Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Физика конденсированного состояния

Файл:

Tekst_lekcij_7_s

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

n N

sge iqn

q N

g e iqn

iqn

iq1 m

,sq1

sn ,sm

в виде сумм

x x

y y

sn isn ,

sm ism

sn sm

i sn sm

sn sm

123

231

312

nmi

sn , sn

nmi sn ,sn

213

132

321

yxz

xyz z

i nm i sn i sn

2 nm sn

iq n

iq1 m

sq ,sq1

nm 2sn

i(q q )n

2s qq

N n

если все snz s

предполагаем, что N узлов snz

(s 1)

отклонение системы от основного состояния ничтожно

i q q1

N q,q

т.е.

является оператором рождения ,

- оператором уничтожения

,aq1

sq1

aq1

,aq

первый «кусок» гамильтониана:

n m

sqe iqn

sq1e iq1 m

n m

2s aq

sq1

2s aq1

1
			( I	n m	e iqn iq1 m
N
	q	q1	n m

)2sa a I s s

q q1 nm n m n m

добавили и вычли

q q

e iql

l 0

N q1 q

заменили индекс

сумма двойная и по n и по m

суммирования

n m l

iql

1) Inm sn sm

l e

aq aq

n m

q l 0

N q

следующие слагаемые в H зависят от sn ,sm

s2n s(s 1) snx 2 sny 2 snz 2

все спины на всех узлах одинаковы по величине

1			2	1			2	z	2
	sn	sn				sn sn		sn
2					2i

sn sn

sn sn sn

sn sn

1 1

iqn iq1 n

sn sn

2 S

aq1aq

2 N

aq aq1

q q1

iqn iq1 n

q q

2 e

aq1aq

i(q iq )n

(q iq

1 2 e

aq1aq S

aq1aq

i(q iq1 )n

s(s 1) sn

s s

1aq

i(q iq1 )n

s 1

aq1aq

N q

т.к. суммируются операторовa a

(мера наличия волн)

таким образом, второе слагаемое

;

1 x

x 1

i(q iq1 )n

aq1aq

т.е. проекция sn

на узле отличается от

N q

max значения S на долю собственных волн

z
sn		S
n		n


1	( e
			i(q iq1)n
			)aq1aq

N q		,q1 n

NS	N q q
	1


NS aq1aq NS N q

q		q

максимальный спин равен NS и он уменьшен на количество спиновых волн

z z

i(q iq )n

i(q iq )m

n m

sn sm I

n m

aq1aq S

aq1aq

n m

N q,q

при раскрытии скобок оставляем только первые неисчезающие члены N N

i q q1

n m

aq1 aq 0

n m

N q q n m

I (l )

n l 0

N I (l ) l 0

I(l)

2 N qq

I(l)

l 0

qq1

l 0

i q q n

i q q m i q q m

n m

l 0

второе слагаемое ... дает то же самое;

a a

q1 q

I(l)e

q q l

q q

N qq ( I(l) 1)

N q q1

S2 N I(l)

l 0

q l 0

		I (l)
I(l) aq aq	S2 N

	l 0


	2S	I(l) N q

	q l 0

В результате получаем гамильтониан:

z z

I n m

sn sm sn sm

Б sn

2 n

2 S

iql

2 S

I(l)e

N q

I(l)

I(l) N q g Б

SN g Б

N q

q l 0

2 l 0

q l 0

		S2 N
H

		2 l 0


I(l)	g БHSN	S

		q	l 0

	1 e
		iql
I(l)			g БH N q

Утверждение

E может быть записано так, где

H E0

S2 N

I(l)

g БHSN

энергия основного состояния, все спины

l 0

результат появления

E q N q

спиновых волн

Snz

S (!)

(q) S I(l) 1 e iql g БH

l 0

Каждый магнон несет энергию q ; фактически мы получили закон дисперсии.

Длинноволновое приближение:

q 0

S I

(l)

1 iql

...

g БH Siq I (l)l

I (l) ql

... g БH

l 0

2 l 0

т.к. сумма по всем l , и

всегда на каждое l

найдется - l

q 0

I(l)l

g БH

свертка

I 3 I(l) l2;( )

I1 I(l) l2

3 l

	S		2	2
q 0		I(l)l	q		g БH	длинноволновое приближение для энергии
q 0	6	I(l)l	q		g БH	длинноволновое приближение для энергии
	6	l

		a
					отдельного магнона

0 , если магнитное поле не включено; q 0 aq2 при наличии поля.

Ни одного отклика на воздействие энергией система не даст, зато начиная с будут появляться спиновые волны.

Лекция 16.

Термодинамика ферромагнетика. Температурное поведение теплоёмкости и макроскопического магнитного момента. Ферромагнетизм как пример фазового перехода 2-го рода.


E(T )		wi (q)		i		i	(q)nq		nq -число «отклонений» от
E(T )	E	wi (q)		i	N	i	(q)nq		nq -число «отклонений» от
		i	q			q	q
		i	q			q	q
					nq
								максимальной проекции в системе:
									nq 0,1,2,... 0- ни один
не повернут,		1- один повернут.

