Tekst_lekcij_7_s
.pdfПусть существует решение i ; подставим его в Un (t) :
Un (t) Vn e i t e t - получаем либо на t , либо на t - это
противоречит изначально заложенному ограничению (требование устойчивости системы).
Точка, в которой 2 (квадрат частоты) обращается в ноль, а затем становится отрицательным, является точкой потери устойчивости. Наличие этой точки означает неправильный выбор положения равновесия.
Нет полной теории описания аморфных тел (т.к. мы не можем решить полученное нами уравнение). Аморфное состояние не является устойчивым изначально , а является метастабильным; устойчивым состоянием является кристалл.
11
Лекция 3. Кристаллическая симметрия, элементарная ячейка. Одно- и многоатомные кристаллы. Примеры одномерных кристаллов. Система уравнений движения атомов элементарной ячейки. Квазиволновой вектор.
Кристаллический образец может быть представлен в общем случае как некий косоугольный параллелепипед.
Элементарная ячейка геометрически абсолютно
подобна исходному кристаллу.
То есть, существуют три семейства непараллельных плоскостей, которые можно провести через эквивалентно расположенные атомы.
Кристалл обладает трансляционной симметрией - можно всегда переставить любые две элементарные ячейки.
Размер и вид электронной оболочки неизменны и задаются природой. А вот выбор размера и ориентации базисных векторов a1, a2 , a3 в некоторой степени произволен.
Предположим, например, что некоторая точка структуры есть центр симметрии
(следовательно, и все эквивалентные точки обладают этим свойством). Такую точку удобно выбрать в качестве центра ячейки. Можно предложить регулярный прием построения ячеек, центрированных таким образом, так называемых ячеек Вигнера – Зейтца. Из выбранного центра нужно провести векторы трансляций к ближайшим эквивалентным узлам решетки; затем построить плоскости, перпендикулярные этим векторам и проходящие через их середину. Тогда область, которую ограничат все такие плоскости , будет , очевидно элементарной ячейкой. Все точки этой области лежат ближе к выбранному центру, чем к любому другому узлу решетки. Элементарная ячейка может содержать один или более атомов. Если она содержит только один атом, мы помещаем его в узел решетки . Такая структура называется решеткой Бравэ.
12
Если бесконечную цепочку сдвинуть (“продернуть”) на целое число p атомов, то ничего не изменится.
На одну ячейку приходится один атом кристалл одноатомный.
Теперь продергивать надо на расстояние, кратное 2a.
Выбор элементарных ячеек может быть неоднозначным. Однако геометрическая форма элементарной ячейки не изменилась. Это двухатомный кристалл.
Аналогично можно построить цепочки из g атомов. Сейчас известно до g=15.
Все многоатомные кристаллы могут быть представлены как вложения (последовательное)
кристаллов.
Если в элементарной ячейке d разных атомов, то ячейка d-атомная, и ее можно образовать последовательным вложением d кристаллов с отслеживанием порядка расположения.
13
n n1a1 n2a2 n3a3 ; n 0, 1, 2,.....- в зависимости от положения начала
отсчета. Вектора n задают вершины всех элементарных ячеек.
pl a (внутри!).
