Теория функций комплексного переменного. Учебное пособие

51

Модуль 3. Интегрирование

в комплексной плоскости

7. Интегралы от функции комплексного переменного

7.1. Понятие интеграла, свойства

Пусть на комплексной плоскости (z) задана кусочно-гладкая кривая C, на ней выбрано направление и в каждой ее точке определена функция f(z). Поступим как обычно. Разобьем кривую C на n частичных дуг точками z0, z1, . . . , zn 1, zn. Обозначим

На каждой дуге zk ^1zk, k = 1; : : :; n, выберем произвольную точку k и составим интегральную сумму

Если при d ! 0 существует конечный предел суммы (7.1), не зависящий ни от способа разбиения кривой C, ни от выбора точек k, то этот предел называется интегралом от функции f(z) по кривой C, то есть по определению

Отделяя в равенстве (7.2) действительные и мнимые части и используя определение криволинейного интеграла второго рода, можно показать, что имеет место равенство

ZZ

51

52

Z

Таким образом, вычисление интеграла f(z) dz сводится к вычислению

C

криволинейных интегралов 2 рода от функций действительных переменных, при этом интеграл в левой части (7.3) существует тогда и только тогда, когда существуют оба криволинейных интеграла в правой части (7.3).

В курсе математического анализа показывается, что для вычисления криволинейного интеграла

Z

P (x; y) dx + Q(x; y) dy

C

нужно найти параметрическое уравнение кривой C:

(

x = x(t);

t 2 [ ; ];

y = y(t);

где движение точки t по [ ; ] порождает движение точки (x(t); y(t)) по C в заданном направлении, после этого криволинейный интеграл сводится к определенному по формуле:

Z

P (x; y) dx + Q(x; y) dy =

Пример 7.1. Вычислить

Z

(z a)m dz;

C

где C : jz aj = R, m целое.

Решение. Параметрическое уравнение этой окружности z a = Reit; t 2 [0; 2 ):

52

53

Тогда

>

>

>

>

:

8 Rm+1

=< m + 1(ei(m+1)2 1) = 0; m 6= 1

В следующих примерах стоящая под знаком интеграла ветвь многозначной функции выделяется заданием ее значения в некоторой точке контура интегрирования. Эта точка считается начальной точкой пути интегрирования.

Пример 7.2. Вычислить

Z dz pz ;

C

где 1) C полуокружность jzj = 1, y > 0, p1 = 1; 2) C окружность jzj = 1, p 1 = i.

Решение. 1) Параметрическое уравнение верхней полуокружности

53

54

При t = 0 имеем (p 1)0 = i или (p 1)1 = i, поэтому согласно условию

= 2i (ei 1) = 2i ( 2) = 4i = 4i:

Если f(z) аналитическая функция в односвязной области D, то интеграл от нее не зависит от пути интегрирования и определяется только начальной и конечной точками z0; z1 2 D. Имеет место формула Ньютона–Лейбница

z0

где (z) какая-либо первообразная функции f(z). Интегрирование по частям и замена переменной в интеграле от функции комплексного переменного производятся аналогично случаю функции действительного переменного.

54

55

Перечислим свойства интеграла в комплексной плоскости, которые получаются распространением свойств криволинейных интегралов в вещественной области, с учетом (7.3).

ZZ

Z

dz = zB zA;

AB

Следствие. Если jf(z)j 6 M, 8 z 2 AB и jABj длина дуги AB, то

Z

f(z) dz 6 M jABj:

AB

7.2. Интегральная теорема Коши

Теорема 7.1 (Коши). Если функция f(z) аналитическая в односвязной области D, ограниченной кусочно-гладким контуром C, и непрерывна

55

По условию f(z) = u(x; y)+iv(x; y) аналитическая в D, значит удовлетво-

поэтому правые части (а следовательно и левые) равенств (7.8) равны нулю и значит

Z

f(z) dz = 0:

C

Теорема Коши обобщается и на случай многосвязной области D.

Пусть D многосвязная область, ограниченная согласованно ориентированным сложным контуром

C = C0+ [ C1 [ : : : [ Cn ;

56

57

где C0+ внешняя граница ориентированная положительно, а C1 , C2 , . . . ,

то есть интеграл по контуру, ограничивающему область аналитичности с внешней стороны равен сумме интегралов по контурам, ограничивающим эту же область изнутри.

Следствие. 1) Если f(z) аналитическая в односвязной области D и

непрерывна в [ , где границы , то

D

C

C

D

=

D

Z

f(z) dz = 0;

C0

где C0 любой простой замкнутый контур в D.

2) Если f(z) аналитическая в односвязной области D, то интеграл по любой простой кривой AB D не зависит от пути интегрирования, а определяется лишь начальной и конечной точками A(z0) и B(z1), т. е.

z1

ZZ

f(z) dz = f(z) dz:

AB z0

Замечание. Если f(z) аналитична в неодносвязной области D, то инте-

Z

грал f(z) dz может зависеть от пути интегрирования.

AB

3) Введем понятие деформации контура в области D.

57

7.3. Интегральная формула Коши. Интеграл типа Коши

Интегральная формула Коши устанавливает связь между значениями аналитической функции в области и ее значениями на границе этой области.

Теорема 7.3. Пусть f(z) аналитическая в области D+ и непрерывная

58

59

Доказательство. Проведем доказательство для случая, когда D+ односвязная область. Договоримся точки, лежащие в D+, обозначать z, а точки, лежашие на контуре C, через t.

Рис. 4

Пусть теперь r любое число, такое что 0 < r < . Проведем окружность Cr: jz z0j = r. Обозначим через D1 область, ограниченную контурами Cr и

59

60

Воспользуемся свойством интеграла от функции комплексного переменного, а также непрерывностью f(z) (см. (7.11))

Левая часть в этом соотношении постоянная, а правая часть может быть сделана меньше любого положительного числа, как бы мало оно не было. Значит, левая часть есть 0, то есть

Замечание 1. Перепишем утверждение теоремы 7.3 в виде

Формула (7.12) называется интегральной формулой Коши, а интеграл

интегралом Коши.

Замечание 2. Для z 2 D+ производные f(n)(z) находятся дифференцированием под знаком интеграла:

60