Теория функций комплексного переменного. Учебное пособие

21

определена в окрестности точки z = x + iy. Для того, чтобы f(z) бы-

ла дифференцируема в точке z необходимо и достаточно, чтобы функции u(x; y), v(x; y) были дифференцируемы в точке (x; y) и чтобы в этой точке выполнялись условия Коши–Римана:

Доказательство. Необходимость. Итак, f(z) дифференцируема в точке z, тогда в силу (3.3), где A = f0(z)

Подставляя

f(z) = u + i v; f0(z) = A = a + ib; o( z) = o1( x; y) + io2( x; y);

получим

u + i v = (a + ib)( x + i y) + o1( x; y) + io2( x; y) =

= (a x b y + o1( x; y)) + i(b x + a y + o2( x; y))

или

u = a x b y + o1( x; y); v = b x + a y + o2( x; y):

Последние два равенства означают, что u(x; y), v(x; y) дифференцируемы

то есть условия (3.5) выполнены.

Достаточность. Пусть u(x; y), v(x; y) дифференцируемы в точке (x; y) и выполнены (3.5). Тогда из математического анализа известно, что

21

Замечание 2. Пусть z = rei' и f(z) = u(r; ')+iv(r; ') задана в полярных

Замечание 3. Так как свойства алгебраических действий и предельного перехода сохраняются при переходе от функции действительного переменного к функции комплексного переменного, то сохраняются таблица производных и все правила дифференцирования:

(f(z) g(z))0 = f0(z) g0(z); (f(z) g(z))0 = f0(z)g(z) + f(z)g0(z);

Определение 3.4. Однозначная функция f(z) комплексного переменного, дифференцируемая не только в точке z, но и в ее окрестности, называется аналитической в этой точке.

22

23

Определение 3.5. Функция, дифференцируемая в каждой точке области D, называется аналитической в области D.

Определение 3.6. Функция называется аналитической на кривой L

(замкнутом множестве D), если она дифференцируема как на самой кривой

L (множестве D), так и в некоторой окрестности этой кривой (множества).

3.3. Свойства аналитических функций

Сначала дадим следующее

Определение 3.7. Дважды непрерывно дифференцируемая в области D

функция u(x; y), удовлетворяющая уравнению Лапласа

называется гармонической в области D.

Определение 3.8. Две гармонические функции u(x; y), v(x; y), удовлетворяющие условиям Коши–Римана (3.5) в области D, называются гармонически сопряженными в этой области.

Теорема 3.2. Сумма, разность, произведение и частное двух аналитических функций в области D, есть снова аналитическая функция.

Доказательство очевидно.

Теорема 3.3. Вещественная и мнимая части аналитической функции есть функции гармонические.

Равенство (3.11) получается непосредственно из условий Коши–Римана, а бесконечную дифференцируемость мы получим чуть позже.

Замечание. Обратное утверждение неверно. Однако, если u(x; y), v(x; y) гармонически сопряженные, то f(z) = u(x; y) + iv(x; y) аналитическая.

23

24

Теорема 3.4. По известной гармонической функции можно с точно-

стью до константы восстановить аналитическую функцию, действитель-

ная (мнимая) часть которой совпадает с данной гармонической функцией.

(без доказательства).

Пример 3.3. Проверить, может ли функция

u(x; y) = x3 + 6x2y 3xy2 2y3

быть действительной частью аналитической функции f(z) и если да, то найти эту аналитическую функцию.

Решение. Чтобы ответить на первый вопрос, нужно проверить гармоничность функции u(x; y). Очевидно, она дважды непрерывно дифференцируема, поэтому осталось убедиться, что u(x; y) удовлетворяет уравнению Лапласа (3.11)

@2u @2u

@x2 + @y2 = 6x + 12y 6x 12y = 0:

Теперь найдем f(z), аналитическую, такую, что Re f(z) = u(x; y). Воспользуемся условиями Коши–Римана (3.5):

u0x = 3x2 + 12xy 3y2;

) из (3.5) u0x = vy0 )

Z

v(x; y) = (3x2 + 12xy 3y2) dy = 3x2y + 6xy2 y3 + '(x):

Используя второе из условий (3.5) u0y = vx0 , получим

6x2 6xy 6y2 = ( 6xy + 6y2 + '0(x));

откуда '0(x) = 6x2 и '(x) = 2x3 + c.

