Управление финансовыми рисками. Учебное пособие

Дисперсия равна

σ2 = ∑(x∑i −x)2 ni . ni

Вкачестве меры риска дисперсия впервые использована в 1952 г. американским экономистом Гарри Марковицем, став-

шим впоследствии нобелевским лауреатом. Например, чем больше дисперсия σ2 нормы рентабельности портфеля ценных бумаг, тем больше изменчивость фактора риска r и тем выше вероятность негативного развития событий (например, получения убытка по портфелю ценных бумаг, превышающего заранее установленный уровень) [10].

Вкачестве меры риска часто используется среднее квадратическое отклонение σ – корень квадратный из дисперсии.

Показатели дисперсии и среднеквадратического отклонения как меры риска имеют ряд недостатков. Это обусловлено тем, что, как правило, инвестициям с большей доходностью соответствует больший риск. В этом случае для оценки риска лучше использовать относительные показатели (например, коэффициенты вариации, Шарпа, Трейнора и др.).

Коэффициент вариации kV представляет собой отношение среднего квадратического отклонения σ к ожидаемому (среднему) значению фактора риска x:

kV = xσ 100.

Пример расчета коэффициентов вариации

Рассмотрим два варианта вложения средств (например, в акции различных предприятий) (табл. 3.1).

21

Требуется оценить риск вложений по каждому варианту с помощью коэффициента вариации.

Решение

В табл. 3.2, 3.3 выполнены вспомогательные расчеты по вариантам вложения средств, необходимые для оценки риска каждого варианта.

Среднее ожидаемое значение прибыли по вариантам равно соответственно:

xА = 0,4 ∙ 25 + 0,3 ∙ 20 + 0,3 ∙ 30 = 25 млн руб.; xБ = 0,3 ∙ 40 + 0,5 ∙ 30 + 0,2 ∙ 15 = 30 млн руб.

Сравнение коэффициентов вариации vА и vБ показывает, что менее рискованным является вариант А, у которого коэффициент вариации меньше.

3.2. Кривая «Риск – Доходность»

Метод основан на оценке надежности вариантов инвестирования капитала. При принятии решения в выборе варианта инвестирования решается обычно одна из двух основных задач.

Задача 1 – выбор варианта с заданным уровнем ожидаемого дохода с минимальным риском.

Задача 2 – выбор наиболее доходного варианта инвестирования при заданном уровне риска.

Для решения этих основных стоящих перед каждым инвестором задач может быть использована кривая «риск – доходность». Исходные данные для построения кривой те же, что при расчете коэффициента вариации. Далее для любого варианта с номером i (i = 1, ..., N) строится эмпирическая (кумулятивная) функция распределения вероятностей при условии упорядочения по неубыванию значений величины прибыли (табл. 3.4). Ку-

23

мулятивная функция показывает вероятность того, что результат не превысит соответствующего значения.

Таблица 3.4

Кумулятивная функция распределения по исследуемым вариантам

На основе табл. 3.4 могут быть построены графики кумулятивных функций для исследуемых вариантов (кривые «риск – доходность»), на основе которых решаются две указанные выше задачи (рис. 3.2).

Доходность

Рис. 3.2. Кривые «риск – доходность» для двух вариантов вложений

При решении задачи 1 вводится желаемый инвестором уровень прибыли и по кривой определяется риск. Задача 2 решается следующим образом. Инвестор задается уровнем риска и определяет точки пересечения прямой P с кривыми «риск – доходность». По получаемым при этом абсциссам точек пересечения делается выбор инвестором наилучшего варианта.

Пример определения лучшего варианта при заданном уровне прибыли

Предположим, инвестору необходимо выбрать лучший по уровню риска вариант, обеспечивающий размер прибыли не менее 25 млн руб.

24

Доходность

Рис. 3.3. Пример решения задачи 1 с помощью кривых «риск – доходность»

На рис. 3.3 видно, что при заданной прибыли 25 млн руб. наименее рискованным является вариант Б.

Пример определения лучшего варианта при заданном уровне риска

Предположим, инвестору необходимо выбрать лучший вариант при уровне риска 0,6.

Доходность

Рис. 3.4. Пример решения задачи 2 с помощью кривых «риск – доходность»

На рис. 3.4 видно, что при заданном уровне риска (0,6) наиболее прибыльным является вариант Б.

3.3.Функция полезности Неймана – Моргенштерна

Врассмотренных выше оценках риска предполагалось, что лицо, принимающее решение, является объективистом. Однако

вреальности на поведение ЛПР могут влиять:

25

––финансовое состояние (возможно, ЛПР на грани банкротства и ему необходимы денежные средства);

––отношение к риску вообще (склонность к риску);

––настроение или состояние здоровья;

––множество других, даже непосредственно не относящихся

кбизнесу причин.

Если предположить, что люди предпочитают большее количество некоего блага меньшему и чем больше вероятность крупного выигрыша, тем больше игра «стоит», т.е. тем большая плата требуется на приобретение права участвовать в этой игре, то это

всовокупности определяет рациональное поведение ЛПР. При названных предположениях американскими учеными Дж. Нейманом и О. Моргенштерном было показано, что ЛПР при принятии решения будет стремиться к максимизации ожидаемой полезности. Другими словами, из всех возможных решений он выберет то, которое обеспечивает наибольшую ожидаемую полезность. Функция полезности Неймана – Моргенштерна позволяет получить решение с точки зрения субъективиста, т.е. лица, который к риску небезразличен.

Полезность – это некоторое число, приписываемое лицом, принимающим решение, каждому возможному исходу. У каждого ЛПР своя функция полезности, которая показывает его предпочтение тех или иных исходов в зависимости от его отношения к риску.

