Tekst_lekcij_7_s

Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Физика конденсированного состояния

Файл:

0 в знаменателе ноль быть не может ;

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Лекция 6-я.

Периодическая зависимость собственных частот и векторов смещения от квазиволнового вектора. Обратная решётка и её базис. Длинноволновое приближение для частот и амплитуд смещения атомов в произвольном кристалле. Числа акустических и оптических частот.

Анализ поведения в общем случае:

(*)

f lj f

Cjj1 f

lj1 f

Cjj1

Ajj1 n n1 e

M j M j

if n n1

1) Cjj1

Ajj1 n n1

Cj1 j

M j M j

A n n e if n1 n

Ajj

n n1

Aj j

n1 n

Rjn

Rj n

1 1

задача Штурма-Лиувилля; C - эрмитов оператор (у матрицы C

собственные значения вещественны, а собственные функции образуют полную

ортонормированную систему функций)

(т.к. при сопряжении меняется только знак в exp)

Cjj1

(1)

в (*) взяли комплексное сопряжение

f Cjj1 f lj1 f

и заменили

f .

Теперь условием разрешимости системы стало det

jj1

Cjj1 f

было : det

jj1 Cjj1 f

Таким образом

2 f

f lj

В силу этого одновременно получаем

Из условия на det получаем s2 f , S 1,.....,d,.....,dg .

Получив набор характеристических корней, последовательно подставляем их в систему ;

(взяли комплексное сопряжение)

f ljs1

Cjj1

f lj1s1

(2)

- в силу эрмитовости.

lj1s1

f Cjj1

f 0 M jWjs f 0 1 Ajj1

n n1

Wj1s f 0

;

Ajj1

получили

1 s f ljs1 f ljs

f ljs1 f Cjj1

f lj1s

jj1

2 s1

ljs1

f ljs f lj1s1

f Cj1 j f ljs f

jj1

т.к. индексы “немые”, то поменяем

, j

ljs1 f Cjj1

f lj1s f ,

jj1

и правые части идентичны.

js1

Вычитаем

1 s s1 ljs1

f ljs

ljs f

2 s s1 ljs1

f ljs

Положим

ljs f

1 (конечное)

ljs

ss1

Объединяя 1), 2), получим

f ljs1

ортонормированная система

собственных векторов.

Умножим это соотношение на ej1s f (справа) и просуммируем по s.

, левая часть перейдет в

ljs

f lj1s

ljs1

f ss1lj1s

lj1s1

j s

правую,

только если в нее входят

, jj .

jj1

ljs

f lj1s

f 0: s

f 0 M jWjs

f 0 1 Ajj1

Wj1s f 0

j j1

n n1 0

Зависимость от n , сидевшая в экспоненте , исчезает: Ajj1

s f 0

s1 f 0 0

M jWjs f 0 0

M jWjs1

f 0 0

отвечает акустической ветви

такое поведение отвечает оптической ветви

ujn1s f

0 const

(зависит от )

Получим s f 0 M j const

Ajj1

n1 const

j1 n1

s2 f 0 M j const 0

Сумма в ноль не обращается , т.к. const 0,M j 0

s2 f 0 0 Wjs f 0 const

1,....,d s 1,....,d Т.е. акустических ветвей в произвольном кристалле может

быть столько, сколько независимых смещений у атомов кристалла (какова мерность пространства). Акустические ветви : s d ;

остальные ветви	s1 d 1,....,dg s1 d g 1 - оптические ветви.
Исследуем, как ведет себя s2 f 0 для акустики:
1 s 1,....,d

s2 f 0 0
		nf f 2
s2 f s2	f s f f ... s nf nf f 2 Cs2	nf f 2

Так можно записать, так как все квадраты частот заведомо положительные величины.

1 2 s2 f

2 f f

, nf

,Cs nf s nf nf

s f 0 Cs nf

, Cs nf

s nf nf

Получили звук, скорость которого является анизотропной величиной. Продольный звук – за счет сжатия и разрежения; поперечный – за счет сдвиговой деформации (с

запаздыванием: каждый деформирующийся слой зацепляет следующий и т.д.). Т.к.

поперечный звук распространяется с запаздыванием, его скорость меньше.

2 s

d 1,...,dg

....

s1 f

0 s1,0

s nf nf

s1 f 0 s1

,0 s1

s1,0

s ,0

s nf

s1 f

0 s1,0

f 2

- коэффициент при f 2 может быть разного знака.

2 s ,0

Таким образом,

оптическая ветвь при

f 0 обращается в const, и «уходит» оттуда

квадратичным образом.

2 f

имеет период

;

размер

ячейки

det

jj1 Cjj1

ifn

Cjj1

Ajj1

n e

M j M j

s2 f

“ привязано ” к

матрице С зависимость от f

такая же.

