Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория функций комплексного переменного. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

930 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Если R(x) = P (x) рациональная функция, причем Q(x) 6= 0 на веще-

Q(x)

ственной оси и степень Q(x) по крайней мере на две единицы больше степени

P (x), тогда

ZP (x) dx Q(x)

сходится и

R(x) dx = 2 i k=1

Res[R(z); zk];

Im zk > 0:

(8.11)

x2 dx

Пример 8.5. Вычислить интеграл Z0

(x2 + 25)2

Решение.

x2 dx

(x2 + 25)2

R(z) =

) z2 + 25 = 0

(z2 + 25)2

! z1 = 5i, z2 = 5i полюсы второго порядка, но Im z2 < 0, поэтому

(z 5i)2z2

i lim

Res (z2

+ 25)2 ; 5

(z 5i)2(z + 5i)2

= 22

z!5i

= i lim

0 = i lim

2z(z + 5i)2 z22(z + 5i)

(z + 5i)2

z!5i

(z + 5i)4

= i lim

2z(z + 5i z)

= i

10i 5i

1000

z!5i

(z + 5i)3

(10i)3

Рассмотрим несобственные интегралы вида

R(x) cos x dx;

R(x) sin x dx;

> 0:

Пусть R(x) = P (x) рациональная функция, Q(x) 6= 0 и степень Q(x) больше

Q(x)

степени P (x) по крайней мере на единицу. Тогда перечисленные выше интегралы сходятся. Для их вычисления рассмотрим вспомогательную функцию

R(x) ei x = R(x)(cos x + i sin x):

Тогда

R(x)ei x dx = 2 i k=1

Res[R(z)ei z; zk];

Im zk > 0

(8.12)

или

+1R(x) cos x dx = Re

2 i

Res[R(z)ei z; zk]!;

Im zk > 0;

(8.13)

k=1

Res[R(z)ei z; zk]!;

+1R(x) sin x dx = Im

2 i

Im zk > 0:

(8.14)

k=1

Пример 8.6. Вычислить интеграл

sin x dx

(x2 + 1)2

Решение.

2 i k=1

(z2 + 1)2 ; zk !; Im zk > 0:

Z (x2

+ 1)2

= Im

Res

+1 sin x dx

(8:14)

eiz

R(z) =

+ 1)

Особые точки z1 = i полюс второго порядка, z2 = i не подходит, так как Im z2 < 0. Значит

+1 sin x dx

eiz

= Im 2 i Res

; i =

(x2 + 1)2

(z2 + 1)2

= Im 2 i lim

(z i)2eiz

= Im

2 i lim

eiz

(z + i)2

z!i (z i)2(z + i)2

z!i

= Im

2 i lim

ieiz(z + i)2 eiz2(z + i)

z!i

(z + i)4

( 8i

= Im 2 i

(

(2i2)3 2)

= Im 2

= 0:

e 1

4)e 1

Литература

1.Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987.

2.Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987.

3.Николенко В. Н. Теория аналитических функций. Ростов-на-Дону: Издво РГУ, 1988.

4.Костецкая Г. С., Радченко Т. Н., Гаврилова Р. М. Методические указания для студентов II курса физического факультета ¾Вопросы и упражнения по теории функций комплексного переменного¿. Ростов-на-Дону, 2012.

5.Костецкая Г. С., Новикова Л. В. Аналитические функции. Методические указания для студентов физического факультета. Ч. 1, 2. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1998.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]