Электрические цепи с периодическими несинусоидальными токами и напряжениями. Учебное пособие

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

В. А. АКСЮТИН

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫМИ ТОКАМИ И НАПРЯЖЕНИЯМИ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК

2022

1

1.НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ И ТОКИ

Вэлектротехнике, а особенно в радиотехнике, автоматике, измерительной и вычислительной технике часто существуют режимы, когда в обычной линейной цепи действуют независимые периодические источники ЭДС и тока разной формы, а в цепи протекают несинусоидальные периодические токи.

Например, в цепях после выпрямителя всегда присутствуют составляющие постоянного и переменного тока. В автоматике и телемеханике используютсягенераторысигналов, отличающиесяотсинусоид(рис. 1). Даже в промышленной сети переменного тока всегда есть источники не только промышленной частоты 50 Гц, но и более высоких частот.

В принципе несинусоидальные токи в цепи возникают в следующих случаях:

когда сам источник вырабатывает несинусоидальные ЭДС или

токи;

когда в цепи есть нелинейные элементы;

когда в цепи есть элементы с медленно изменяющимися парамет-

рами R(t), L(t), C(t).

5

Рассмотримслучай, когдавцепиимеютсянесинусоидальныйисточник f (t) с периодом сигнала Т (рис. 2).

f

Fm

t

T

Рис. 2

Явления, возникающие в линейной цепи с такими источниками, исследуютсприменениемразложениянесинусоидальнойкривойЭДСили тока на сумму составляющих, представляемых рядом Фурье.

6

2. РАЗЛОЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ В РЯД ФУРЬЕ

Исследуемые в электротехнике периодические несинусоидальные токи, напряжения, ЭДС, магнитные потоки, удовлетворяющие условиям Дирихле, могут быть представлены в виде дискретного гармонического ряда Фурье–Эйлера:

или в виде суммы синусных и косинусных составляющих:

7

значение функции f ( t) за период (постоянная составляющая или нулевая гармоника); fk (k t) Fkm sin (k t k ) – гармоническая состав-

ляющая (k – номер гармоники), для k = 1 первая гармоника называется основной, таккакимеетпериод, равныйпериоду исследуемогосигнала; гармоники с номером k > 1 имеют частоту, кратную основной, и назы-

ваются высшими гармониками; Fkm и k – амплитуда и начальная фаза k-й гармоники; Bkm и Ckm – амплитуды синусной и косинусной состав-

ляющих k-й гармоники.

Несинусоидальные функции могут иметь геометрически правильную форму, тогда их нетрудно описать аналитическими выражениями.

Если функция обладает каким-либо видом симметрии, то ее разложение в ряд облегчается, так как или отсутствуют некоторые составляющие, или можно исследовать не весь период, а лишь полпериода или даже его четверть.

Например, если периодическая функция симметрична относительно начала координат, то отсутствуют косинусные составляющие; у функции, симметричной относительно оси ординат, равны нулю синусные составляющие; а функция, симметричная относительно оси абсцисс, не содержит четных гармоник.

Свойство функций, которые упрощают запись ряда Фурье (2), представлены в табл. 1.

Аналитическое разложение некоторых характерных функций приводится в табл. 2 или в справочниках по математике и электротехнике [1].

При экспериментальных исследованиях кривые токов или напряжений получают в виде таблиц или осциллограмм. В этом случае разложениеврядФурьеполученных зависимостейможновыполнитьграфоаналитическим (метод Пери) или графическим способом (метод Роте) с использованием замены интегралов суммой конечного числа слагаемых. Период функции при этом разбивают на n = 18, 24 или 36 интервалов:

Δωt = 2π/n.

8

Таблица 1

9

Окончание табл. 2

Графоаналитический метод (метод Перри)

КоэффициентырядаФурьенаходятпоприближеннымвыражениям:

10