Элементы теории вероятностей и математической статистики. Учебно-практическое пособие

лОЫ˜‡ИМ˚В ЩЫМНˆЛЛ. лЛТЪВП˚ ‰‚Ыı ТОЫ˜‡ИМ˚ı ‚ВОЛ˜ЛМ

Дисперсия функции Y равна

Функция двух случайных аргументов

Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y и пишут

Z = φ(X,Y).

Если X и Y — дискретные независимые случайные величины, то для того, чтобы найти распределение функции Z = X + Y, надо найти все возможные значения Z, для чего достаточно сложить каждое возможное значение X со всеми возможными значениями Y; вероятности найденных возможных значений Z равны произведениямвероятностейскладываемыхзначенийX иY.

Пусть X и Y — непрерывные независимые случайные величины, которые имеют плотности распределения f1(x) и f2(y). При этом, если плотность распределения хотя бы одного из аргументов задана на интервале (–∞, ∞), то плотность распределения суммы Z = X+Y может быть найдена по формуле:

g z f1 x f2 z x dx

или по равносильной формуле

g z f1 z y f2 y dy.

x

51

лОЫ˜‡ИМ˚В ЩЫМНˆЛЛ. лЛТЪВП˚ ‰‚Ыı ТОЫ˜‡ИМ˚ı ‚ВОЛ˜ЛМ

начала координат в точку (X, Y), составляющие которого представляют собой случайные величины X и Y. Если составляющие X и Y — дискретные, то двумерная величина является дискретной; если составляющие непрерывны, то — непрерывной.

Законом распределения вероятностей двумерной дискретной случайной величины называют соответствие пар чисел и их вероятностей:

p (хi, yi) (i = 1,2, …, n; j = 1,2, …, m).

Закон распределения может задаваться аналитически или в виде таблицы с двумя входами:

Для того чтобы найти вероятность P(X = xi), требуется просуммировать столбцы xi, P(Y = yj) — вероятности строк yj.

События (X = xi, Y = yj) (i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, m) со-

ставляют полную группу, поэтому сумма вероятностей, размещенных во всех клетках таблицы, равна единице.

Интегральной, или функцией распределения системы двух случайных величин (X,Y), называется вероятность совместного выполнения двух неравенств: X < x и Y < y:

F(x,y) = P((X<x)(Y<y)).

Геометрически F(x, y) интерпретируется как вероятность попадания случайной точки (X, Y) в квадрат с вершиной (x, y), заштрихованный на рисунке:

53

ê‡Á‰ÂÎ 6

функция x и y.

Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в прямоугольник R со сторонами, параллельными осям координат, включающий свою нижнюю и левую границы, но не вклю-

дифференциальной плотностью системы двух случайных величин (X, Y), называется предел отношения вероятности попадания случайной точки в элементарный участок плоскости, примыкающий к точке (x, y), к площади этого участка, когда его размеры стремятся к нулю. Плотность распределения выражается через функцию распределения формулой

f x, y 2 F x, y F x, y .

x y xy

Поверхность, изображающая функцию f(x,y), называется

поверхностью распределения.

54

лОЫ˜‡ИМ˚В ЩЫМНˆЛЛ. лЛТЪВП˚ ‰‚Ыı ТОЫ˜‡ИМ˚ı ‚ВОЛ˜ЛМ

Элементом вероятности для системы двух случайных величин называется величина f(x, y)dxdy, приближенно выражающая вероятность попадания случайной точки (X, Y) в элементарный прямоугольник со сторонами dx, dy, примыкающий к точке (x, y).

Вероятность попадания случайной точки (X,Y) в произвольную область D выражается формулой

P((X,Y) D) f(x,y)dxdy.

(D)

Свойства плотности распределения:

1. f(x, y) 0.

2. f x,y dxdy 1.

Функция распределения системы выражается через плотность распределения формулой

x y

F(x,y) f(x,y)dxdy

(интегрирование производится сначала по y, а потом по x). Плотности распределения отдельных величин, входящих в

систему, выражаются через плотность распределения системы формулами

Условным законом распределения случайной величины,

входящей в систему, называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение.

Условные функции распределения случайных величин X и Y, входящих в систему, обозначаются F1(x|y) и F2(y|x), а условные плотности распределения — f1(x|y) и f2(y|x).

55

лОЫ˜‡ИМ˚В ЩЫМНˆЛЛ. лЛТЪВП˚ ‰‚Ыı ТОЫ˜‡ИМ˚ı ‚ВОЛ˜ЛМ

темы (X,Y) была равна произведению плотностей распределения составляющих

f(x, y) = f1(x) · f2(y).

Числовые характеристики системы двух случайных величин

Начальным моментом νk,s порядка k + s системы (X, Y)

называется величина

νk,s[X,Y] M[Xk Ys].

Центральным моментом порядка k + s системы (X, Y) называется математическое ожидание произведения отклонений соответственно k-й и s-й степеней

μk,s M [X M(X)]k[Y M(Y)]s .

Расчетные формулы для определения моментов

Для дискретных случайных величин

νk,s[X, Y] xik ysj pij ; i j

μk,s X,Y xi M X k yj M Y s pij ,

i j

где pij = P((X = xi)(Y = yj)).

Для непрерывных случайных величин

νk,s[X, Y] xk ysf(x,y)dxdy;

μk,s[X,Y] (x M(X)k (y M[Y])s)f(x,y)dxdy,

где f(x, y) — плотность распределения системы.

57

лОЫ˜‡ИМ˚В ЩЫМНˆЛЛ. лЛТЪВП˚ ‰‚Ыı ТОЫ˜‡ИМ˚ı ‚ВОЛ˜ЛМ

→Пример 6.1

Случайная величина X имеет распределение

Тогда

M[x] xi pi 1 0,5 1 0,5 1;

D[xn ] M[(xn )2] M2[xn ] M[xn M(xn )]2 ;

D[xn ] (1 1)2 0,5 (1 1)2 0,5 0.

Пусть n — нечетное; т. е. n = 2k+1.

Тогда

M[x] xi pi 1 0,5 ( 1) 0,5 0;

D[xn ] (1 0)2 0,5 ( 1 0)2 0,5 0,5 0,5 1.

59