если такой вектор G существует, то он есть период этой функции.

C f G C

ifn

iGn

Cjj1

f G

Ajj1

n e

M j M j

Необходимо e		iGn
Необходимо e			1	при G,n
Gn 2 p; p
n n a	;		n	Ga 2 p

				2 p
Ищем вектор G в виде :
G 2 p1b1	p2b2 p3b3 ;				p - целые

bjai ij

b1,a1 1

b1,a2,3

0 b1 const a2 a3

a2 a3 const V0

1 a1b1 const a1

V0 объем

ячейки

a2 a3

Аналогично (циклической перестановкой)

s2 f G

s2 f

s f

dg N

Gmin

2 b

;

b f b

min

b1 b1e1

a1 (e1 a2 a3 )

; т.о.

a - линейный размер ячейки вдоль той оси.

G - вектора обратной решетки : все обратное пространство разбивается на блоки в виде

ячеек с базисными векторами:

ifn

ujn

f t

M j

lj ei

f n f n a

1 слева

M j

i f n f a n a N

1 справа

M j

1 eif a N

eif L

предполагаем, что ячейка, следующая за

N , повторяет первую…

f L

2 m

f m N

Из периодических граничных условий f принимает ровно столько разных значений,

сколько ячеек N .

Лекция 7.

Полнота и ортонормированность собственных векторов смещений атомов в произвольном кристалле. Представление смещения любого атома по собственным векторам. Преобразование полной энергии колеблющихся атомов к представлению собственных колебаний.

f f1 ...... fd N1......Nd N - полное число ячеек в объеме.

Таким образом, если число ячеек разное, то и наборы векторов f различны. При

фиксированном f мы нашли s2 f , s 1,...,d,...,dg ; s – полное число степеней

свободы одной ячейки. f N s f dg N - полное число степеней свободы всего кристалла. (В случае аморфной среды – это диктовалось разницей атомов; здесь же одинаковые атомы имеют различные смещения). Смещение произвольного атома по n-той ячейке вдоль оси :

t Q

ljs f

ifn

i s f t

ujn

- комбинация всех разрешенных для этой системы

M j

sjf

колебаний.

f ljs f

C jj1 f lj1s

f s f

,s 1,...,d

s1 0

f 2

d 1,...,dg

, s

ljs

f ljs1

f ss1

ss1

ljs

f ljs1

s dg

f N

ujn t


1
1			ljs f
		Qs f

				M j
	N s, f			M j

l f eifn i s f t Qs f jsM j


e	ifn	i s f	t
e

Пока Q не определено, выделение

это гарантирует действительность

решения

множителя

всего лишь переопределяет его; выделяем этот множитель для

удобства.

Во втором слагаемом заменим

f f (т.к. суммируем по всем

f , это можно сделать),

ljs

ifn i s f t

получим :

M j

; выносим общий множитель.

ljs

ljs f

ifn

i s

f t

i s f t

ujn

ljs

Qs f

Qs f e

NM j

s, f

Обозначим :

1,2,3.

1 eiF a

1 ei

P a N

N 1

a N

1 ei2 P

eiF a

1 e

iF a

n 0

1 e a

1 e

s, f ; s, f

i t

ifn

ujn

lj e

q ,

где q

Q e

NM j

Воспользуемся этим представлением ;

M j

E T U

u jn

t u jn

Ajj1 n

n1 u jnu j1n1

, перейдем от сумм по

nn1

атомам к сумме по состояниям (по ).

Кинетическая энергия :

M j

t u

ifn

j 1

N M j

u jn

eiF1n1

n1 eiF2n2 n2 eiF3n3

f f1 n

eiFn

т.к. решеточная сумма

n n1a1 n2a2 n3a3;Fa F a .

1,2,3.

1 eiF a

N 1

1 ei

P a N

(сумма N членов

a N

1 ei2 P

eiF a

iF a

n 0

1 e

1 e a

1 e

геометрической прогрессии ; на оси укладывается конечное число ячеек N ).

(Компонента квазиволнового вектора).

N 1

0, p 0

eiF a

N p ,0

1,2,3 (по правилу Лопиталя)

n 0

N , p 0

eiFn

N1 F1 ,0 N2 F2 ,0

N3 F3 ,0

N F ,0

, поэтому в

- символах можно писать F .

N1N2 N3 N - полное число ячеек.

F f f1 0

Таким образом, e

i f f1 n

, тогда N сокращается (в Т).

N f

, f

f1, f позволяет взять сумму по f

s1 f1

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Физика конденсированного состояния

#
15.08.20262 Мб0Tekst_lekcij_7_s.pdf
#
15.08.20261 Мб0Tekst_lekcij_8_s.pdf