Теория функций комплексного переменного. Учебное пособие

n=1

Дирихле p = 2 > 1. Следовательно, в точке z3 = 2i ряд сходится абсолютно.

5.3. Ряды Тейлора и Лорана

Аналитическую функцию f(z) в окрестности каждой внутренней точки z0 области аналитичности можно разложить в ряд Тейлора

1

X

f(z) = a0 +a1(z z0)+a2(z z0)2 +: : : = an(z z0)n; jz z0j < R; (5.6)

n=0

радиус сходимости которого R равен кратчайшему расстоянию от точки z0 до ближайшей особой точки функции f(z). Представление f(z) в виде степенного ряда (5.6) в окрестности z0 единственно, а для коэффициентов Тейлора an справедливы формулы:

Функция f(z), однозначная и аналитическая в кольце r < jz z0j < R (не исключаются случаи, когда r = 0, R = +1), разлагается в этом кольце в ряд

Лорана

K произвольный контур, целиком лежащий в r < jz z0j < R.

41

42

Ряд

1

X

n=0

будем называть правильной частью ряда Лорана (члены ряда ограничены в окрестности z0), а ряд

главной частью ряда Лорана (члены ряда не ограничены в окрестности z0). Ряд (5.10), как степенной, сходится внутри круга jz z0j < R, а ряд (5.11) сходится вне круга jz z0j > r. То есть ряд Лорана позволяет функцию, аналитическую в кольце r < jz z0j < R представить в виде суммы

f1(z) + f2(z)

двух функций, из которых одна f1(z) аналитическая внутри большей окружности кольца, а вторая f2(z) во внешности меньшей окружности.

Если z0 = 1, то разложение ряда Лорана в проколотой окрестности записывается в виде

На практике при нахождении коэффициентов an стараются избегать формул (5.7), (5.9), так как они приводят к громоздким выкладкам. Обычно стремятся представить f(z) в виде суммы функций, для которых разложения известны.

42

Замечание. Чтобы разложить дробно-рациональную функцию

f(z) = P (z)

Q(z)

в степенные ряды Тейлора или Лорана, разлагают эту функцию на элементарные дроби и, пользуясь разложениями (5.17)–(5.19), разлагают в ряд каждое слагаемое.

Пример 5.2. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки z0 и найти

X

1 ( 1)n22n 1

= 1 + z2n; R = 1; (2n)!

n=1

так как формула (5.15) справедлива для любого z.

43

44

в) по степеням z.

Дробь

2z 5

z2 5z + 6

аналитична в кольце 2 < jzj < 3, так как имеет две точки разрыва z = 2, z = 3.

Дробь

1 z 2

44

45

аналитична вне круга jzj > 2, поэтому разлагается по отрицательным степе-

ням z; а дробь

1

z 3

аналитична внутри jzj < 3, поэтому разлагается по положительным степеням z:

Замечание. Можно не вести рассуждения об аналитическичности вне или внутри круга, а просто выносить из двух слагаемых, б´oльшее, учитывая в каком кольце просят разложить.

6. Нули и изолированные особые точки

аналитической функции

6.1. Нули

Определение 6.1. Пусть функция f(z) аналитическая в точке z0. Точка z0 называется нулем функции f(z) кратности (порядка) k, если выпол-

няются условия

Если k = 1, то точка z0 называется простым нулем.

Теорема 6.1. Точка z0 тогда и только тогда является нулем кратности k функции f(z), аналитической в точке z0, когда в некоторой окрестности

этой точки имеет место равенство

где '(z) аналитична в точке z0.

45

46

Если k = 1, то f(z) 0.

Теорема 6.2 (об изолированности нулей). Если f(z) аналитическая в области D и f(z) 6 0, то ее нули в этой области изолированы.

Доказательство. Пусть z0 нуль кратности k (k 6= 1 иначе f(z) 0), тогда в силу (6.2)

f(z) = (z z0)k '(z); '(z0) 6= 0:

Предположим от противного, что нуль z0 не изолирован, то существует fzng последовательность нулей функции f(z), zn 6= z0 и fzng сходящаяся к z0 2 D. Подставим zn в (6.2)

f(zn) = (zn z0)k '(zn) = 0 ) '(zn) = 0:

Но из аналитичности '(z) следует непрерывность, поэтому

Следствие. Если f(z) аналитическая в области D и последовательность ее нулей z1, z2, . . . , zn, . . . сходится к z0 2 D, то f(z) 0.

