Теория функций комплексного переменного. Учебное пособие

31

1) Полагая w = u + iv, z = r(cos ' + i sin '), получим в силу (4.8)

eu+iv = r(cos ' + i sin ')

или

eu(cos v + i sin v) = r(cos ' + i sin ') ) eu = r; v = ' + 2 k; k = 0; 1; : : :

или u = ln r, v = ' + 2 k. Подставляя, имеем

w = Ln z = u + iv = ln jzj + i(' + 2 k); k = 0; 1; : : :

или

формула для вычисления. Из (4.9) очевидно, что логарифмическая функция определена для z 6= 0.

2) Если равенство многозначных функций понимать как совпадение множеств их значений, то имеют место следующие равенства

Замечание. Ln z 6= Ln z, при 6= 1 (вытекает из многозначности логарифмической функции).

3) имеет две точки ветвления z = 0, z = 1.

Доказательство. Пусть C простой замкнутый контур, содержащий z = 0, а z0 фиксированная точка на C. Если точка z совершает обход контура C (исходя из z0 и возвращаясь в нее), то при этом начальное и конечное значения jzj совпадут с jz0j, в то время как значение аргумента точки z возрастет на 2 . Таким образом, до начала обхода в точке z0 логарифмическая функция имела значение

(Ln z0)k = ln jz0j + i(arg z0 + 2 k)

(здесь рассматривается k-я ветвь, т. е. k фиксировано), то по завершению обхода

(Ln z0)k = ln jz0j + i((arg z0 + 2 ) + 2 k) = (Ln z0)k+1;

31

32

то есть перешли на другую ветвь. Значит, z = 0 точка ветвления функции w = Ln z. Аналогично с z = 1.

4) Нулевую ветвь логарифмической функции (k = 0) в плоскости с разрезом по лучу, выходящем из начала координат, называют ее главным значением и обозначают ln z:

4.8. Тригонометрические функции

Свойства:

1)Функции sin z, cos z определены и непрерывны в комплексной плоскости; tg z и ctg z определены и непрерывны всюду в плоскости (z) за исключением точек, в которых знаменатели равны нулю.

2)(sin z)0 = 21i(eiz e iz)0 = 12(eiz + e iz) = cos z,

(cos z)0 = 12(eiz + e iz)0 = 12(ieiz ie iz) = sin z.

3)Функция cos z четная, а sin z, th z, cth z нечетные.

4)Соотношения, связывающие тригонометрические функции действительного аргумента, распространяются и на комплексную плоскость, например sin2 z + cos2 z = 1 и т. д. В этом легко убедиться непосредственно из (4.11).

5) Периодические. У sin z и cos z период 2 , а у tg z и ctg z период .

6) Нули функций sin z и cos z действительные и равны

соответственно.

32

33

7) В отличие от синуса и косинуса вещественного аргумента в комплексной

Свойства:

1) Из определения (4.12) с учетом свойств показательной функции ez следуют непрерывность sh z, ch z во всей комплексной плоскости, а th z, ctg z всюду за исключением точек, где знаменатели равны нулю.

2)Гиперболические функции комплексного переменного на вещественной оси (z = y = 0) совпадают с соответствующими функциями действительного аргумента x.

3)Гиперболические и тригонометрические функции связаны тождествами

Доказательство. ch iz = 12(eiz + e iz) = cos z, аналогично с другими формулами.

33

34

4) Все нули функций sh z, ch z чисто мнимые и равны соответственно ik ; i k + 2 ; k = 0; 1; : : :

(Это вытекает из (4.13) и свойства 6) тригонометрических функций.

5)Функции ch z, sh z имеют период 2 i.

6)Функция ch z четная, а sh z, tg z, cth z нечетные.

4.10. Обратные тригонометрические функции

Свойства:

1)Функции arcsin z, arccos z определены во всей плоскости (z) и многозначны в ней, так как выражаются через многозначную логарифмическую функцию.

2) Функции arcsin z, arccos z имеют только три точки разветвления

z = 1; z = 1; z = 1:

У функции arctg z две точки разветвления z = i.

4.11. Общая степенная функция

где z, a комплексные числа, определяется равенством

Замечание. Доказательство всех вышеперечисленных свойств элементарных функций комплексного переменного рекомендуется провести самостоятельно или воспользоваться, например [3].

