Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Физика конденсированного состояния

Файл:

Tekst_lekcij_7_s

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

(т.к.

js1

, f

ljs1 f

ss1

- условие ортонормированности и суммирование по s1 теперь

lj ljs1

проводится легко) - таким образом, кинетическая энергия выражается в виде линейной комбинации всех возможных состояний , и мера состояний есть q2 . Т.е. показывает

долю, которую вносит функция, коэффициентом перед которой стоит это q в разложении по состояниям.

Вклад потенциальной энергии, связанный со смещением атомов :

Ajj1

n n1 ujnuj1n1

M jujnu jn

{сравнение с видом Т, те же

2 jj

2 jn

nn1

выкладки}…

(т.к.

jj1

j1n1

n n

j n

- уравнение движения).

Mu jn

Ajj1

n1 u j1n1

j1n1

Объединим полученные выражения ; тогда получим полную энергию.

e i t

;

e i t

;

i q

;

E T U

i q

2q 2q

q q

q q q

q q

Q Q Q Q

(Здесь в сумме по s, f

заменим

на f

). Экспоненты дают 1, т.к.

отличаются знаком показателя.

Таким образом, полная энергия колеблющихся атомов есть совокупность энергий осцилляторов с собственными частотами колебаний, представленность которых определяется величиной Q2 . Мы получили выражение для энергии, не зависящее от законов коммутации операторов Q (в будущем мы введем необходимые законы). С

классической точки зрения мы получили сугубо положительную величину.

x , p предположим

Заменим

;

вещественными.

Теперь запишем энергию через операторы x и p

						p				1 2
			1			p	2	p2		1 2
E	2	2	1		x2						x2	, (где	- энергия
E	2	2			x2		2				x2	, (где	- энергия
		4					2		2 1	2
		4		2					2 1	2
				2

классического гармонического осциллятора с массой 1). Таким образом, энергия произвольного кристалла представляет совокупность энергий независимых классических гармонических осцилляторов (общее свойство).

s f dg N

“Индивидуальность” кристалла заключается в наборе частот:

(где C f содержит массы и силовые взаимодействия).

jj1

Число осцилляторов есть полное число степеней свободы.

(уравнение Гамильтона; , p -

канонически – сопряженные переменные).

Лекция 8.

Квантование колебаний атомов. Фононы. Оператор смещения и его матричные элементы. Средний квадрат смещения атома.

Перейти к квантовому гамильтониану можно простой заменой x, p на квантовые

операторы :

p , x

E H

; n 0,1,2,....,

;

Собственная функция

;

n !

где x0

Вычислим матричные элементы операторов координат и импульса:

s n

s ,n 1

s n

s ,n

s ,n 1

эти операторы - околодиагональные.

Это означает, что их средние значения по состояниям с заданными числами заполнения возбуждений равны нулю.

Расстояние между любой парой уровней = ; нулевой уровень (основное состояние) -

- выражение принципа неопределенности.

Введем новые операторы

| n 1

(поглощение (уничтожение) одного кванта)

n 1

(рождение кванта).

Энергия может меняться только в меру одного кванта)

s | b | n

s | n

s ,n 1

s ,n

1 s ,n 1

s | b | n

1 s | n

1 n

s ,n

Тогда

x x0

s ,n

b ;

Мы проквантовали классическую систему и перевели описание

b b

на язык операторов рождения и уничтожения, т.е. воспользовались аппаратом вторичного квантования.

b b

b b b b

Подействуем b

на

| n

n b

n | n

0,1,...,

b | n

| n

n | n

- число квантов.

b b - диагонален ; n

“запасенных” тым осциллятором.

b b - оператор числа квантов,

Аналогично, действуя оператором

на состояние,

определенное. оператором b

получаем :

b b | n n 1 n 1 | n 1 1 n 1 | n

Вычтем отсюда предыдущий результат ;

b b

b b b b 1

b b

1 N

1 2N

H |

H | n

| n

n |n

- гамильтониан квантовых колебаний кристалла ;

- квант энергии колебаний атома.

Это коллективные колебания j,n . Кванты коллективных колебаний называются фононами.

			1
			1
H	H	N		, N	b b
			2
			2

Мы представили гамильтониан как сумму вкладов операторов числа квазичастиц

(квантов). Нельзя поставить эксперимент по “отлавливанию” фонона; но мы имеем возможность описывать колебания кристалла на языке, подобном языку описания квантового поля.

возможно ли описать всю систему осцилляторов единым уравнением

H ?

Шредингера?

, 1 пробегают один и тот же ряд значений.