распределение Планка (фиксированных состояний нет хим.

(q)

потенциал=0)

(число квантов не фиксировано)

E(T )

(q)

aq2

2 3

(q)

2 3

aq2 1

T 0;

наличие exp выделяет малые q , т.е. вклад дают q kT , остальные

«зарезаются»

aq2

H 0 0

4 q

e kT

определяется неравенством (q) kT; при этом выполняется длинноволновое

приближение.

aq2

;q2

z;q

kT 2

aq 2

kT 2 dz

kT 2 a

kT 2

2 z

таким образом,

E T 0, H 0 (kT )2

CV (T 0, H 0) T 2

Легче родить фонон при таком законе дисперсии (aq2...) , чем при линейном.

Подводимое тепло в основном расходуется на рождение магнонов.

	aq2	велико даже при q 0 (e
e	kT	велико даже при q 0 (e								kT	)
и добавка aq2 только усугубит это настроение
	H 0,kT 0				q		aq		2							q
	H 0,kT 0					2	aq											2

						4 q dq								4 e	kT		dq q		1 e kT
				3		4 q dq	2						3	4 e	kT		dq q		1 e kT
2				3				aq					3
			2		0		e				1	2				0
			2		0		e	kT			1	2				0
CV (T

		0, H ) e kT

Возбуждения родиться не могут.

Еще одна термодинамическая величина –магнитный момент:

i q1

q0 n

Б Sn g Б S

aq1 aq exp

q,q

i q1 q n

g БSN g Б

aq1 aq

M0 M ,

N q

M0z

N q

магнитный

поправка за счет

момент в

бегающих спиновых

отсутствии

волн

отклонений

Причем M

g Б aq aq

g Б

N q

Таким образом, момент уменьшается в меру наличия спиновых волн

M M

0 M

z M0z g Б

z M0z

отсюда M

g Б

dq q

g Б

4 dq

aq2

0 (без поля)

e kT

kT 2

g Б

4 dq

g Б

kT 2

aq2

e kT

Температура вызывает “разбалтывание” магнитных моментов.


			q		q		2				3
g Б			4 dq		q			g Б				q	e kT
g Б	2	3	4 dq	e				g Б	2	3	3		e kT
	2	0		e	kT	1			2		3

Магнитное поле, таким образом, стабилизирует магнитный момент. Рассмотрим

двумерный кристалл XY

в магнитном поле Z . M0z

не зависит от мерности кристалла,

это просто полное число магнитных моментов атомов;

g Б

M z

g Б

dq q 2

e kT 1

g Б

aq2

... 1

e kT 1

основной конечный вклад дают aq2 kT 0 можно разложить экспоненту

g Б

S kT

S kT ln q 0

T ln L

dq g Б

limln

q 0

qmin

min

при малейшем увеличении температуры двумерный ферромагнетик оказывается неустойчивым ( ферромагнетизм исчезает).

Таким образом, главную роль в поведении такой системы играют флуктуации – длинноволновые флуктуации с малыми q .

H 0 0

	S			q

g Б			2 e kT dq q e		kT пока T		, магнитное поле замораживает
	2	2
				0		k

магнитный момент.

kT 0 N 1 N

С ростом температуры число основных спиновых волн растет, они начинают взаимодействовать, спины отклоняются более, чем на 1. Возникает некое усредненное состояние, созданное магнитным полем и спиновыми волнами.

	1		z		z	z	z
H		Inm Sn Sm g БH S n			Inm S m g БH S n g Б Hn S n
H		Inm Sn Sm g БH S n			Inm S m g БH S n g Б Hn S n
	2 n m		n	n	m		n

с учетом взаимодействия

Hn	1 Inm Sm H
		z
	g Б	m

Заменим истинное мгновенное значение на каждом узле на некое усредненное значение поля:

	1			S	z	где S	z
Hn H			Inm		H ,		- усредненная по всем значениям
	g
		Б	m

проекция спина на узле

S z H H

I g Б

Среднее значение определяется распределением Гиббса:

M z H

w(S

)

, M

БS

, S S

g Б H

S z S z w(S z )

S ze

eaSz

z a

S z S

z a S z S

a S

1 sh

z a

2 e2

ch a S

sh a

2sh2

1 ea 2S 1

1 ea

2s 1

sh a s

1 e

eaSz

1 e

таким образом,

				a			1
			sh			s				1
	z		sh	2		s		2		1
S									ch a s
S					1		a		ch a s	2
					1	sh	a			2
		sh a s					2
		sh a s			2
					2

1		1
	sh a s
2		2

ch	a
				1
	2
			s		cth a s
				2
sh2		a

	2

1	1	cth	a

2	2		2

S z

cth as 1

cth

g Б H

s y трансцендентное уравнение

g Б H

H 1

cth y 1

;

g Б

IS2

T y H

f y

cth

y 1

cth

1	1	cth	y

	2s		2s
2s

функция Ланжевена

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Физика конденсированного состояния

#
15.08.20262 Мб0Tekst_lekcij_7_s.pdf
#
15.08.20261 Мб0Tekst_lekcij_8_s.pdf