Электрические цепи с периодическими несинусоидальными токами и напряжениями. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

(5000 986 25) j(2826 5 3185 / 5)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

– для k-й гармоники:

X (k)

k L

kX (1)

k62,8;

X (k) k L

kX (1)

k31,4;

(k)

(1)

k31,4;

(k)

XC(1)2

63,7

;

k M kXM

XC2

k C2

– составим формулы для расчетов комплексных токов и мощностей по k-й гармонике.

Расчет токов по законам Кирхгофа (рис. 12, б):

I1(k) (R1 jXL(k1) ) I (2k) jXM(k) E(k) ;I1(k) jXM(k) I (2k) (R2 jXL(k2) jXC(k2) ) 0.

Запишем эту систему в матричной форме:

R jX (k)

jX (k)

(k )

E(k)

jX (k)

R jX (k)

jX (k)

(k )

50 + jk62,8

jk31, 4

I1(k )

jk31, 4

20 jk31,4 j

63,7

I (2k )

(k )

(50

jk62,8)

20 jk31,4

63,7

( jk31,4)( jk31,4)

	2826k	3185	;
(5000 968k2 ) j	2826k	k	;
		k

(k ) 45		20 jk31,4 j	63,7	900	j	1413	2867	;
11	k		k	k			k2
	k		k	k			k2

(22k) 45k ( jk31,4) j1413.

–первая гармоника k = 1:

	(1)	(1)	900 j(1413 2867)			900 j1454
I	1	11
		(1)	(5000	986)	j(2826 3185)	4013,8	j358,5

			0, 254 j0,349 0, 423 53 A;
	(1)	(1)	j1413	j1413
I	2	22
I		(1)	(5000 986) j(2826 3185)	4013,8 j358,5
		(1)	(5000 986) j(2826 3185)	4013,8 j358,5

0,031 j0,349 0,35 95,1 A;

–третья гармоника k = 3:

I (3)	11(3)		300 j(1413 318,6)	300 j1094,4
1		(3)	(5000 8874) j(8478 1061,7)	3874 j7416,3
		(3)	(5000 8874) j(8478 1061,7)	3874 j7416,3
			0,0993 j0,0923 0,138 43 A;
I (3)		(3)	j1413	j1413
		22
		(3)	(5000 8874) j(8478 1061,7)	3874 j7416,3
2		(3)	(5000 8874) j(8478 1061,7)	3874 j7416,3

0,15 j0,0782 0,169 27,5 A.

– пятая гармоника k = 5:

I (5)		(5)
I (5)	11
1		(5)
		(5)
900 / 5 j(1413 2867 / 25)			180 j1298,3
(5000 986 25) j(2826 5 3185 / 5)			19650 j13493
(5000 986 25) j(2826 5 3185 / 5)			19650 j13493

0,0246 j0,0492 0,055 63,4 A;

0,0336 j0,0489 0,0593 55,5 A.

3.Mгновенные значения токов i1(t) и i2 (t) .

i1(t) 1 0,423		2 sin ( t 53 ) 0,136 2 sin (3 t 43 )
		0,055 2 sin (5 t 63 ) A;
i2 (t) 0,35	2 sin ( t 95 ) 0,169 2 sin 3( t 27,5 )

0,0593 2 sin 5( t 55,5 ) A.

4.Показание амперметра A2 .

Амперметр A2 показывает действующие значения тока:

IА2	(I2(1) )2 (I2(3) )2 (I2(5) )2 =

=(0,35)2 (0,169)2 (0,0593)2 0,393 A.

5.Показание ваттметра:

PW PW0 PW(1) PW(3) PW(15 E0 I 0 E(1) I (1) cos 0 1(1)

E(3) I (3) cos 0 1(3) E(5) I (5) cos 0 1(2)

50 45 0,423cos(53) 15 0,136cos(43) 9 0,055cos(63)

50 20,5 1,49 0,22 72,2 Вт.

Пример 3

На вход схемы, изображенной на рис. рис. 13, подается напряжение:

u1(t) = 10 + 5 sin (1000t) + 2 sin (5000t) В.

Параметры: R = 1 кОм, L = 0,04 Гн.

Найти значения C1 и C2 , которые обеспечивают напряжения на вы-

ходе: u2 (t) = 5sin (1000t) В.

