Специальные методы расчета трехфазных сетей. Метод симметричных составляющих. Учебное пособие

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

В. А. АКСЮТИН

СПЕЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТРЕХФАЗНЫХ СЕТЕЙ

МЕТОД СИММЕТРИЧНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК

2023

1

УДК 621.3.011.7(075.8) А429

Рецензенты:

д-р техн. наук, профессор З. С. Темлякова

канд. техн. наук, исполнительный директор АО «ПФК Обновление» В. В. Гречкин

Работа подготовлена на кафедре теоретических основ электротехники для самостоятельной работы студентов, изучающих курс «Теоритические основы электротехники»

Аксютин В. А.

А429 Специальные методы расчета трехфазных сетей. Метод симметричных составляющих: учебное пособие / В. А. Аксютин. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2023. – 78 с.

ISBN 978-5-7782-5050-5

В пособии рассматривается метод симметричных составляющих, применяемый при расчете несимметричных режимов трехфазных сетей как со статической, так и с динамической нагрузкой. Метод основан на разложении несимметричной системы на три симметричные: прямую, обратнуюинулевуюнапримерекороткихзамыканий, обрыва в линии. Приводятся теоретические сведения и большое количество примеров решения типовых задач. Предлагаются задачи для самостоятельного решения.

Структура и содержание пособия соответствуют программе курса «Теоретические основыэлектротехники» для электротехнических специальностейвуза. Предназначенодлясамостоятельнойработыстудентов и аспирантов, а также может быть полезно преподавателям при организации учебного процесса.

2

Симметричные составляющие отличаются друг от друга порядком следования фаз и называются системой прямой, обратной и нулевой последовательности векторов. Величинам, относящимся к системам прямой, обратнойинулевойпоследовательности, принятоприписыватьиндексы 1, 2 и 0 соответственно. Система прямой последовательности имеет такую же последовательность, как и исходная система. Система обратной последовательности имеет противоположную по сравнению с исходной системой последовательность. Система нулевой последовательности состоит из трех одинаковых по величине и направлению векторов. В связи с этим можно записать следующие соотношения:

Умножение любого вектора на комплексное число а соответствует его повороту на 120о против вращения часовой стрелки. Учтем, что

a3 e j2 1.

Последнее выражение позволяет исключать комплексное число а в степени больше двух. Поскольку 1, а и а2 образуют симметричную

систему, то 1 а а2 0 . Используя фазный множитель, можно переписать взаимосвязь величин, относящихся к разным последовательностям:

5

Докажем, что несимметричную систему векторов А, В и С можно разложить на симметричные составляющие. Если это так, то

В результате получили три уравнения для трех неизвестных величин, что и доказывает возможность разложения несимметричной системы на симметричные составляющие. Если взять сумму этих уравнений, то получим

A В С (1 а а2 ) А1 (1 а а2 )А2 3А0 ,

откуда

А0 13 (А В С).

Если те же уравнения сложить, то после умножения второго из них на а, а третьего на а2 получим

А аВ а2 С (1 а3 а3 )А1 (1 а2 а4 ) А2 (1 а а2 ) А0 ,

тогда

А1 13 (А аВ а2 С).

Аналогично после умножения второго уравнения на а2 , третьего на а и их суммирования получим

А а2 В аС (1 а4 а2 )А1 (1 а3 а3 )А2 (1 а а2 ) А0 ,

6

откуда

А2 13 (А а2 В аС).

По формулам для А1, А2 и А0 можно производить как аналитиче-

ское, так и графическое разложение несимметричной системы на симметричные составляющие.

На рис. 2 представлен пример несимметричной системы векторов А, Ви С через его симметричные составляющие.

Рис. 2

Отметим некоторые свойства трехфазных цепей в отношении симметричных составляющих.

1. Ток в нейтральном проводе равен сумме линейных токов. Если эти токи образуют несимметричную систему и мы их раскладываем на симметричные составляющие, то ток нулевой последовательности будет

I 0 13 (I A I B IC ) 13 I N .

2.Таким образом, по нейтральному проводу протекает тройной ток нулевой последовательности. На этом свойстве основана работа фильтров токов нулевой последовательности.

3.В любой трехфазной цепи сумма линейных напряжений согласно второму закону Кирхгофа дает нуль. Если они образуют несимметричнуюсистему, топриразложенииеенасимметричныесоставляющиенулевой последовательности не будет. В связи с этим на практике асимметрию линейных напряжений оценивают отношением составляющих

7

обратной последовательности к составляющим прямой последователь-

ности, выраженным в процентах: U2л 100 %. Согласно Госстан-

U1л

дарту не должен превышать 4 %.

ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ НЕСИММЕТРИЧНОЙ ТРЕХФАЗНОЙ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ

НА СИММЕТРИЧНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ

Пример 1.1

1. Упростить выражение:

I a a2 ,

2. Упростить выражение:

I a a2 3.

Решение:

Ia a2 3 e j 23 e2 j 23 3 e j120 e j240 3 2.

3.Упростить выражение:

I a a2 a3 .

Решение:

I a a2 a3 e j 23 e2 j 23 e3 j 23 e j120 e j240 e j360 0 .

4. Упростить выражение:

I a2 a3 a4 .

8

Решение:

I a a2 a3 e j 23 e2 j 23 e3 j 23

e j120 e j240 e j360 0.

5.Трехфазная несимметричная система векторов А, В и С разло-

жена на симметричные составляющие.

Определить величину векторов нулевой последовательности: А0 ,

В0 и С0 , если A0 В0 С0 .

Решение:

A В С (1 а а2 ) А1 (1 а а2 )А2 3А0 ,

Из этого следует, что

А0 13 (А В С).

Пример 1.2

На рис. 3 изображена несимметричная система линейных напряже-

U AB 380 0 ; U BC 380 90 ;

UCA 2 380 135 509 135 .

2.Определение симметричных составляющих прямой, обратной

и нулевой последовательности U1, U 2 и U 0 линейного напряжения UАВ :

9

U1 13 U AB aU BC a2UCA

13 (360 0 a 360 90 a2 509 135 ) 400 15 B;

U 2 13 U AB a2U BC aU CA

13 (36 0 0 a2 360 90 a 509 135 ) 120 105 B;

U 0 13 (U AB U BC U CA )

13 (360 0 360 90 509 135 ) 0 B.

Пример 1.3

В трехфазном генераторе (рис. 4), работающем вхолостую, произошло междуфазное короткое замыкание фаз В и С.

IA = 0 A

B IB

C IC

Рис. 4

Ток в фазе А равен нулю, а в фазах В и С составляет 150 A. В образовавшейся несимметричной системе векторов IA 0. Определить дей-

ствующие значения составляющих токов прямой, обратной и нулевой последовательности фаз.

Решение

1. Определение комплексов линейных напряжений (рис. 4):

I A 0 A; I B IC 150 A.

10