Электрические цепи с периодическими несинусоидальными токами и напряжениями. Учебное пособие

Графический метод (метод Роте)

Метод базируется на представлении синусоидальных функций комплексными числами.

Рассмотрим ряд Фурье (1) и (6). Представим амплитуду Fkm комплексным числом с учетом (8) и (9), получим:

Пример разложения в ряд Фурье

Пусть ЭДС представляет прямоугольные импульсы с амплитудой 10 B и частотой 50 Гц, одинаковыми длительностью и паузы импульса (кривая 1, рис. 3).

Нарис. 3 представленоразложениеврядФурьепериодическогосигнала в виде прямоугольных импульсов амплитудой E0 = 10 B, частотой

f = 50 Гц.

Определим коэффициенты ряда:

11

или

e (t) 5 6,37sin( t) 2,12 sin(3 t) 1,27sin(5 t) .

На рис. 3 приняты следующие обозначения: кривая e(t) – исходный импульс; кривая F0 5 – постоянная составляющая (0-я гармоника); кривые e1( t), e3 (3 t), e5 (5 t) – соответственно 1-я, 3-я

12

и 5-я гармоники; кривая e (t) – суммарная кривая, построенная как

суммакривых0, 1, 3 и5 гармоник. Количествогармоник, которыепринимаются для расчета, определяют точность разложения в ряд Фурье.

Рис. 4

Для удобства представления гармонического анализа служит дис-

кретный частотный спектр сигнала, который является графическим изображением амплитуд и начальных фаз гармоник в виде вертикальных линий откладываемых по оси Y. Длина линий пропорциональна амплитуде или фазе гармоники, а начало линий, находится на оси X, по которой откладываются номера гармоник. Амплитуда первой гармоники принимается за 100 %, а остальные берутся в процентах к ней. На рис. 4 представлен дискретный частотный спектр сигнала в виде периодических прямоугольных импульсов.

13

Интегралотквадратасуммывыводитсявматематикеипредставляет собой сумму квадратов действующих значений всех гармоник, включая нулевую. Таким образом, определится действующее значение:

причем F не зависит от начальных фаз гармонических составляющих. Коэффициенты, характеризующие несинусоидальные функции:

искажения:

Kдействующее значение первой гармоники сигнала ;

идействующее значение сигнала

гармоник:

Kдействующее значение высших гармоник .

гдействующее значение первой гармоники

Коэффициенты для синусоидальной функции:

Понятие об эквивалентных синусоидах

Под эквивалентной синусоидой несинусоидальной функции понимают синусоиду, действующее значение которой равно действующему значению несинусоидальной функции, а частота равна частоте основной гармоники.

15

Примечание. Не всякую несинусоидальную функцию целесообразно представлять эквивалентной синусоидой. Это допустимо, если коэффициент

формы близок к величине, характерной для синусоиды Kф 1,11.

Понятие эквивалентная синусоида будет использоваться для приближенного расчета цепей с нелинейной индуктивностью и емкостью, чтоупрощаетрасчет, позволяетвестиеговкомплекснойформе, строить векторные диаграммы и т. д.

16

В отличие от цепей синусоидального тока здесь

Sнесин2 P2 Q2 .

Разность мощностей называется мощностью искажения:

T 2 S2 – (P2 Q2 ).

Для цепей несинусоидального тока, также существует понятие ко-

эффициента мощности. Только в этом случае его обозначают , а определяют как отношение

cos PS .

Угол φ – это условный угол сдвига по фазе между током и напряжением. Он имеет смысл только при одинаковой частоте u(t) и i(t), например для эквивалентных синусоид тока и напряжения.

Ваттметровый способ измерения гармоник тока

Выражение (11) показывает, что активная мощность является суммой мощностей, рассчитанных от каждой гармоники в отдельности. В ваттметре также происходит электромагнитное взаимодействие гармоникнапряженияитокаодинаковыхчастот. Наэтомсвойствеоснован экспериментальный ваттметровый способ измерения гармонического состава несинусоидального тока i(t) (рис. 5).

Рис. 5

Для измерения гармонического составатока i(t) используется звуковой генератор (ЗГ), который генерирует синусоидальное напряжение

18

uЗГ( t) определенного диапазона частот. Это напряжение подается на

обмотку напряженияваттметра. Токоваяобмоткаваттметравключается вцепьисследуемогонесинусоидальноготока. Еслиплавноизменятьчастоту генератора и устанавливать ее равной частое гармоники – kω, то стрелка ваттметра будет плавно отклоняться и ее максимальное отклонение покажет активную мощность k-й гармоники:

РW(k) UЗГ(k) I (k)cos j(k) .

19