Решение

Схема, показанной на рис. 13, представляет собой частотный фильтр, пропускающий в нагрузку сигнал частоты первой гармоники и задерживающийпостояннуюсоставляющуюисигналпятойгармоники.

C1 C2

Рис. 13

1.Постоянная составляющая не пропускается в нагрузку конденсатором C1.

2.Если настроить параллельный контур L / С2 в резонанс токов на

пятойгармонике, тосопротивлениеконтурабудетравнобесконечности, ивнагрузкенапряжениепятойгармоникибудетотсутствовать. Изэтого

условия можно определить величину емкости С2 :

XL(1) L 1000 0,04 40 Ом;

	(1)				X (1)
j5X	(1)		j		C 2
j5X	L		j	5
	L			5
						;
j5X L(1)		j		XC(1)2		;
j5X L(1)		j		5
				5

	j5X L(1)	j	XC(1)2	0;
	j5X L(1)	j		0;
		5
XC(1)2 25XL(1) 100 Ом;
С	1	10 6 Ф 1 мкФ.
С	XC(1)2	10 6 Ф 1 мкФ.
2	XC(1)2

3. Если настроить фильтр С1, L / С2 в резонанс напряжений на

первой гармонике, то сопротивление контура будет равно нулю, и в нагрузку напряжение первой гармоники будет передаваться полно-

стью. Из этого условия можно определить величину емкости С1:

jXC(1)1

jX L(1)

jXC(1)2

jXC(1)1

j40( j1000)

jX L(1) jXC(1)2

j40 j1000

jXC(1)1

j40( j1000)

j 40000

j41,6 Ом;

j40 j1000

960

24 10 6 Ф 24 мкФ.

XC(1)1

1000

41,67

Пример 4

На вход цепи (рис. 14) подключен источник несинусоидального напряжения (рис. 15):

sin ( t)

0 t T / 2,

u(t)

T / 2 t T.

u(t)

ЭО

Рис. 14

В
150	u(t)
100	u(t)
100
50
		t
0		с
–50 0	0,01	0,02
	Рис. 15

Напряжение имеет амплитуду Um = 100 B, частоту f = 50 Гц, ω = = 2πf = 314 рад/c и период Т = 1/f = 0,02 c. Параметры элементов цепи:

R = 20 Oм, L1 = 0,2 Гн, С = 50 мкФ.

Определить показания PW – ваттметра электродинамической системы, IA – амперметра и UV1,UV 2 – вольтметров электромагнитной

системы.

Построить график напряжения на емкости по четырем гармоникам, включая нулевую гармонику.

Решение

1. Функцию входного напряжения u(t) (рис. 15) разложим в ряд Фурье [1]. Ограничимся четырьмя гармониками (рис. 16):

u(t) Um	Um sin ( t)	2Um	cos(2 t)	2Um cos(4 t) ... ,

	2	3		15
или
u(t) U0	U1m sin ( t) U2m cos(2 t) U4m cos(4 t) ...,

u(t) 31,8 50sin ( t) 21,2cos(2 t 90 ) 4,24cos(4 t 90 ) В.

2. Расчет проводим методом наложения от каждой составляющей напряжения в отдельности.

Расчет от постоянной составляющей (нулевой гармоники) U0 =

=31,8 B выполняется так же, как для цепей постоянного тока.

В u(t)			u(t) = U0+u1( t)−u2(2 t)−u4(4 t)
100			u(t) = U0+u1( t)−u2(2 t)−u4(4 t)
			u1( t) = 50 sin( t)
50			U0 =31,8
			U0 =31,8
					t
	0	u2(t) =−21,2 sin(2 t)			с
		u2(t) =−21,2 sin(2 t)
–50	u4( t) = −4,24 sin(4 t)
–50	0	0,005	0,01	0,015	0,02
	0	0,005	0,01	0,015	0,02
			Рис. 16
Схема для расчета показана на рис. 17
Составляющие в показаниях приборов для k = 0:

U 0

31,8 B ;

I 0

0 A ;

P0 U 0I 0

0 Вт.

