Специальные методы расчета трехфазных сетей. Метод симметричных составляющих. Учебное пособие

Пример 1.4

Ток в нейтральном проводе несимметричной трехфазной системы равен 5 A. Определить симметричную составляющую тока нулевой по-

следовательностей I 0 системы линейных токов.

Решение

I 0 13 (I A I B I C ) 13 I N 53 A.

Пример 1.5

В цепи (рис. 5) действует симметричная система ЭДС ЕА, ЕB и ЕC . Определить симметричную составляющую тока прямой I A1 , обрат-

ной I A2 и нулевой последовательности I A0 в фазе A.

Решение

1. Определение комплексовдействующих значений линейных токов

(рис. 5):

11

EАA Z IA

Рис. 5

2.Определение симметричных составляющих прямой, обратной

инулевой последовательности U1, U 2 и U 0 линейного напряже-

ния UАВ :

Пример 1.6

На рис. 6 в произвольном масштабе изображена векторная диаграмма линейных и фазных напряжений некоторой трехфазной цепи с двумя нагрузками – симметричной и несимметричной, соединенных звездой без нулевого провода.

На векторной диаграмме (рис. 6) 0 – нейтральная точка симметричного приемника, а 0' – нейтральная точка несимметричного приемника.

нагрузки. Нагрузкивключеныпараллельнонепосредственноназажимы генератора.

U 00 – напряжение между нулевыми точками нагрузок.

12

Рис. 6

Определить симметричную составляющую нулевой последовательности фазных напряжений несимметричного приемника.

Решение

1. Определение составляющей нулевой последовательности фазных напряжений симметричной нагрузки.

Точка «0» является центром тяжести треугольника линейных напряжений.

Тогда фазные напряжения:

Составляющая нулевой последовательности фазных напряжений симметричной нагрузки:

U 0 13 (U A U B U C )

13 (U BA U CA U AB U CB U AС U BC ) 0.

2.Определение составляющей нулевой последовательности несимметричной нагрузки.

Фазные напряжения несимметричной нагрузки (рис. 6):

13

Составляющая нулевой последовательности фазных напряжений несимметричной нагрузки:

U 0 13 (U А0 U B0 U C0 ) 13 (U A U B U C ) 3U 00 U 00 .

Пример 1.7

Несимметричная система векторов А, В, С разложена на симмет-

ричные составляющие: А1 10 j, А2 10 j и А0 10 j. За основной

вектор принят вектор А.

Определить комплексы векторов А, ВиС.

Решение:

A A1 A2 A0 10 j 10 j 10 j 30 j.

Ba2 A1 a A2 A0 a2 10 j a 10 j 10 j (a2 a 1)10 j 0;

Ca A1 a2 A2 A0 a 10 j a2 10 j l0 j (a a2 1)10 j 0.

Пример 1.8

Несимметричная система напряжений U A, UB и UС разложена на

j100 B. За основной вектор принят вектор U A . Определить комплексы напряжений UA,UB и UС.

Решение:

U A U1 U 2 U0 120 j 20e j210 100 j 20 3 e j120 B;

Пример 1.9

Несимметричная система токов I A , I B и I С разложена на симмет-

14

Определить комплекс тока I A , I B и I С .

Решение:

I A I1 I 2 I 0 10 j 5e j30 5 j 5e j30 A;

Пример 1.10

Однофазные трансформаторы напряжения, изображенные на рис. 7, имеют коэффициент трансформации, равный единице. Симметричные составляющие системы фазных напряжений равны:

Определить показание вольтметра электромагнитной системы, подключенного к вторичным обмоткам трансформаторов.

Решение:

UV U A U B U C

U1 U 2 U 0 a2U1 aU 2 U0 aU1 a2U 2 U 0

U1(1 a2 a) U 2 (1 a a2 ) 3U 0 0 0 3U 0 30e j30 B.

Пример 1.11

Токи во вторичной и первичной обмотках трансформаторов тока (рис. 8) равны. Симметричные составляющие системы фазных токов:

I1 50 A, I 2 20A и I 0 j5 A.

Определить показание амперметра электромагнитной системы.

Решение:

I I A I B I C

I1 I 2 I 0 a2 I1 aI 2 I 0 aI1 a2 I 2 I 0

I1(1 a2 a) I 2 (1 a a2 ) 3I 0 0 0 3I 0 15e j90 A.

