Теория функций комплексного переменного. Учебное пособие

МОСКОВСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ

Северо-Кавказский филиал

Л.В. Гриценко, В.Н. Ефименко, Г.С. Костецкая

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Учебное пособие

Москва Ай Пи Ар Медиа

2022

3

Содержание

Модуль 1. Функция комплексного переменного

1. Комплексные числа и действия над ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. Функция комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1. Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3. Непрерывность функции комплексного переменного . . . . . . . . . . . . 17

3. Дифференцирование функции комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . 18

3.1. Производная. Геометрический смысл модуля и аргумента производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2. Дифференцируемость. Условия Коши–Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3. Свойства аналитических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.4. Понятие конформного отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4. Элементарные функции комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.1. Линейная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.2. Преобразование инверсии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.3. Дробно-линейная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.4. Степенная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

p

4.5. Функция w = n z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.6. Показательная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.7. Логарифмическая функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.8. Тригонометрические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.9. Гиперболические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.10. Обратные тригонометрические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.11. Общая степенная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3

4

Модуль 2. Ряды в комплексной плоскости

5. Числовые и функциональные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.1. Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.2. Функциональные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.3. Ряды Тейлора и Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.1. Нули . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6.2. Изолированные особые точки аналитической функции . . . . . . . . . . 47

Модуль 3. Интегрирование в комплексной плоскости

7. Интегралы от функции комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.1. Понятие интеграла, свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 7.2. Интегральная теорема Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 7.3. Интегральная формула Коши. Интеграл типа Коши . . . . . . . . . . . . 58

8. Вычеты. Применение теории вычетов к вычислению интегралов . . . . . . 65

8.1. Вычеты. Основная теорема теории вычетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 8.2. Вычисление определенных интегралов от тригонометрических

функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 8.3. Вычисление несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4

5

Модуль 1. Функция комплексного переменного

1. Комплексные числа и действия над ними

Определение 1.1. Комплексным числом называется выражение ви-

да

где x, y действителдьные числа, i мнимая единица, причем i2 = 1. Числа x, y называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа и обозначаются Re z = x; Im z = y.

Выражение (1.1) называется алгебраической формой комплексного чис-

ла.

Определение 1.2. Два комплексных числа равны друг другу тогда и только тогда, когда у них равны действительные и мнимые части, то есть

z1 = x1 + iy1;

z1 = z2 () x1 = x2; y1 = y2:

z2 = x2 + iy2;

Определение 1.3. Комплексно сопряженным для числа z = x + iy

называется число

Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел производятся по обычным правилам действия с двучленами с учетом того, что i2 = 1:

z1 z2 = (x1 + iy1) (x2 + iy2) = (x1 x2) + i(y1 y2); z1 z2 = (x1 + iy1) (x2 + iy2) = (x1x2 y1y2) + i(x1y2 + y1x2);

zn = z z : : : z :

5

6

Арифметические действия с комплексными числами перестановочны с операцией перехода к сопряженным числам, а именно:

p

= 73 i57;

в) (1 i)2012 = (1 2i 1)1006 = ( 2i)1006 = 21006 i1006 =

= 21006(i2)503 = 21006( 1)503 = 21006:

Комплексное число z = x+iy имеет простую геометрическую интерпретацию это точка M(x; y) или радиус-вектор OM = fx; yg. Если обозначить длину этого вектора через r, а угол наклона к положительному направлению

оси Ox через ', то мы получим тригономет-

y

рическую форму комплексного числа

Рис. 1

Очевидно, что модуль определяется однозначно, а аргумент с точностью до слагаемого кратного 2 :

p

r = x2 + y2; (1.4)

6

Из формулы (1.5) видно, что аргумент не определен для числа z = 0. Кроме

z3 = 4 ! x3 = 4; y3 = 0 !

r3 = 4; '3 = 0 (см. (1.8)).

7

8

Определение 1.4. Два комплексных числа в тригонометрической форме равны тогда и только тогда, когда у них модули равны, а аргументы отличаются на 2 k, k = 0; 1; : : :

При умножении и делении комплексных чисел пользуются следующей теоремой.

Теорема 1.1. Пусть z1 = r1(cos '1 + i sin '1), z2 = r2(cos '2 + i sin '2). Тогда

(формула (1.12) называется формулой Муавра).

Доказательство теоремы очевидно, проделайте его самостоятельно.

8

9

Замечание. Формулы (1.10)–(1.12) можно записать следующим образом

jz1 z2j = jz1j jz2j; Arg(z1 z2) = arg z1 + arg z2;

jznj = jzjn; Arg zn = n arg z; z 6= 0:

В результате умножения, деления и возведения в степень комплексных чисел может получиться аргумент произведения, частного и степени, не являющийся главным.

Определение 1.5. Корнем n-ой степени из комплексного числа z

называется такое комплексное число w, что

Выведем формулу извлечения корня n-ой степени из числа z. Положив

z = (cos ' + i sin '); w = (cos + i sin );

перепишем (1.14):

( (cos + i sin ))n = r(cos ' + i sin ')

или по (1.13):

n(cos n + i sin n ) = r(cos ' + i sin '):

Тогда по определению 1.4 имеем

r = n; n = ' + 2 k; k = 0; 1; : : :

10

(При k > n мы получим те же значения wk в силу периодичности тригонометрических функций.)

Формула (1.15) дает n различных значений корня. Геометрически все они лежат в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с центром в O(0; 0), радиуса pn jzj.

Пример 1.3. Решить уравнение z4 1 + i = 0.

Решение. Выразим z:

p

z = 4 1 i:

Отметим, что точки w0, w1, w2, w3 являются вершинами квадрата (см. рис. 3).

10