Теорема 6.3 (о единственности аналитической функции). Пусть

1)f(z), g(z) аналитические в области D;

2)нестационарная последовательность fzng (zk 6= zs, k 6= s) содержится в D и сходится к точке z0 2 D;

3)f(zk) = g(zk), k = 1; 2; : : :.

Тогда f(z) g(z).

Доказательство. Рассмотрим (z) = f(z) g(z) аналитическая в D и

(zn) = f(zn) g(zn) = 0; n = 1; 2; : : :;

то есть z1; : : :; zn; : : : нули функции (z). Но так как fzng ! z0 2 D, то по следствию из теоремы 6.2. (z) 0, значит f(z) g(z).

Следствие. Если f(z) и g(z) аналитические в области D и совпадают на дуге L D или некоторой подобласти D, то f(z) g(z).

46

47

6.2. Изолированные особые точки аналитической функции

Определение 6.2. Изолированную особую точку, конечную или беско-

нечно удаленную, называют:

а) устранимой, если в разложении в ряд Лорана главная часть отсут-

ствует, т. е. a n = 0, b = 1; 2; : : :;

б) полюсом, если главная часть содержит конечное число слагаемых,

отличных от нуля, то есть

Если a m 6=,0то говорят, что z0 полюс порядка m.

в) существенно особой, если главная часть содержит бесконечно много слагаемых отличных от нуля.

Теорема 6.4 (Признаки типа особой точки). Изолированная особая точка z0 (конечная или бесконечная) будет 1) устранимой особой точкой функции f(z) тогда и только тогда, когда

lim f(z) = A < 1:

z!z0

2) полюсом f(z) тогда и только тогда, когда

lim f(z) = 1;

z!z0

если при этом

47

48

Кроме того, для того, чтобы z = z0 была полюсом порядка m функции f(z) необходимо и достаточно, чтобы эта точка была нулем кратности m для функции f(1z).

Пример 6.1. Найти нули функции f(z) и определить их кратность

cos z = 1; zn = (2n + 1); n = 0; 1; : : :

нули данной функции. Далее

f0((2n + 1) ) = sin(2n + 1) = 0;

f00((2n + 1) ) = cos(2n + 1) = 1 6= 0;

Следовательно, точки zn = (2n + 1) , n = 0, 1, 2, . . . , являются нулями кратности 2.

z8

б) z sin z = 0 ) z = 0. Отметим, что знаменатель при z = 0 тоже

обращается в нуль. Так как lim f(z) = 0, то z = 0 устранимая особая

z!0

точка.

Определим порядок нуля z = 0. Используем разложение sin z в ряд Тей-

1

где '(z) = 3!1 z5!2 + : : :.

Очевидно, что '(z) аналитическая в точке z = 0 и '(0) = 6 6= 0. Следовательно, согласно (6.2), z = 0 является для данной функции нулем кратности 5.

48

49

Пример 6.2. Найти все изолированные особые точки функции и определить их тип (в случае полюса порядок)

Решение. а) Используем разложение

eu = 1 + u + u2 + : : : + un + : : :

2! n!

и положим u = z 1 1, тогда получим лорановское разложение функции f(z) в окрестности точки z0 = 1

11

=1 + (z 1) + 2!(z 1) + 3!(z 1)2 + : : :

главная часть

Это разложение содержит бесконечное число слагаемых в главной части. Значит, z = 1 существенно особая точка функции f(z).

б) особые точки

это корни знаменателя, то есть z = 0, sin z = 0 и z = 1.

Решая уравнение sin z = 0, получим z = k, k = 0, 1, . . . Итак, особые точки z0 = 0, zk = k, k = 1, 2, . . . Точка z = 1 не является изолированной особой точкой для f(z), так как она является предельной для

49

50

z = 0 устранимая особая точка.

Значит z = k, k = 1, 2, . . . полюсы. Определим порядок полюсов zk = k, k = 1, 2, . . . Воспользуемся (6.3)

при m = 1 ) zk = k простые полюса.

50