы. Другими словами, возможные значения Y находят из равенства.
yi = φ(xi),
где xi — возможные значения X; вероятности возможных значений Y находят из равенства
P(Y = yi) = P(X = xi).
Если же Y = φ(X) — немонотонная функция, то, вообще говоря, различным значениям X могут соответствовать одинаковые значения Y. В этом случае для отыскания вероятностей возможных значений Y следует сложить вероятности тех возможных значений X, при которых Y принимает одинаковые значения. Другими словами, вероятность повторяющегося значения Y равна сумме вероятностей тех возможных значений X, при которых Y принимает одно и то же значение.
49
ê‡Á‰ÂÎ 6
Если X — непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения f(x), и если y = φ(x) — дифференцируемая строго возрастающая или строго убывающая функция, обратная функция которой x = ψ(y), то плотность распределения g(y) случайной величины Y находят из равенства:
g y f ψ y ψ y .
Если функция y = φ(x) в интервале возможных значений X не монотонна, то следует разбить этот интервал на такие интервалы, в которых функция φ(x) монотонна, и найти плотности распределения gi(y) для каждого из интервалов монотонности, а затем представить g(y) в виде суммы:
g y gi y .
Математическое ожидание и дисперсия дискретной функции Y равны
|
|
n |
|
|
n |
|
|
M[Y] = M[φ(x)] = yi pi |
|
φ xi pi ; |
|
||||
|
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
|
2 |
2 |
[φ(x)] = |
n |
2 |
xi pi |
n |
2 |
D[Y] = M[φ |
(x)] – M |
y |
|
φ(xi pi |
) . |
||
|
|
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
Если аргумент X — непрерывная случайная величина, которая задана плотностью распределения f(x), причем возможное значение X принадлежит всей числовой оси, то математическое ожидание функции Y находится по формулам:
M Y M X x f (x)dx;
M[Y] = M[φ(X)] = φ(x)f(x)dx.
Если x (a, b), то M[φ(X)] = b φ(x)f (x)dx.
a
50