Специальные методы расчета трехфазных сетей. Метод симметричных составляющих. Учебное пособие

Токи нулевой последовательности не создают вращающегося магнитного поля и условия для их замыкания в АД такие же, как и у трехстержневого трансформатора, т. е. они отличаются от условий протекания токов прямой и обратной последовательности. Реально в АД имеет

место такое соотношение: Z1 Z 0 Z 2.

Трехфазныегенераторыобладаюттакимижесоотношениямимежду сопротивлениями разных последовательностей, как и двигатели, правда, они создают еще и систему ЭДС (как правило, прямой последовательности).

ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЙ СИММЕТРИЧНЫХ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ ТОКАМ РАЗЛИЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Пример 2.1

Ктрехфазномуприемникуприложенасимметричнаясистеманапряженийобратнойпоследовательности, причемкомплексноезначениеам-

плитуды напряжения на фазе С составляет UС2m 141еj50 В. Симметричная составляющая обратной последовательности системы

фазных токов (действующее значение для фазы А) I 2 А 14,1еj40 .

Определить комплексное сопротивление цепи для токов обратной последовательности.

Решение

Комплексное сопротивление цепи для токов обратной последовательности определим, как отношение комплекса симметричного фазного напряжения обратной последовательности к комплексу симметричного фазного тока обратной последовательности:

21

Пример 2.2

Рис. 11

Определить комплекс сопротивления нулевой последовательности трехфазной статической цепи, изображенной на рис. 11.

Кирхгофа для контура, образованного фазой А и нулевым проводом:

U A I AZ I N Z N .

Подставляя U A U 0 , I A I 0 , I N 3I 0 , находим U 0 I 0 (Z3Z N ), откуда Z0 Z 3Z N .

22

утроенное значение Z N , поскольку по этому сопротивлению протекает тройной ток нулевой последовательности.

Фактические токи определяем, суммируя симметричные составляющие:

Если нет нулевого провода, то используют только две схемы: схему прямой и схему обратной последовательности.

Поскольку метод симметричных составляющих основан на принципе наложения, то его можно применять только к линейным цепям.

ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА СИММЕТРИЧНЫХ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ СИММЕТРИЧНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ

Пример 3.1

К симметричной цепи (рис. 14) приложена несимметричная система напряжений. Заданы сопротивления прямой (Z1), обратной (Z 2 ) и ну-

левой (Z0 ) последовательности. Определить токи прямой, обратной и нулевой последовательности.

24

Рис. 14

Решение

1. Ток прямой последовательности в фазе А определяется отношением

I A1 U A1 .

Z1

2. Ток обратной последовательности в фазе А определяется отношением

I A2 U A2 .

Z 2

3. Ток нулевой последовательности в фазах определяется отношением

I 0 U 0 .

Z 0

Пример 3.2

При соединении вторичных обмоток трансформатора звездой допущена ошибка – начало намотки обмотки фазы С и конец ее намотки Z были перепутаны. В результате схема соединений приобрела вид, изображенныйнарис. 15. Пользуясьметодомсимметричныхсоставляющих, найти фазные напряжения прямой, обратной и нулевой последователь-

ности вторичной обмотки трансформатора, если Uф = 240 В.

25

Рис. 15

Найти токи прямой, обратной и нулевой последовательности, если приемник соединен звездой с нейтральным проводом и безнего. Сопро-

тивления фаз приемника одинаковы: ZA ZB ZC R 20 Ом.

Решение

Система из трех несимметричных векторов вторичных напряжений трансформатора U A, U B и U C может быть заменена тремя системами

векторов: системой из трех симметричных векторов U A1, U B1 и UC1

прямой последовательности; системой из трех симметричных векторов U A2 , U B2 и U C2 обратной последовательности и из трех совпадаю-

щих векторов U A0 , U B0 и U C0 нулевой последовательности. Направив UА по оси вещественных значений, запишем:

Определим составляющие прямой последовательности:

U A1 13 U A aU B a2U C ,

где a e j 23 0,5 j0,866 и a2 e j 43 0,5 j0,866 .

26

Определим составляющие обратной последовательности:

Составляющие нулевой последовательности вторичных напряжений трансформатора:

При отсутствии нулевого провода токи прямой последовательности в линейных проводах:

Токи обратной последовательности:

27

Токи нулевой последовательности:

I A0 I B0 IC0 0 A.

При включении нейтрального провода токи прямой и обратной последовательности в линейных проводах сохраняются и к ним добавляются токи нулевой последовательности:

I A0 I B0 I C0 4 j4 3 A.

В нейтральном проводе:

I A1 I B1 I C1 0 , I A2 I B2 IC2 0 и I 0 3I A0 12 j12 3 A .

Пример 3.3

К трехфазному потребителю приложена симметричная система фазных напряжений прямой последовательности: U 1 220е В. Симметричные составляющие системы фазных токов:

Определить активную мощность Р, потребляемую нагрузкой.

Решение

Активную мощность Р определим как сумму мощностей, потребляемых нагрузкой от каждой симметричной составляющей:

P1 Re U1I1 Re(220e j45 10e j105 )

220 10cos (45 105) 1100 Bт;

P2 Re U 2 I2 Re(0 2e j75 ) 0 Bт;

PC Re U 0 I0 Re(0 3e j160 ) 0 Bт.

Полная мощность, потребляемая нагрузкой:

P 3(P1 P2 P0 ) 3300 Bт.

28

Пример 3.4

К симметричному трехфазному потребителю, соединенному звездойбезнулевогопровода, приложенасистемафазныхнапряжений, симметричные составляющие которой в фазе А:

Комплексы сопротивления фаз цепи для токов прямой и обратной последовательности составляют: Z1 Z2 10е j30 Ом.

Определить реактивную мощность Q, потребляемую трехфазной нагрузкой.

Решение

Определим токи в фазе А:

ток прямой последовательности:

Реактивную мощность определим как сумму мощностей, потребляемую нагрузкой от каждой симметричной составляющей:

Полная реактивная мощность, потребляемая нагрузкой:

Q 3(Q1 Q2 Q0 ) 750Im.

29

Пример 3.5

К трехфазному потребителю приложена симметричная система фазных напряжений обратной последовательности U 2 = 100 В.

Симметричные составляющие системы фазных токов равны:

I1 15е j45 A, I 2 5еj45 A и I 0 0 A.

Определить реактивную мощность Q, потребляемую трехфазной нагрузкой.

Решение

Реактивную мощность определим как сумму мощностей, потребляемую нагрузкой от каждой симметричной составляющей:

Q1 Im U1I1 Im 0 15e j45 0 вар;

Q2 Im U 2I2 Im 100e j0 5e j45 5002 вар;

Q0 Im U 0I0 Im(0 0) 0вар.

Полная реактивная мощность, потребляемая нагрузкой:

Q 3(Q1 Q2 Q0 ) 750 2 вар.

Пример 3.6

На входе цепи (рис. 16) действует несимметричная система линейных напряжений генератора: UAB ,UBC и UCA.

Рис. 16

30