24

25

Итак,

f(z) = u(x; y) + iv(x; y) = x3 + 6x2y 3xy2 2y3 + + i(3x2y + 6xy2 y3 2x3 + c):

Если учесть, что

z3 = (x + iy)3 = x3 3xy2 + i(3x2y y3);

то f(z) можно упростить

f(z) = x3 3xy2 + i(3x2y y3) + 2(3x2y y3) 2i(x3 3xy2) + ic = = z3 2iz3 + ic = z3(1 2i) + ic:

3.4. Понятие конформного отображения

Определение 3.9. Отображение w = f(z) области D на D0 называется

конформным, если оно: а) взаимно однозначно; б) сохраняет углы между кривыми; в) в каждой точке растяжение одинаково по всем направлениям.

Теорема 3.5 (Римана). Если D, D0 односвязные области, граница которых состоит более чем из одной точки, то существует функция, конформно отображающая D на D0.

Принцип сохранения границ. Пусть даны две односвязные области

D и D0 с границами C и C0. Если функция w = f(z)

а) аналитична в , непрерывна в ;

D D

б) осуществляет взаимно однозначное отображение C на C0;

то она осуществляет и конформное отображение области D на D0, при этом, если при обходе кривой C область D остается слева (справа), то и при обходе кривой C0 область D0 остается слева (справа).

А теперь, возвращаясь к геометрическому смыслу модуля и аргумента производной, можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 3.6. Отображение с помощью аналитической функции w = f(z)

конформно в каждой точке, в которой производная f0(z) 6= 0.

25

26

4. Элементарные функции комплексного переменного

Теория элементарных функций комплексного переменного была в основном создана Леонардом Эйлером в его работах сороковых годов XVIII века. Функции комплексного переменного являются естественным распространением в комплексную плоскость обычных для анализа элементарных функций. Однако, при таком распространении они приобретают иногда новые свойства, например: показательная функция ez оказывается периодической, а sin z и cos z перестают быть ограниченными, приобретает смысл логарифм отрицательного числа и т. п.

4.1. Линейная функция

a, b постоянные комплексные числа, a 6= 0.

Перечислим свойства:

1)Область определения вся комплексная плоскость;

2)непрерывна;

3)(az + b)0 = a 6= 0, то есть аналитическая во всей комплексной плоскости;

4)линейное преобразование состоит в последовательном применении трех преобразований: поворот на угол = arg a вокруг точки z = 0; преобразования подобия с центром в z = 0 и коэффициентом K = jaj; параллельного переноса на вектор b. Поэтому линейное преобразование переводит любую фигуру в подобную ей.

Свойства:

1)w0 = z12 существует и отлично от нуля всюду, кроме точек z = 0 и z = 1, значит отображение инверсии конформно во всей комплексной

26

27

плоскости за исключением z = 0, z = 1. На самом деле, введя понятие угла между кривыми в точке z = 1, можно показать, что отображение инверсии конформно во всей комплексной плоскости.

2)Отображает окружность в окружность.

При этому слову ¾окружность¿ придается широкое толкование: прямая это тоже окружность, но бесконечного радиуса.

3)Переводит две точки z1 и z2 симметричные относительно окружности в точки w1 и w2, симметричные относительно образа этой окружности.

Определение 4.1. Две точки z1 и z1 называются симметричными относительно окружности jz z0j = R, если

а) они лежат на одном луче, выходящем из центра окружности, то есть

Arg(z1 z0) = Arg(z1 z0);

б) произведение расстояний от точек z1, z1 до центра окружности равно квадрату радиуса

a, b, c, d комплексные числа, такие что c 6= 0(иначе получим линейную

1)Область определения и множество значений расширенная комплексная плоскость, при этом точке

27

28

2)Является композицией двух линейных отображений и отображения инверсии:

3)Переводит окружность в окружность (здесь прямая понимается как окружность бесконечного радиуса).