34

35

Пример 4.1. Вычислить

а) Ln( 1 i); б) ln( i); в) (1 i)3+3i; г) e3+ i; д) sh(2i):

(это можно было получить сразу, используя (4.13)).

35

36

36

37

Модуль 2. Ряды в комплексной плоскости

5. Числовые и функциональные ряды

5.1. Числовые ряды

Рассмотрим числовой ряд

и ряды, составленные из действительных и мнимых частей

x1 + x2 + : : : + xn + : : : ; y1 + y2 + : : : + yn + : : :

Обозначим частичные суммы соответственно

Определение 5.1. Ряд, как и прежде, называется сходящимся (расхо-

дящимся), если его последовательность частичных сумм Zn = Xn + iYn

сходится (расходится). Суммой ряда, если он сходится, называют предел

частичных сумм:

Таким образом, вопрос о сходимости ряда в комплексной плоскости эквивалентен вопросу о сходимости рядов, составленных из его действительных и мнимых частей, и все предложения, известные для рядов на вещественной оси, можно распространить на ряды в комплексной плоскости. Сформулируем некоторые из них.

Признак Даламбера. Если существует

zn+1

1

X

то при ` < 1 ряд zk сходится абсолютно, при ` > 1 расходится.

k=1

37

38

Признак Коши. Если существует

p

lim n jznj = `;

n!1

1

X

то при ` < 1 ряд zk сходится абсолютно, при ` > 1 расходится.

k=1

Так же, как для вещественных числовых рядов, можно показать, что если

1

X

zk сходится абсолютно, то

k=1

1

X

ряд zk просто сходится;

k=1

1

X

перестановка членов в ряде zk не нарушает сходимости и не меняет суммы. k=1

5.2. Функциональные ряды

Рассмотрим ряд

Как и в случае вещественных функциональных рядов, можно ввести понятие сходимости ряда (5.2) к сумме F (z) в области D и равномерной сходимости ряда (5.2) к F (z) (сделайте это самостоятельно). Можно сформулировать достаточный признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда (5.2), а также свойства суммы F (z) равномерно сходящегося ряда (непрерывность, почленное интегрирование и дифференцирование) (см. [3, стр. 127–132]).

38

39

Нас как и в математическом анализе больше будут интересовать степенные ряды в комплексной плоскости.

Рассмотрим степенной ряд

n=0

Очевидно, ряд (5.3) сходится в точке z = 0, а (5.4) в точке z = z0.

Теорема 5.1 (Абеля). Если степенной ряд (5.3) сходится в точке z1 6= 0, то он сходится абсолютно в круге jzj < jz1j. Если степенной ряд расходится в точке z2, то он расходится при jzj > jz2j (доказательство повторяет соответствующие рассуждения из математического анализа).

Как и в математическом анализе справедлива

Теорема 5.2 (об области сходимости). Для каждого степенного ряда

1

X

akzk

k=0

существует число R > 0 такое, что ряд сходится абсолютно при jzj < R

и расходится при jzj > R; Если jzj = R, то нужны дополнительные исследования. Число R называют радиусом сходимости, а круг jzj < R кругом сходимости (в нем ряд сходится абсолютно). Если R = 0, то ряд сходится в единственной точке z = 0. Если R = 1, то ряд сходится во всей комплексной плоскости.

Замечание. Для ряда (5.4)

1

X

an(z z0)n

n=0

круг сходимости задается неравенством jz z0j < R.

Для радиуса R справедливы, как и прежде, следующие формулы

39

40

Наконец, перечислим свойства степенных рядов:

1)Если R радиус сходимости ряда (5.4), то этот ряд сходится абсолютно и равномерно в любом круге jz z0j 6 R1 < R;

2)Степенной ряд можно интегрировать почленно по любому простому контуру, содержащемуся в круге сходимости, при этом его круг сходимости не меняется;

3)Сумма степенного ряда есть функция аналитическая в круге сходимости;

4)Степенной ряд можно почленно дифференцировать и при этом его круг сходимости не меняется.

Пример 5.1. Найти круг сходимости ряда

1 (z + i)n

X

n=1 n23n

и исследовать сходимость ряда в заданных точках (сходится абсолютно, сходится условно или расходится) z1 = 0, z2 = 3 + i, z3 = 2i.

Решение. Воспользуемся признаками Даламбера

40