Теория функций комплексного переменного. Учебное пособие

61

Введем понятие интеграла типа Коши. Пусть '(t) определена и непрерывна на ориентированном контуре L (не обязательно замкнутом). Функция

Коши переходит в интеграл Коши. Справедлива следующая

Теорема 7.4. Функция f(z), определяемая интегралом типа Коши (7.14),

является аналитической функцией во всех точках z 62 Lи имеет в каждой точке производную любого порядка, которая выражается формулой

L

(Без доказательства.)

Формула (7.13) является частным случаем (7.15). Используя интегральные теорему, формулу Коши и обобщенную интегральную формулу можно сформулировать следующие свойства аналитической функции

Теорема 7.5. Функция, аналитическая в области, бесконечно дифферен-

цируема в этой области.

Доказательство. Запишем интегральную формулу Коши

C+

Атак как интеграл Коши является частным случаем интеграла типа Коши, то можно воспользоваться формулой (7.15) и

61

62

Следствие. Если f(z) = u(x; y) + iv(x; y) аналитическая в области D, то функции u(x; y), v(x; y) бесконечно дифференцируемы в этой области.

Определение 7.2. Средним значением функции f(z) на кривой L называется

1 Z

jLj

f(s) ds;

L

где jLj длина дуги L.

Теорема 7.6 (о среднем значении). Если f(z) аналитическая в круге jz z0j < и непрерывна в jz z0j 6 , то ее среднее значение на окружности

C : jz z0j = равна значению функции в центре этой окружности:

Доказательство. По интегральной формуле Коши (7.12)

Сделаем замену переменной t = z0 + ei', ' 2 [0; 2 ), тогда dt = i ei' d' и

Учитывая, что jdtj = ds = d', имеем

= 21 Z f(t) dt

C

среднее значение на окружности C .

Теорема 7.7 (Лиувилля). Если f(z) аналитическая во всей плоскости и ее модуль равномерно ограничен jf(z)j 6 M, 8 z, то f(z) const.

62

63

Доказательство. Зафиксируем точку z0 и рассмотрим окружность

jt z0j=R

При R ! 1 jf0(z0)j 6 0 ) jf0(z0)j = 0 ) f0(z0) = 0 ) f(z0) = const. А в силу произвольности точки z0 получим f(z) = const.

Теорема 7.8 (принцип максимума модуля). Если f(z) аналитиче-

6 8 2 j j

ская в D и непрерывна в D и f(z) const, z D, то f(z) достигает максимума на границе области D.

Теорема 7.9 (Морера). Если f(z) непрерывна в односвязной области

D и

Z

f(z) dz = 0

C

по любому замкнутому контуру C, лежащему в D, то функция f(z) аналитическая в D.

Пример 7.3. Вычислить

Zet dt

t(t 1)3 ;

63

64

Решение. а) Точка z = 0 лежит внутри контура jzj = 1=2, а точка z = 1 лежит вне этого контура, поэтому представим подинтегральную функцию в виде

б) Точка z = 1 лежит внутри jz 1j = 12, а z = 0 вне )

64

65

8. Вычеты. Применение теории вычетов

к вычислению интегралов

8.1. Вычеты. Основная теорема теории вычетов

Определение 8.1. Вычетом функции f(z) в изолированной особой точ-

>

:

где z0 единственная изолированная особая точка в области D+ с границей

C, если jz0j < 1 и в области D с границей C, если z0 = 1.

Из формулы (5.9) при n = 1 получаем

(

Res[f(z); z0] = a 1; jz0j < 1; (8.2)

a 1; z0 = 1;

1

где a 1 коэффициент при z z0 разложения главной части ряда Лорана

в случае jz0j < 1 и коэффициент при z1 разложения правильной части ряда Лорана в случае z0 = 1. Поэтому, если z0, jz0j < 1 устранимая особая точка f(z), то

а если z0 = 1 устранимая особая точка f(z), то вычет в ней, вообще говоря, не равен нулю

65

Теорема 8.1 (о полной сумме вычетов). Если f(z) аналитична в комплексной плоскости (z) за исключением изолированных особых точек z1, z2,

