Теория функций комплексного переменного. Учебное пособие

11

y

w2 w1

0 x

w3 w0

Рис. 3

Наконец, любое комплексное число z 6= 0 можно записать в показательной форме:

где r = jzj; ' = Arg z.

2. Функция комплексного переменного

2.1. Определения

Сначала введем ряд вспомогательных определений

Определение 1. Областью на комплексной плоскости (z) называют множество D точек, обладающих следующими свойствами:

а) вместе с каждой точкой из D этому множеству принадлежит достаточно малый круг с центром в этой точке (свойство открытости); б) любые две точки из D можно соединить ломаной, состоящей из то-

чек множества D (свойство связности).

Определение 2. Граничной точкой области D называют такую точку, которая сама не принадлежит D, но в любой окрестности которой лежат точки этой области.

Совокупность всех граничных точек области D называется ее границей.

11

12

Определение 3. Область D с присоединенной к ней границей (D) называют замкнутой областью.

Определение 2.1. Говорят, что на множестве D точек плоскости (z) задана функция

w = f(z);

если указан закон, по которому каждой точке z 2 D ставится в соответствие определенная точка из области N (однозначная функция) или совокупность точек w 2 N (многозначная функций).

Множество D называется множеством определения, а совокупность N всех значений w, которые f(z) принимает на D, множеством изменения функции f(z).

Пусть z = x + iy, w = u + iv. Тогда зависимость w = f(z)может быть описана с помощью двух действительных функций u, v двух действительных переменных x, y:

u = u(x; y); v = v(x; y):

Выясним геометрический смысл функции w = f(z). Условимся откладывать значения z на одной комплексной плоскости, а значения w на другой. Тогда функцию комплексного переменного можно геометрически представить как отображение множества D плоскости (z) на множество N плоскости (w).

Пусть в плоскости (z) кривая задана уравнением F (x; y) = 0. Чтобы найти уравнение образа (u; v) = 0 этой кривой в плоскости (w) при отображении с помощью функции w = f(z) = u+iv, нужно исключить x и y из уравнений:

8

> u = u(x; y);

>

<

v = v(x; y);

>

> F (x; y) = 0:

:

Если кривая задана параметрически уравнениями

(

x = x(t);

или z = z(t) = x(t) + iy(t);

y = y(t)

12

13

то параметрические уравнения ее образа при отображении w = f(z) = u + iv будут:

(

u = u(x(t); y(t)) = U(t); v = v(x(t); y(t)) = V (t);

Пример 2.1. Найти образы линий x = c, y = c при отображении w = z2.

Решение. Пусть z = x + iy, w = u + iv, тогда

Рис. 4

13

14

x = 0

w = z2

Рис. 5

Аналогично находятся образы линии y = c (сделайте это самостоятельно).

Определение 2.2. Если w = f(z) задана на множестве D и при этом двум различным точкам из D (z1 6= z2) соответствуют две различные точки из N (w1 6= w2), то такая функция называется однолистной в D

(аналогом однолистной функции комплексного переменного будет строго монотонная функция действительного переменного).

Определение 2.3. Однозначная и однолистная функция называется

взаимно однозначной.

2.2. Предел функции

Пусть f(z) определена и однозначна в некоторой окрестности точки z0 = x0 + iy0, кроме, может быть самой точки z0.

Определение 2.4. Будем говорить, что комплексное число A является

пределом функции f(z) при z стремящемся к z0, если для любого числа

" > 0 найдется число = ("), такое что jf(z) Aj < " для всех z из

окрестности точки z0, таких что 0 < jz z0j < .

Обозначим: A = lim f(z).

8 " > 0 9 = (") : jf(z) Aj < "; 8 z : 0 < jz z0j < :

14

15

Рис. 6

То есть, как только z попадает в -окрестность точки z0, так значения функции f(z) попадают в "-окрестность точки A.

Замечание 1. Отметим, что стремление f(z) к A не зависит от способа стремления точки z к точке z0. Иными словами, если предел существует, то при z ! z0 по любому закону (по любой линии, сектору, плоскости) функция f(z) будет приближаться к этому пределу.

Определение 2.5. Будем говорить, что f(z) имеет пределом бесконечность при z ! z0 (в этом случае функция f(z) называется бесконечно большой при z ! z0), если для любого сколь угодно большого E > 0 найдется

= (E), такое что

jf(z)j > E; как только 0 < jz z0j < :

Обозначается это так lim f(z) = 1.

Геометрическая интерпретация дана ниже (рис. 7).

15

16

Замечание 2. Отметим, что в комплексной плоскости одна бесконечно удаленная точка. В этом можно убедиться с помощью стереографической проекции.

Рассмотрим единичную сферу S, касающуюся комплексной плоскости в точке O(0; 0). Через P обозначим точку диаметрально противоположную точке O.