4)Переводит точки симметричные относительно окружности в точки симметричные относительно образа этой окружности.

5)Полностью определяется, если задать образы w1, w2, w3 для трех произвольно выбранных точек z1, z2, z3

Замечание. Если среди w1, w2, w3 и z1, z2, z3 есть бесконечно удаленная точка, то нужное дробно-линейное преобразование находится из (4.4) путем предельного перехода.

4.4. Степенная функция

n > 1 натуральное число.

Свойства:

1)w0 = nzn 1 существует всюду, кроме z = 1 и не равно нулю, кроме z = 0. Поэтому отображение, которое производит степенная функция конформно в каждой точке, кроме точек z = 0 и z = 1.

2)Является взаимно однозначным во всей комплексной плоскости, если в качестве образов точек z берут не точки плоскости w, а точки так называемой римановой поверхности функции w = zn. Она состоит из n экземпляров комплексной плоскости с разрезом по лучу arg w = 0, расположенных одна над другой так, что точки с одинаковыми координатами были друг над другом. При этом берега разрезов склеиваются определенным образом.

28

29

3) Переводит n различных точек вида zk = rei('+2nk ), n = 0; 1; : : :; n 1 в одну и ту же точку

w = rn[cos(n' + 2 k) + i sin(n' + 2 k)] = rn(cos n' + i sin n') = rnein';

то есть является n-листным.

p

4.5. Функция w = n z

p

w = n z: (4.6)

Вводится как обратная по отношению к w = zn, то есть равенство (4.6) означает, что wn = z.

Свойства:

1) Является n-значной, то есть каждому значению z будет соответствовать

p

n значений n z, которые определяются по формуле:

p p ' + 2 k ' + 2 k

n z = n jzj cos + i sin ; k = 0; 1; : : :; n 1: n n

Очевидно, что геометрически нельзя истолковать многозначную функцию w = f(z) как отображение одной плоскости на другую. Обычно такие функции можно рассматривать как отображение областей на риманову поверхность. Более простой метод исследования многозначной функции это выделение отдельных ветвей.

Определение 4.2. Пусть w = F (z) многозначная функция, определенная в области D. Однозначную функцию w = f(z) называют ветвью многозначной функции w = F (z) в области D, если при любом z 2 D значение f(z) совпадает с одним из значений F (z) при том же z.

Определение 4.3. Пусть w = f(z) непрерывная ветвь многозначной функции w = F (z). Точку z0 2 D называют точкой разветвления функции w = F (z), если существует " > 0 такое, что при однократном обходе вокруг точки z0 по любому простому замкнутому контуру, содержащемуся

29

30

в"-окрестности точки z0, одна ветвь многозначной функции переходит

вдругую.

p

2) У функции w = n z две точки разветвления z = 0 и z = 1. Если в плоскости z сделать разрез по линии, соединяющей точки разветвления z = 0 и z = 1 (например, arg z = 0), то в любой области D, лежащей

p

в этой плоскости с разрезом ветви функции n z можно рассматривать как самостоятельные, так как ни одно из них не может перейти в другую.

4.6. Показательная функция

где x = Re z; y = Im z.

Свойства:

1)определена и непрерывна во всей комплексной плоскости;

2)ez 6= 0, 8 z 6= 1;

3)ez1 ez2 = ez1+z2; ez1 : ez2 = ez1 z2;

(ez)n = enz (докажите самостоятельно)

4)периодическая, T = 2 i (докажите самостоятельно);

5)ez аналитическая для всех z 6= 1 (это нетрудно показать, проверив условия Коши–Римана);

6)(ez)0 = ez (нетрудно показать, используя (3.8));

7)является бесконечно листной (следует из периодичности).

4.7. Логарифмическая функция

то есть вводится как обратная к показательной функции. А так как ez бесконечнолистная, то логарифмическая функция бесконечнозначная.

30