Статистические методы контроля и управления качеством продукции. Учебное пособие по направлению подготовки 27.03.02 «Управление качеством»

x . Так как не все средние значения совпадают друг с другом, располагаем их в возрастающем порядке. Построив по упорядоченным значениям интервальный ряд, получим распределение средних арифметических.

Если количество выборок достаточно велико, то:

1)средняя арифметическая x распределения выборочных средних x совпадает с математическим ожиданием генеральной совокупности;

2)дисперсия 2x распределения выборочных средних зависит от

объема выборки п и связана с дисперсией 2 генеральной совокупности соотношением

x n ;

3)если генеральная совокупность распределена по нормальному закону, то распределение средних значений тоже будет нормальным. Но если генеральная совокупность имеет другой закон распределения, то распределение выборочных средних будет приближаться к нормальному, и тем лучше, чем больше объем выборок.

Этот закон играет большую роль в технике составления контрольных карт для средних значений.

В контрольных картах вместо среднего квадратического отклонения используется легко вычисляемая мера рассеяния – размах R, т.е. разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда наблюдений

Отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической, выраженное в процентах, называется коэффициентом вариации :

Коэффициент вариации показывает относительное колебание отдельных значений около средней арифметической. Дисперсия больших чисел будет больше дисперсии малых чисел. Коэффициент вариации исключает влияние значения величины.

Статистические методы в основном используются для регулирования технологического процесса или оценки партии готовой продукции. Естественно, на предприятии возникают задачи, которые не могут быть быстро решены вышеперечисленными методами. Если, например, возникает вопрос, является ли новый технологический процесс лучше старого, то нужно применять другие методы. Выдвигается «нулевая гипотеза», состоящая в том, что никакой существенной разницы между новым и старым процессом не имеется. Результаты выборочных наблюдений, по-

11

лученные при новом процессе, должны иметь такое же распределение, как результаты наблюдений старого процесса. В предположении, что нулевая гипотеза верна, нужно вычислить вероятность того, что старый процесс дает такую же «хорошую» выборку, как и новый процесс. Если эта вероятность очень мала, то нулевую гипотезу отклоняют и делают вывод, что новый процесс отличается от старого, имеется, как говорят, статистически значимая разница. Но если вероятность велика, то можно считать, что новый процесс мало отличается от старого.

Выбор величины малой вероятности произволен. Но на основе опыта установили определенные границы, которые называются уровнями значимости. Например, вероятность = 0,01 (1%) означает, что отклонение, равное или большее наблюдаемого, можно ожидать только один раз на 100 опытов. Такая малая вероятность указывает высокую степень значимости. Эту вероятность называют ошибкой 1 рода. Вместо уровня значимости используют иногда доверительную вероятность s = 100% – .

Чаще всего используют следующие уровни значимости: = 5%,

= 1%, = 0,1%.

1.2.2.Интервальная оценка показателей качества. Доверительный интервал. Доверительная вероятность

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью покрывает оцениваемый интервал.

Для оценки математического ожидания а нормально распределенного количества признака Х по выборочной средней xb при известном

среднеквадратическом отклонении генеральной совокупности служит доверительный интервал

где t n = – точность оценки;

n – объем выборки;

t – такое значение аргумента функции Лапласа Ф(t) (см. табл. 1.7), при котором Ф(t) = /2.

При неизвестном (и объеме выборки n > 30)

где s – исправленное среднее квадратическое отклонение; t – находят по таблице по заданным n и (табл. 1.1).

12

Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при известной дисперсии приведен в табл. 1.3.

Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по табл. 1.7 и прил. 1.

Результаты:

1.Точечная оценка параметра а:

ах.

2.Двусторонний симметричный доверительный интервал для а:

хK2 а х K2 .

3.Односторонние доверительные интервалы для а:

Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при неизвестной дисперсии приведен в табл. 1.4.

Квантили распределения Стьюдента определяют по прил. 2. Результаты:

1.Точечная оценка параметра а:

ах.

2.Точечная оценка параметра D:

D= S2.

3.Двусторонний симметричный доверительный интервал для параметра а:

хl2S а х l2S

4.Односторонние доверительные интервалы для параметра а:

1.3. Полигон и гистограмма

Для наглядности при анализе результатов строят различные графики статистическогораспределения, вчастности, полигонигистограмму.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х1; п1), (х2; п2), ..., (хk; пk). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты хi, а на оси ординат – соответствующие им частоты ni. Точки (хi; пi) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х1; W1), (х2; W2), ..., (хk; Wk). Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты хi, а на оси ординат – соответствующие им относительные частоты Wi. Точки (хi; Wi) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

На рис. 1.1 изображен полигон относительных частот следующего распределения:

15

Таблица 1 . 5

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру,

состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалыдлинойh, авысотыравны Whi (плотностьотносительнойчастоты).