Таким образом, волновой функции n

отвечает

, и стационарное уравнение Шредингера для

вполне уместно.

| n1,n2 ,....,ngdN

| n , здесь

n 0,1,2,..., .

(классическое выражение квантовый оператор)

Получим явный вид операторов ? .

коэффициенты разложения атома по набору собственных смещений в

кристалле. Теперь получим явное выражение для оператора смещения

ifn i t

u jn

lj e

2NM

Пусть начальное и конечное состояния совпадают;

| n

0 !!!

| ujn

ujn

ifn i t

n ,n

| n

1| u

2NM

ifn i t

lj e

отличается от n изменением только в одном осцилляторе (с номером ) – там n

увеличилось или уменьшилось на 1. Возникла плоская бегущая волна смещения

(изменение состояние первого осциллятора на 1 квант порождает отклик во всех атомах).

Все атомы : j,n - произвольные.

Итак, каждый фонон есть квант упругого смещения всех атомов как системы (единого ансамбля). Любое движение атома в твердом теле может быть представлено как сумма колебаний с разрешенным набором частот и определенными соответствующими амплитудами. Колебания характеризуются средним квадратом смещения;

ujn u jnujn

n ,| ujn ujn |

ifn i t

| n

1 n | lj e

lj e

2NM

2 ifn

i t

ifn i t

lj lj e

| b b

| n

n | b b

| n

2NM

0 n |n 2

ifn i t

| n l

| n

n | b b

n 1

0 n |n 2

2NM

n 0,1,...,

Видим, что, если даже все осцилляторы находятся в основном состоянии (в n равны

нулю), есть вклад нулевых колебаний. Т.е. каждый атом “ощущает”, что он является носителем квантовой информации (на это прямо указывает множитель ). Средний квадрат смещения не может быть меньше значения, определяемого нулевыми колебаниями.

E H (n 1) - все зависит от n .

Лекция 9.

Термодинамика колеблющегося кристалла. Тепловая энергия и теплоёмкость. Температурное поведение теплоёмкости. Дебаевское приближение. Уравнение состояния.

В твердых телах атомы обычно колеблются вблизи их положения равновесия. В

кристаллических телах наблюдается дальний порядок в расположении атомов в соответствии с симметрией кристаллической решетки, а в аморфных – только ближний порядок. В жидкостях тоже имеется ближний порядок в расположении атомов, но положение атомов не фиксировано ( они относительно легко могут переходить с места на место).

Таким образом, характерными свойствами конденсированных тел являются сильное взаимодействие составляющих их частиц и небольшие смещения частиц от некоторых равновесных положений, обусловленные тепловым воздействием. Подчеркнем,

что именно этими двумя качествами конденсированные среды отличаются от газов. В

газах взаимодействие частиц мало по сравнению с энергией теплового кинетического движения. Кроме того, частицы свободно перемещаются в пространстве не задерживаясь ни в каких положениях.

Для начала будем рассматривать аморфные, точнее, изотропные тела. То есть такое вещества, в которых нет выделенных направлений. В этом смысле поликристаллическое вещество также можно считать изотропным, если рассматриваются процессы, для которых характерные размеры больше размеров отдельного кристаллита. Так как большинство естественных и искусственных сред являются поликристаллическими, то получаемые ниже результаты могут иметь достаточно широкие применения.

Случай низких температур

Для аморфных или поликристаллических тел можно написать



F N 0 T ln 1 e T				,

где суммирование производится по всем 3N степеням свободы.

Рассмотрим случай низких температур. Характерная энергия тепловых колебаний атомов T . Низким температурам соответствуют такие колебания, при которых длина волны c , где c скорость звука, существенно превосходит характерное расстояние между атомами или период решетка a : c a , или ca , или

T ca .

Объем фазового пространства

	Vg	4 p2dp	.
		2 3

Для фононов p cl	или p ct . Здесь индекс l соответствует продольным

волнам или продольным фононам, а индекс t поперечным. То есть вместо суммирования по всем состояниям можно осуществлять интегрирование, например, по переменной , соответствующей частоте фононов. При этом для поперечной поляризации имеется два фонона, а для продольной – один. Можно ввести некоторую среднюю скорость

3 2 1 . c ct cl

Тогда с помощью перехода

3 2d V 2 2c 3 .

вместо суммирования осуществим интегрирование по

F N 0 T 3V ln 1 e T 2d .

2 2c 3 0

Здесь из-за быстрой сходимости интеграла предел интегрирования расширен до .

Это выражение имеет такой же вид, как для системы равновесных фотонов. Отличие заключается в множителе 32 и в замене скорости света на некую среднюю скорость звука. Как и ранее интеграл можно взять по частям, вводя x T ,