. . . , zn и точки z = 1, то полная сумма вычетов равна нулю:

Пример 8.1. Определить тип изолированных особых точек и найти в них вычеты для функций

а) f(z) = e1=z; б) f(z) = sin z sin z1:

Решение. а) Функция f(z) = e1=z имеет особенность в точках z = 0, z = 1. Ее ряд Лорана имеет вид

e1=z = 1 + z1 + 2!1z2 + 3!1z3 + : : :

Очевидно, что z = 0 существенно особая точка (главная часть содержит бесконечное число слагаемых). Аналогично z = 1 устранимая особая точка. Тогда по (8.2) имеем

Res[f(z); 0] = a 1 = 1; Res[f(z); 1] = a 1 = 1:

б) Функция f(z) = sin z sin z1 является четной, поэтому в разложении в ряд Лорана не будет нечетных степеней. Изолированными особыми точками для f(z) будут z = 0 и z = 1. Это существенно особые точки, так как f(z) не имеет предела при z ! 0 и z ! 1. А в силу того, что вычет по (8.2) равенa 1, то есть коэффициенту при z1, то в силу четности f(z) будем иметь:

Res[f(z); 0] = Res[f(z); 1] = 0:

66

67

Теорема 8.2 (основная теорема теории вычетов). Пусть функция

аналитическая всюду в замкнутой области за исключением конеч- f(z) D

ного числа изолированных особых точек zk, k = 1; 2; : : :; n, лежащих внутри

где C+ граница D.

Доказательство. Построим окружности

k : jz zkj = rk;

так чтобы круги jz zkj 6 rk не пересекались и содержались в D+. Область, полученную из D+ выбрасыванием этих кругов, обозначим D0 это (n+1) связная область, полная граница которой, согласованная с D0, будет

C0 = C+ [ 1 [ 2 [ : : : [ n :

Функция f(z) аналитическая в D0, и по теореме Коши для многосвязной

Решение. а) Особыми точками подинтегральной функции будут z1 = 1; z2 = 4i; z3 = 4i;

67

68

но внутри контура jzj = 3 лежит только одна из них z1 = 1, поэтому

Zsin z dz

(z + 1)(z2 + 16) = 2 i Res[f(z); 1] =

jzj=3

sin z

= 2 i lim (z + 1)(z + 1)(z2 + 16) =

= 2 isin( 1) = 2 i sin 1: 17 17

б) Единственной особой точкой внутри окружности jzj = 1 для функции z2e2=z является z = 0 существенно особая, так как разложение функции в ряд Лорана в окрестности этой точки содержит бесконечное число слагае-

jzj=1

8.2. Вычисление определенных интегралов от тригонометрических функций

Теорию вычетов можно использовать для вычисления определенных ин-

тегралов вида

2

Z

I = R(sin x; cos x) dx;

0

где R(sin x; cos x) рациональная функция от sin x, cos x, непрерывная на

68

69

При этом отрезок [0; 2 ] перейдет в окружность jtj = 1, обходимую против часовой стрелки.

Тогда

Здесь подинтегральная функция является рациональной по t, аналитической в круге jtj < 1 и имеет конечное число изолированных особых точек (полюсов и устранимых). Вычисление интеграла сводится к применению основной теоремы теории вычетов 8.2.

Замечание. Важно, чтобы отрезок интегрирования был длиной 2 (период). Если под знаком интеграла стоит четная функция R(sin x; cos x), то

Пример 8.3. Вычислить

2

Zdx

3i + 4 sin x:

0

69

70

Пример 8.4. Вычислить интеграл

Zdx

2 + sin2 x:

0

Решение. По формуле sin2 x = 12(1 cos 2x). Заменяем 2x = ' ! dx = d'2 ) x = 0 ! ' = 0;

Внутрь контура jtj = 1 попадает t1 = 5 2p6 полюс первого порядка, поэтому

8.3. Вычисление несобственных интегралов

Теорию вычетов можно также применить к вычислению несобственных интегралов от рациональных функций

+1

Z

R(x) dx:

1

70