Каждой точке z, лежащей в комплексной плоскости поставим в соответствие точку M 2 S (M 6= P ), где M точка пересечения сферы S с лучом P z. Если точки zn ! 1 (удаляются от O(0; 0)), то соответствующие им точки Mn будут стремится к точке P . То есть точке z = 1 соответствует единственная точка P 2 S (см. рис. 8).

ζ

P

M

Замечание 3. Отметим, что комплексная плоскость, пополненная бесконечно удаленной точкой, называется расширенной комплексной плоскостью.

А теперь рекомендуем самостоятельно сформулировать и дать геометрическую интерпретацию следующим пределам:

A = a + ib; z0 = x0 + iy0; f(x) = u(x; y) + iv(x; y):

16

Наконец, опираясь на определение предела функции, а также теорему 2.1, можно, как и для функции действительного переменного, сформулировать и доказать теорему о действии с пределами и другие, но уже в комплексной плоскости, например:

lim (f(z) g(z)) = lim f(z) lim g(z));

z!z0 z!z0 z!z0

z!z0

Попробуйте сделать это самостоятельно.

2.3. Непрерывность функции комплексного переменного

Определение 2.6. Функция f(z) называется непрерывной в точке z0, если она определена в некоторой окрестности точки z0 (включая саму точку z0) и

Определение 2.7. Функция f(z) называется непрерывной в области

D, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Определение 2.8. Функция f(z) называется непрерывной на замкнутом множестве D, если в любой предельной точке z0 2 D имеет место равенство

lim f(z) = f(z0):

z!z0 (z2D)

17

18

Отметим, что все теоремы о функциях действительного переменного, непрерывных в точке, справедливы и для функций комплексного переменного, непрерывных в точке z0. Справедливы также теоремы о функциях, непрерывных на замкнутом ограниченном множестве D (первая и вторая теоремы Вейерштрасса, теорема Кантора и др.).

Сформулируйте их самостоятельно.

3. Дифференцирование функции комплексного

переменного

3.1. Производная. Геометрический смысл модуля и аргумента производной

Пусть f(z) определена в некоторой окрестности точки z 2 D, D область. Выберем z так, чтобы z + z тоже принадлежала этой окрестности.

Замечание. Переменная точка z + z стремится к точке z при z ! 0

произвольно, при этом lim w имеет одно и то же значение. Этот произвол

z!0 z

приводит к тому, что очень простые функции комплексного переменного не имеют производной.

Пример 3.1. Показать, что f(z) = z не имеет производной. Воспользуемся определением 3.1:

w = f(z + z) f(z) = ((x + x) i(y + y)) (x iy) = x i y;

w = x i y:z x + i y

Выберем два разных способа стремления z ! 0:

18

19

а) пусть x = 0, y ! 0, т. е. z + z ! z по путям, параллельным Oy:

Выясним геометрический смысл модуля и аргумента производной. Пусть функция w = f(z) однозначна и имеет производную в окрестности

точки z0, f0(z0) 6= ,0и отображает произвольную линию C, выходящую из точки z0, на некоторую линию C0, выходящую из точки w0 = f(z0). Обозначим через ' угол наклона к вещественной оси Ox линии C в точке z0, а черезугол наклона ее образа C0 к вещественной оси Ou в точке w0. Назовем

разность

= '

углом поворота кривой C в точке z0, а

lim j wj = K

z!0 j zj

коэффициентом растяжения кривой C. Угол поворота и коэффициент растяжения K для всех кривых, выходящих из точки z0, один и тот же (почему?). Поэтому величины и K будем называть углом поворота с коэффициентом растяжения самого отображения w = f(z). Можно доказать, что

геометрический смысл модуля и аргумента производной.

Пример 3.2. Найти коэффициенты растяжения и угол поворота в точках 1; 0; 1 + i для функции f(z) = z2 + 2z.

Решение. Вычислим f0(z) = 2z + 2. По формуле (3.2)

q

= arg f0(z0) = arg(2z0 + 2); K = jf0(z0)j = 2jz0 + 1j = 2 (x0 + 1)2 + y02;

19

3.2. Дифференцируемость. Условия Коши–Римана

Как и в случае функции действительного переменного справедливы следующие определения

Определение 3.2. Функция f(z) называется дифференцируемой в точке

где A комплексная постоянная, не зависящая от z; o(z) бесконечно малая функция более высокого порядка, чем z при z ! 0.

Можно показать, что A = f0(z), а дифференцируемость и существование производной для функции f(z) равносильные понятия, как и в случае функции действительного переменного.

Определение 3.3. Главная часть приращения дифференцируемой функции, линейная относительно приращения аргумента, называется диффе-

ренциалом

Возвращаясь к примеру 3.1, подчеркнем, что действительная и мнимая части дифференцируемой функции не могут быть произвольными, пусть даже дифференцируемыми функциями переменных x, y. Между ними должна существовать зависимость, которая выражается условиями Коши–Римана.

Теорема 3.1. Пусть функция комплексного переменного f(z) = u(x; y) + iv(x; y)

20