0
1
2 0
3 0
Мгновенное положение каждого атома в решетке будет задаваться двумя
индексами.Rjn |
|
|
|
|
|
|
- колебания вокруг положения равновесия. |
n j U jn , где U jn |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
Rjn |
|
|
|
|
|
|
|
|
“расселяем” атомы по ячейкам, а затем внутри них n, n1 - |
||||
MnU jn Ann1Un1 |
|||||||
n1 |
MnU jn |
Ajj1 |
U j1n1 |
ячейки; j, j1 - атомы. |
|||
нумеруют |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
nn |
|
|
|
|
|
|
,n |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
Все ячейки абсолютно идентичны. Переместим "0" "0 ",
14
|
M jU j |
(n1 |
n) Ajj1 |
(n n ,n1 |
n )U j1 (n1 n ) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, т.е. мы |
|
|
|
|
j1 ,n1 |
|
|
|
|
|
|
||
поменяли номера атомов, а это неважно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Извилистая силовая линия никак не зависит от начала отсчета |
Ajj |
Ajj |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nn1 |
(n n )(n1 |
n ) |
Ajj |
Ajj n n1 , (где n n1 - аргумент) |
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nn1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это что-то вроде коэффициента жесткости; |
|
|
|
|
, А- одинаковое. |
||||||
каким бы не было n |
|||||||||||
Таким образом, мы получили две системы уравнений с одинаковыми коэффициентами
решения могут отличаться только в фазе. Это отличие вызвано перенумерацией ячеек.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i t |
. Всю зависимость от n предполагаем “сидящей” |
|||||||||||||
Ищем решение в виде : U jn |
(t) Vjne |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i t |
|
|
|
|
e |
ifn |
e |
i t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в фазе: U jn (t) Vjne |
|
|
|
Wj |
|
|
|
|
. Чтобы это всегда была фаза, ( fn) должно быть |
|||||||||||||||||||||||||||||||
действительным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
if (n |
n |
) |
|
|
i t |
|
|
ifn |
|
|
|
|
|
ifn |
|
i t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
e |
e |
|
|
|
|
|
e |
ifn |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
U j(n n ) |
Wj e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wj e |
|
|
|
|
|
U jn Подставим в исходную систему : |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
e |
ifn |
( |
2 |
e |
iwt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ifn |
|
i t |
, домножаем на e |
ifn |
|||||||||||||
M jWj |
|
|
|
|
|
) Ajj1 (n n1)Wj1 |
e |
1e |
|
|
|
, получим : |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j1n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
if (n n |
|
|
|
|
|
ifn |
, где * - здесь есть |
||||||||||||||||||||||
|
M jWj |
Ajj1 |
|
(n |
n1)e |
|
|
|
|
|
1 |
|
Wj1 Ajj1 |
(n2 )e |
2 Wj1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
j1 |
|
|
|
|
|
j1 n2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
15
суммирование по всем элементарным ячейкам, в том числе n1 n выбор нуля неважен, и зависимость от n исчезает ; **- здесь переменная n лишь поменяет местами
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
слагаемые в сумме. Переобозначим Wj |
|
|
|
|
j |
|
и поделим на |
M j |
: |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
M j |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
lj |
Cjj1 |
f lj1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
j1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
if |
|
|
|
|
|
ifn |
||||||||||||||||||||||
Cjj1 |
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ajj1 |
n n1 |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ajj1 |
(n)e |
, таким образом |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
M |
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
M |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
j |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
j |
|
n |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( f ) - и решения тоже зависят от вспомогательного вектора f . |
||||||||||||||||||||||
|
ej |
f Cjj1 |
( f )lj1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
f |
|
jj1 |
|
|
|
|
|
|
( f ) 0 ; |
|
, 1,....,d |
|
, g – полное число атомов в |
|||||||||||||||||||||||
|
|
C jj1 |
( f ) lj1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
j1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j, j1 1,2,....., g |
|
|
|
||||||||||||
ячейке. j j1 |
dg dg , ( j |
-уравнений, j1 - неизвестных) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
- гораздо меньше, чем было раньше (d*N). Отличие на 23 порядка, если g=15, уравнений, dg – число колебаний степеней свободы элементарной ячейки.
Используем теорему Крамера : det |
|
2 ( f ) jj |
Cjj ( f ) |
|
0 . Отсюда получим |
|
|
1 |
1 |
|
|
s2 ( f ) , S=1,…,d,d+1,….,dg ; s2 положительны и, в общем случае, разные.
16
Лекция 4.
Колебания атомов линейного одноатомного кристалла. Акустический спектр. Отношение смещений соседних атомов, групповая и фазовая скорости распространения волн смещений.
Линейный одноатомный кристалл.
n
, 1 |
dg=1 (!!!), таким образом уравнение одно : 2 ( f ) 1 1 C( f ) l( f ) 0 , |
|||||||||||
j, j1 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
C( f ) |
1 |
|
|
A(a(n n1))e ifa(n n1) |
1 |
A(an)e ifan |
(здесь суммируем с“0” в точке |
|||||
|
M |
|
M |
|||||||||
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
xno ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
C( f ) |
1 |
|
|
|
A(0) 1 A( a)e ifa A( a)e if ( a) ....... |
|
|
|
||||
M |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Требование нетривиальности l( f ) 0 2 ( f ) C( f ) ; |
|
2U |
||||||||||
A(a n) |
|
- в |
||||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 xn 0 |
||
равновесном положении.