X L0 = 0

I0 = 0

XC0

UV0 2

Рис. 17

Для нулевой гармоники: k = 0,

XL0 0, L 0;

XC0

0 C

Расчет цепи для гармоник k = 1, 2 и 4 проводим символическим методом. Особенностью расчетов является то, что реактивные сопро-

тивления X L и XC зависят от номера гармоники:

(k )	(1)		(k )	1	XC(1)	.
X L	k L kX L	;	XC
				k C	k

Схема для расчета показана на рис. 18.

I k	R	jX L(k )
U k		jXC(k )
U k		jXC(k )

Рис. 18

Формулы для расчета:

Z(k) R jXL(k) jXC(k) ;	I (k )	U	(k )	;	UV(k2) I(k) ( jXC(k) ) .

		Z (k )

Расчет цепи для первой гармоники k = 1:

2 f 314 рад/c;

XL(1) 1 L 314 0,2 62,8 Ом;						XC(1)	1	106	63,7 Ом;
XL(1) 1 L 314 0,2 62,8 Ом;						XC(1)	1 C	314 50	63,7 Ом;
							1 C	314 50
Z(1) R jXL(1) jXC(1) 20 j62,8 j63,7 20 j0,9 Ом;
			U (1)	Um(1)		0 35,4 B;
					2
I (1)	U	(1)	35,4		1,77 j0,0795 1,76 2,58 A;
			35,4
			20 j0,9
	Z (1)		20 j0,9

UV(1)2 I(1) ( jXC(1) ) 1,76 2,52 63,7 90112,1 87,48 B;

uV(1)2 ( t) 112,1 2 sin( t 87,48 ) 158,5sin ( t 87,48 )B.

Составляющие в показаниях приборов для k = 0:

UV(1)1 U (1) 35,4 B; UV(1)2 112,1 B ; IA(1) 1,76 A ;

PW(1) Re U (1) IA(1) Re{35,4 1,76 2,56 }

35, 4 1,76cos ( 2,56) 62, 2 Вт.

Расчет цепи для второй гармоники k = 2:

XL(2)

2XL(1)

2 62,8 125,7 Ом;

(2)

XC(1)

63,7

31,85 Ом;

Z (2) R jX L(2) jXC(2)

20 j125,6

j31,85 20 j93,75 Ом;

U (2) Um(2)

21,2

90 j15 B;

I (2) U (2)

j15

0,153 j0,0327 0,156 168 A;

20 j93,75

Z (2)

UV(2)2 I (2) jXC(2) 0,156 168 31,85 90 4,97 258 B;

uV(2)2 (2 t) 4,97 2 sin (2 t 258 ) 7,03sin (2 t 256 ) B.

Составляющие в показаниях приборов для k = 2:

U	(2)		U (2)	15B		; U (2)	4,97 B ; I (2)	0,156 A ;
	V1	Re U (2)				V 2	A
P(2)						Re{15 90 0,156 168 }
P(2)					I (2)	Re{15 90 0,156 168 }
W					А

15 0,156cos (78 ) 0,487 Вт.

Расчет цепи для четвертой гармоники k = 4:

XL(4) 4XL(1) 4 62,8 251,2 Ом;

(4)

XC(1)

63,7

15,925 Ом ;

Z(4) R jXL(4)

jXC(4)

20 j251,2

– j15,925 20 j235,3 Ом;

U (4)

Um(4)

90 4,24

90 j3 B;

U (4)

I (4)

0,0127 j0,00108 0,0127 175 A;

20 j235,3

Z (4)

UV(4)2

I (4) jXC(4) 0,0127 175 15,9 90 0, 202 265 B;

uV(4)2 (4 t) 0,202 2 sin(4 t 265 ) 0,286sin(4 t 265 ) B.

Составляющие в показаниях приборов для k = 4:

UV(4)1 U (4) 3 B; UV(4)2 0,202 B ; IA(4) 0,0127 A ;

PW(4) Re U (4) I*(4)А Re{3 90 0,0127 175 }

3 0,0127cos(85 ) 0,00332, Вт.

3.Показания приборов:

UV1	UV(0)1	2	UV(1)1 2	UV(2)1	2 UV(4)1	2
	31,82 35,42 152 32				50 B;
UV 2	UV(0)2	2	UV(1)2 2	UV(2)2	2 UV(4)2	2

31,82 112,12 4,972 0,2022 116,6 B;

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]