Для принятия решения в случае, когда ЛПР к риску не безразличен, необходимо уметь оценивать значения полезности каждого из допустимых исходов. Дж. Нейман и О. Моргенштерн предложили процедуру построения индивидуальной функции полезности, которая заключается в следующем: ЛПР отвечает на ряд вопросов, обнаруживая при этом свои индивидуальные предпочтения, учитывающие его отношение к риску. Значения полезностей могут быть найдены за два шага.

Шаг 1. Присваиваются произвольные знамения полезностей результатам для худшего и лучшего исходов, причем первой величине (худший исход) ставится в соответствие меньшее число. Тогда полезности промежуточных выигрышей будут находиться

вэтом интервале.

Шаг 2. ЛПР предлагается на выбор: получить некоторую гарантированную денежную сумму v, находящуюся между луч-

26

шим и худшим значениями S и s, либо принять участие в игре, т.е. получить с вероятностью p наибольшую денежную сумму S и с вероятностью (1 – p) – наименьшую сумму s. При этом вероятность следует изменять (понижать или повышать) до тех пор, пока ЛПР станет безразличным в отношении выбора между получением гарантированной суммы и игрой. Пусть указанное значение вероятности равно p0. Тогда полезность гарантированной суммы определяется как среднее значение (математическое ожидание) полезностей наименьшей и наибольшей сумм, т.е.

U(v) = p0 U(S) +(1− p0) U(s).

В общем случае график функции полезности может трех типов (рис. 3.5):

––для ЛПР, не склонного к риску, – строго вогнутая функция, у которой каждая дуга кривой лежит выше своей хорды (рис. 3.5, а);

––для ЛПР, безразличного к риску, – прямая линия (рис. 3.5,

б);

––для ЛПР, склонного к риску, – строго выпуклая функция, у которой каждая дуга кривой лежит ниже своей хорды (рис. 3.5, в).

Рис. 3.5. Типы функций полезности Неймана – Моргенштерна для ЛПР, не склонного к риску (а), безразличного к риску (б), склонного к риску (в)

Пример

Необходимо выбрать лучший вариант вложений по показателям «ожидаемая доходность» и «ожидаемая полезность» по исходным данным, приведенным в табл. 3.5.

27

Ожидаемая доходность по вариантам инвестирования равна соответственно:

x1 = 0,5 ∙ 20 + 0,5 ∙ 40 = 30 млн руб.;

x2 = 0,5 ∙ (–10) + 0,5 ∙ 70 = 30 млн руб.

С точки зрения объективиста варианты равнозначны. Рассмотрим, как изменятся результаты расчетов при учете отношения лица, принимающего решения, к риску.

Для принятия решения в этом случае необходимо оценить полезность возможных исходов и построить индивидуальную функцию полезности. Процедура построения индивидуальной функции полезности состоит из следующих этапов.

Присваиваются произвольные значения полезностей для лучшего и худшего исходов: U(–10) = 0 U(70) = 5. Полезности промежуточных значений доходности будут находиться в интервале от 0 до 5.

Лицу, принимающему решения, предлагается на выбор два варианта: получить гарантированную сумму, находящуюся между максимальным и минимальным значениями, или иметь максимальный доход с вероятностью p или потери с вероятностью (1 – p). Называются разные значения p до тех пор, пока ЛПР не станет безразличным к выбору указанных двух вариантов. Предположим, что для дохода 20 млн руб. такая вероятность равна 0,2. Тогда полезность этого дохода будет равна

U(20) = 0,2∙U(70) + (1 – 0,2) ∙ U(–10) = 0,2∙5 + 0,8∙0 = 1. Аналогично для дохода 40 млн руб.:

U(40) = 0,3∙U(70) + (1 – 0,3) ∙ U(–10) = 0,3∙5 + 0,7∙0 = 1,5.

Результаты расчетов представлены в табл. 3.6. После получения нескольких значений полезности строится функция полезности (рис. 3.6).

28

Рис. 3.6. Функция полезности, построенная по данным табл. 3.6

Ожидаемая полезность по вариантам инвестирования равна:

ОП1 = 0,5 ∙ 1 + 0,5 ∙ 1,5 = 1,25; ОП2 = 0,5 ∙ 0 + 0,5 ∙ 5 = 2,5.

С точки зрения ожидаемой полезности лучшим является второй вариант.

3.4. Метод экспертных оценок

Рассмотрим метод экспертных оценок на следующем примере [11]. Реализация проекта связана с шестью рисками:

––подготовка проекта;

––строительство;

––финансирование;

––социальные проблемы;

––техническое состояние производства;

––экология.

В табл. 3.7 приведены вероятности рисков и весовые коэффициенты, которые определены экспертным путем и отражают долю влияния конкретного риска.

29

Все риски делятся на две группы: 1-я группа (приоритетная) – с большими весовыми коэффициентами, 2-я группа включает риски, весовые коэффициенты которых на порядок меньше, чем весовые коэффициенты рисков, включаемых в 1-ю группу.

Определим вес группы с меньшим приоритетом:

где K – число рисков в группе;

f – соотношение весов первого и последнего приоритета в последовательности приоритетов, расположенных в порядке убывания.

Вес первой группы равен W1 =W2 f =0,11 8 =0,88 .

Веса простых рисков в каждой группе будут равны соответственно 0,884 =0,22 и 0,112 =0,055 .

Суммарный риск определяется по формуле

R =∑Wi V i =0,396.

i

Результаты расчетов приведены в табл. 3.8. Общий уровень риска проекта чуть ниже среднего.

30