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки,

параллельные оси абсцисс на расстоянии Whi . Площадь i-го частичного

прямоугольника равна h Whi = Wi – относительной частоте вариант,

попавших в i-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относи-

тельных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Размер интервала определяют следующим образом. Результаты измерения располагают в порядке возрастания, т.е. составляют вариационный ряд. Первоначально определяют размах варьирования как разность

Размах варьирования делят на некоторое число равных интервалов. Число интервалов К обычно рекомендуется брать в пределах от 8 до 20.

Границы интервала вычисляют путем последовательного прибавления ширины интервала в нижней границе вариационного ряда по формуле

где j – номер интервала.

17

Значение нижней границы первого интервала (j = 0) из формулы (1.13), равное xmin , может быть скорректировано в соответствии с корректи-

ровкой ширины интервала.

Если изобразить распределение на гистограмме и выяснить, в удовлетворительном ли состоянии находятся партия изделий и технологический процесс, то появится возможность активно разрешать проблемные моменты. Для этой цели, исходя из установленных пределов допуска, всесторонне рассматривают следующие вопросы: какова широта распределения по отношению к широте допуска; каков центр распределения по отношению к центру поля допуска; какова форма распределения. По форме распределения, которая обычно легко вырисовывается, попробуем рассмотреть, какие меры следует принимать в различных случаях. Ниже приводятся пояснения к рис. 1.3.

Рис. 1.3. Гистограмма частот (начало)

18

и

Рис. 1.3. Гистограмма частот (окончание)

19

На рис. 1.3,а форма распределения, поскольку ее левая и правая стороны симметричны, удовлетворительна. Если сравнить широту распределения с широтой поля допуска, то она составит приблизительно 3/4, т.е. в допуске имеется свободный излишек. Кроме того, поскольку центр распределения и центр поля допуска совпадают, качество партии находится в удовлетворительном состоянии. Следовательно, в данной ситуации можно продолжать изготовление продукции.

На рис. 1.3,б форма распределения по сравнению с формой, приведенной на рис. 1.3,а, отклонена вправо, поэтому и центр распределения тоже смещен. Имеется опасение, что среди изделий в остальной части партии могут находиться дефектные изделия, выходящие за верхний предел допуска. В этом случае в первую очередь проверяют, нет ли систематической ошибки в измерительных приборах; если измерительные приборы находятся в удовлетворительном состоянии, то продолжают изготовлять продукцию, отрегулировав операцию и сместив размеры так, чтобы центр распределения совпадал с центром поля допуска.

На рис.1.3,е центр распределения расположен правильно, однако, поскольку широта распределения совпадает с широтой поля допуска, имеется опасение, что со стороны верхнего и нижнего пределов допуска могут появиться дефектные изделия. Поскольку распределение получено по выборке из партии изделий, то имеется основание предполагать, что в остальной части партии могут быть дефектные изделия. Кроме того, следует думать, что если продолжать выполнять операции таким же способом, то обязательно появятся дефектные изделия. Следовательно, чтобы сузить широту распределения, необходимо принять меры для обследования с точки зрения точности оборудования, условий обработки, оснастки операций и т.д. Более того, в случае абсолютной невозможности принять техническое решение по данному вопросу рекомендуется рассмотреть возможность расширения допуска. Иными словами, необходимо еще раз определить, не становятся ли требования к качеству излишними.

На рис. 1.3,г центр распределения смещен, что говорит о присутствии дефектных изделий. Кроме того, поскольку широта распределения и широта поля допуска почти одинаковы, необходимо без промедления путем регулировки переместить центр распределения в центр поля допуска и либо сузить широту распределения, либо пересмотреть допуск.

На рис. 1.3,д центр распределения совпадает с центром поля допуска, но посколькуширотараспределениязначительнопревышаетширотуполядопуска, обнаруживаются дефектные изделия по обе стороны допуска. Необходимо твердопровестивжизньописанныевышеуправляющиевоздействия.

На рис.1. 3,е в распределении имеются два пика, хотя образцы взяты из одной партии. Это явление объясняется следующим: либо сырье фактически было двух разных сортов, либо в процессе работы была изменена

20