Электрические цепи с периодическими несинусоидальными токами и напряжениями. Учебное пособие

Граничные частоты можно приближенно определить по соотношениям

Анализ свойств фильтра можно проводить в следующем порядке:

‒определяется гармонический состав входного сигнала;

‒рассчитываются АЧХ и ФЧХ фильтра;

‒по АЧХ и ФЧХ фильтра и гармоническому составу входного сигнала определяется гармонический состав выходного сигнала:

– погармоникамстроитсяграфиквыходногонапряжения, определяетсясреднееидействующеезначениевыходногосигнала, атакжекоэффициенты формы, амплитуды и искажения.

52

при k = 3n + 1 (k = 1, 4, 7,…) гармоники трех фаз образуют симметричную систему напряжений, последовательность которой совпадает с последовательностью фаз первой гармоники. Такая система ЭДС трехфазного генератора образует систему векторов ЭДС прямой последовательности с порядком чередования фаз А, B, С и углом сдвига фаз между ними, равным ±120° (рис. 27, б);

при k = 3n + 2 (k = 2, 5, 8,…) гармоники образуют симметричную систему напряжений споследовательностью, обратнойосновной. Такая система ЭДС трехфазного генератора образует систему векторов ЭДС обратной последовательности с порядком чередования фаз А, С, B и углом сдвига фаз между ними равным ± 120° (рис. 27, в).

При наличии постоянной составляющей в напряжении каждой из фаз она может рассматриваться как нулевая гармоника порядка, кратного трем (k = 0), т. е. как образующая нулевую последовательность.

На практике в большинстве случаев в напряжениях отсутствуют как постоянная составляющая, так и все четные гармоники, поэтому в дальнейшем ограничимся исследованием только нечетных гармоник.

Наиболеечасто присутствуют вразложениикривой ЭДСгармоники k = 1, 3, 5:

eА E1msin ( t A1) E3msin 3( t A3 ) E5msin 5( t A5 ) ; eB E1msin ( t A1 –120 ) E3msin 3( t A3 –120 )E5msin 5( t A5 –120 ) ;

eC E1msin ( t A1 120 ) E3msin 3( t A3 120E5msin 5( t A5 120 ) .

Если положить A1 A3 A5 0 и преобразовать полученную

систему, то получим систему, представленную в табл. 4. Расчет выполняется в три этапа.

1.Представление заданного несинусоидального напряжения фазы А

ввиде набора гармоник рядом Фурье:

eА(t) EA(0) e(1)A (t) e(2)A (t) e(3)A (t)

54

55

2.Расчет трехфазной цепи методом наложения составляющих токов

инапряжений от каждой гармоники.

Расчет для нулевой гармоники выполняется так же, как для цепей постоянного тока. Для нулевой гармоники k = 0:

Расчетцепидляосновнойивысшихгармоникпроводитсякакидля линейной цепи синусоидального тока – символическим методом, с учетом того, что гармоники образуют различные системы векторов ЭДС:

k = 3n – система ЭДС трехфазного генератора образует систему векторов ЭДС нулевой последовательности (рис. 28, а);

k = 3n + 1 – система ЭДС трехфазного генератора образует систему векторов ЭДС прямой последовательности (рис. 28, б);

k = 3n + 2 – система ЭДС трехфазного генератора образует систему векторов ЭДС обратной последовательности (рис. 28, в).

Особенностью расчетов является то, что реактивные сопротивления X L и XC для разных гармоник будут различны:

3. Записьрезультирующихмгновенныхзначений i(t), u(t) ипостро-

ение графиков. Определение постоянных составляющих, действующих значений, показания приборов, а также коэффициентов, характеризующих несинусоидальные токи и напряжения.

Рассмотрим различные схемы соединения фаз генератора трехфазных цепей.

Если фазы генератора соединены звездой (рис. 28, а), то при несинусоидальном фазном напряжении линейные напряжения u(ABk) , uBC(k) ,

uCA(k) , равные разностям напряжений двух смежных фаз, не содержат

гармоник напряжений порядка, кратного трем, так как последние образуют системы нулевой последовательности (см. рис. 27, а).

Отсутствие гармоник порядка, кратного трем, в линейных напряжениях приводит к тому, что при несинусоидальных напряжениях соотно-

шение между линейным и фазным напряжением меньше 3 .

56

57

При симметричной нагрузке фазные токи основной частоты и все высшие гармоники, за исключением высших гармоник порядка, кратного трем, образуют системы прямой и обратной последовательностей и дают в сумме нулевое значение. Гармоники же порядка, кратного трем, образуют систему нулевой последовательности, т. е. имеют в любой момент одинаковые значения и направления. Поэтому ток в нейтральном проводе равен утроенной сумме токов высших гармоник нулевой последовательности:

IN 3 I32 I92 I152

Приотсутствиинейтральногопроводатокивкаждойизфазнемогут содержать высших гармоник порядка, кратного трем, так как в этой схеме сумма токов в любой момент должна равняться нулю, что невозможно при наличии высших гармоник порядка, кратного трем. В связи с этим на зажимах приемника отсутствуют напряжения нулевой последовательности, а между нейтральными точками генератора и симметричного приемника существует напряжение, содержащее только гармоники, кратные трем.

Если фазы генератора соединены треугольником (рис. 28, б), то при несинусоидальных ЭДС в фазах сумма ЭДС, действующих в замкнутом контуре генератора, не равна нулю, как при синусоидальных ЭДС, а равна тройной сумме высших гармоник порядка, кратного трем. Если включить вольтметр в рассечку треугольника (рис. 28, в), то вольтметр измерит гармоники ЭДС порядка, кратного трем, так как остальные в сумме равны нулю, т. е.

UV 3 E32 E92 E152 .

Открытый треугольник с ЭДС, содержащими высшие гармоники, применяется в генераторах, создающих напряжение тройной частоты.

Если фазы соединены в замкнутый треугольник (рис. 28, б), то ЭДС гармоник порядка, кратного трем, вызывают внутренний ток в генера-

торе Iг(k ) . Этот ток протекает в замкнутом треугольнике генератора даже в режиме холостого хода генератора:

E(k ) I (гk ) Z ф(гk ) .

58

Линейные напряжения для гармоник, кратных трем, равны нулю: u(ABk) uBC(k) uCA(k) 0 , таккаконикомпенсируютсяпадениемнапряжения

на внутреннем сопротивлении фаз генератора Z(гk) . Линейное напряжение в данном случае

Поэтомувовнешнейцепи, подключеннойкгенератору, обмоткикоторого соединены треугольником, токи не содержат гармоник порядка, кратного трем.

Фазный ток генератора при симметричной нагрузке

Iф 3 I12 I32 I52 I72 ,

а линейный ток во внешней цепи

Примеры расчета трехфазных линейных цепей с несинусоидальными источниками

Пример 1

Дана трехфазная линейная симметричная цепь (рис. 29). Сопротивление линейных проводников R = 50 Ом, сопротивление

нулевогопровода R0 = 70 Ом, индуктивностьпервой, соединеннойзвез-

дой симметричной нагрузки L = 0,05 Гн, емкость второй, соединенной треугольником симметричной нагрузки, C = 5 мкФ.

В цепи действует симметричный трехфазный источник несинусоидального напряжения. ЭДС фазы A eA (t) представлена на рис. 30:

Определить для замкнутого и разомкнутого положения ключа:

1)мгновенные значения напряжения uС(t) ; построить графики uС(t) по 1, 3 и 5-й гармоникам;

2)показания вольтметров и амперметров электромагнитной системы и ваттметра электродинамической системы.

59