Учитываем взаимодействие только ближайших соседей. A(a) A( a) -- это силовые константы взаимодействия ближайших соседей.
17
|
|
|
|
2U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A(0) |
|
|
|
|
|
– самодействие, на первый взгляд - нечто непонятное. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x0 x0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MnUn |
Ann1Un1 , просуммируем по всем n : |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
MnUn |
|
( Ann1 |
)Un1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
n |
|
|
Ann1 |
0 Ann1 0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
F |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
(n n1) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ajj1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
jn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ajj1 |
(n n1) 0 Ajj1 |
(n) 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||
j1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j1n1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Спроецируем это условие на наш одномерный (линейный) кристалл. f |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
2a |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A(an) 0 - это сумма полная! |
A(0) A(a) A( a) 0 ; |
|
|
|
||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(0) A(a) A( a) 2 0 , |
A(0) A(an) , сумма всех силовых констант |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
взаимодействий с соседями. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(0) A(an) |
|
0 |
|
|
U |
0!!! |
-- Вторая производная в точке минимума. |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
( f ) |
|
2 e |
ifa |
e |
ifa |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||
|
|
M |
|
|
M |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ( f ) |
4 |
sin2 |
fa |
0 |
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fa fa l
22
2 ( f 2 l) 2 ( f )
a
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eifa eifa |
|
|
|
4 |
|
fa |
||||
|
|
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
2 |
|
|
M |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
cos fa cos2 |
fa |
sin2 |
fa |
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
18
Выбирают |
|
|
|
f |
|
|
|
|
(первый период) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) f 0 fa 1, f eifan , |
f играет роль волнового вектора (к в eikx ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f - квазиволновой вектор (т.к. an – дискретная переменная) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f |
2 |
f |
|
0 , fa 1 |
|
|
|
a |
1 - длинноволновое приближение. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
( f ) 0 |
sin |
|
|
, 0 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
M |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
sin |
fa |
|
|
|
|
a |
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
fa 1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( f 0) |
|
|
|
|
a |
|
f |
|
C |
|
f |
|
,C |
a |
2 |
|
0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
0 2 |
|
|
|
|
M |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Это есть ни что иное, как звуковая волна в нашей среде ; С – скорость звука.
19
f
2) |
a |
, и это экстремум (истинный максимум) |
||
|
|
|
||
( f |
|
) 0 |
|
|
|
|
|||
|
|
a |
|
|
0 (t) 0 , и все значения этого отрезка разрешены.
Возможно явления резонанса.
Если через систему пропускать сигналы с частотой до 0 , то атомы будут реагировать
(поглощение сигнала); если частота сигнала 2 0 , то сигнал отразится жестко (вся цепочка отреагирует как целое).
Для разных кристаллов 0 - разное. Чем больше 0 , тем сильнее взаимодействие между соседями (в зависимости от этого кристаллы могут быть жесткими или рыхлыми). Любой волновой процесс характеризуется Vгр ( групповой скоростью) и Vфаз .( фазовой скоростью)
2 |
|
|
|
( f ) |
|
( f )ej |
( f ) Cjj1 |
( f )lj1 |
j1
, 1,.....,d
dg j, j1 1,......, g
|
a |
|
a |
M |
x |
2 ( f ) C( f ) l( f ) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
l( f ) 0 w2 ( f ) C( f ) |
1 |
A(an)e ifan |
|
1 |
2 e ifa eifa ... ,2 A(a, n) 0 |
|||||||||||||||||||
M |
M |
|||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
4 |
|
2 fa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
( f ) |
|
|
|
f |
|
|
|
|
4 |
, tg C |
||||||||||
Таким образом мы получили |
|
|
sin |
|
|
|
|
0 |
, |
|
|
, |
0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
2 |
|
|
a |
|
a |
|
|
|
M |
||||||
20