15

Отношение комплекса симметричного фазного напряжения прямой последовательности к комплексу симметричного фазного тока прямой последовательности называется комплексным сопротивлением цепи для токов прямой последовательности:

Если же к зажимам цепи приложить симметричную систему фазных напряжений обратной последовательности

товнулевомпроводетоканебудет, асистемафазныхтоковтакжебудет симметричной и иметь обратную последовательность:

Отношение комплекса симметричного фазного напряжения обратной последовательности к комплексу симметричного фазного тока обратной последовательности называется комплексным сопротивлением цепи для токов обратной последовательности:

Если же к зажимам цепи приложить симметричную систему фазных напряжений нулевой последовательности UA UВ UС U0 , то си-

стема токов в цепи также будет иметь нулевую последовательность:

цепи для токов нулевой последовательности.

18

Чтобы определить Z0 , составим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, образованного фазой А и нулевым проводом:

U A I AZ I N Z N .

Подставляя U A U 0 , I A I 0 , I N 3I 0 , получим U 0 I 0 (Z3Z N ), из чего следует, что Z0 Z 3Z N .

При отсутствии нулевого провода Z N и, следовательно, токи нулевой последовательности замыкаться не могут. Если Z N 0 , то

Z 0 Z .

На практике сопротивления Z1 Z 2 и Z 0 обычно сокращенно назы-

вают сопротивлением прямой, обратной и нулевой последовательности соответственно.

AA X

BB Y

Рассмотрим случай, когда нагрузкой является трехфазный трансформатор, обмотки которого соединены в звезду (рис. 10). К трансформатору подведена симметричная система напряжений прямой или обратной последовательности. Токи в обмотках будут иметь соответственно прямую или обратную последовательность, а создаваемые ими магнитные потоки будут замыкаться только по стержням трансформа-

тора, причем их сумма всегда равна нулю: ФА ФВ ФС 0. Это свидетельствует о том, что сопротивления Z1 Z 2.

19

Если же к трансформатору подвести систему напряжений нулевой последовательности, то при отсутствии нулевого провода токи нулевой последовательности замыкаться не смогут. При наличии нулевого про-

водас сопротивлением Z N сопротивление токам нулевой последовательности будет Z 0 = Z 00 + 3Z N , где Z 00 – сопротивление трансформатора для токов нулевой последовательности. Если Z N = 0,

то Z 0 = Z 00.

Обсудим соотношение между Z 00 и Z 1 (Z 2 ). Поскольку токи ну-

левой последовательности во всех обмотках не имеют сдвига по фазе, то совпадают по фазе и магнитные потоки во всех стержнях трансформатора. Поэтому они не могут замыкаться по соседним стержням и вынуждены замыкаться по воздуху вокруг каждой обмотки в отдельности в отличие от предыдущего случая, когда потоки замыкались по стержням сердечника. Поэтому магнитные потоки при одних и тех же значениях токов во втором случае будут значительно меньшими. Следовательно, значительноменьшимибудутиндуктивностиииндуктивныесо-

противления токам нулевой последовательности, т. е. Z 00 << Z 1 = Z 2.

Еще большее различиесопротивлений токам разных последовательностей у асинхронного двигателя (АД). Поясним причину этого различия. В нормальном режиме работы АД, когда к обмоткам статора подведенасимметричнаясистеманапряжений прямой последовательности, магнитное поле и ротор вращаются в одну сторону, причем частота вра-

щения ротора р на 2…5 % меньше частоты вращения поля ω. Если в

этом режиме мгновенно поменять последовательность фаз, приложенных к статору, а ротор по инерции или с помощью посторонних сил будет вращаться в прежнюю сторону, то для двигателя это и есть режим обратной последовательности. Поскольку в этом режиме на несколько порядковвозрастаетскоростьпересеченияпроводниковобмотокротора вращающимся магнитным полем, то по сравнению с нормальным режимом резко возрастают токи ротора. Поскольку токи статора примерно пропорциональны токам ротора, то они тоже резко возрастают. Это говорит о том, что сопротивление АД токам обратной последовательности намного меньше, чем сопротивление токам прямой последовательности.

20