2. ПРИНЯТИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
Теоретической базой проектирования больших технических систем является системотехника, которая ставит своей целью создание и изучение наиболее общих способов описания законов функционирования и методов анализа и синтеза больших систем. В отличие от технических дисциплин, изучающих отдельные процессы, объекты, элементы и устройства, системотехника изучает поведение больших совокупностей определённым образом взаимосвязанных процессов, объектов и устройств.
Системотехника тесно переплетается с теорией исследования операций, в которой излагаются критерии оптимальности и оценки эффективности различных решений, операций, проектов, а также даются математические методы оптимизации различных решений. Таким образом, исследование операций, наряду с концепциями системного подхода, является методологической основой принятия оптимальных решений при проектировании технических систем.
После формализации на основе математического моделирования задача проектирования системы может быть сведена к задаче нахождения глобального экстремума функции многих переменных (параметров) при ограничениях на эти параметры в виде функциональных равенств и неравенств. Область вычислительной математики, занимающаяся решением таких задач (математическое программирование), является математической основой проектирования оптимальных систем.
Системное исследование – это изучение системы и её поведения в целом как единого объекта, выполняющего определённые функции в конкретных условиях. Системный подход – это учёт всего, что влияет на выполнение системой поставленных перед нею задач и достижение определённых целей.
В основе системного подхода лежит предположение о возможности расчленения сложных систем и процессов на составляющие их относительно самостоятельные элементы (подсистемы, подпроцессы). Это существенно облегчает анализ и синтез сколь угодно сложных систем.
Реактор или биореактор – как сложная система, являющаяся в свою очередь подсистемой для более высокой иерархической структуры, технологической или биотехнологической системы, характеризуется совокупностью взаимосвязанных явлений и элементарных процессов, протекающих на различных уровнях. Количественное представление элементарных процессов и их взаимосвязь основываются на использовании фундаментальных законов физики, химии, биохимии; формируются в виде математической модели системы.
При анализе процессов, протекающих в биореакторе, всю совокупность явлений в них можно разделить на два уровня: микроуровень и макроуро-
15
вень. К факторам, определяющим микроуровень, относится совокупность явлений, происходящих на уровне отдельных клеток. Анализ процессов
вклетках оценивается интегрально как скорость роста клеток, их деления, гибели и т.д. К факторам, определяющим макроуровень, относятся эффекты гидродинамические, тепловые, диффузионные, структура которых определяется особенностями конструкции аппарата, характером и способами подвода энергии и др.
Согласно системному подходу в биореакторе можно выделить пять уровней иерархии. Первый уровень иерархии характеризуется условиями функционирования отдельных клеток. Процесс развития клеток рассматривается как процесс, интегрально учитывающий внутриклеточные явления, когда клетка развивается в среде с локально определёнными характеристиками. Они определяются тем, какое количество кислорода растворено в микроокружении клетки, какое количество питательных солей, углеродсодержащего субстрата находится непосредственно около клеточной оболочки.
Второй уровень иерархии представляет совокупность эффектов на уровне агрегатов (глобул). Развитие клеток в агрегате неодинаково при неизменных внешних условиях. Это связано с тем, что клетки, находящиеся внутри агрегата получают меньше питательных веществ и для них затруднён отвод продуктов метаболизма.
Третий уровень иерархии характеризует перенос массы, энергии в гетерогенной среде через границу раздела фаз. В качестве исходной причины возникновения межфазных потоков субстанций служит неравновесность гетерогенной системы, которая состоит из неравновесности по составу, неравновесности по температуре и скоростной неравновесности. Потоки массы и энергии обусловливают изменение сплошной и дисперсной фаз, а также других физических и термодинамических характеристик фаз: вязкости, плотности, теплоёмкости, состава, температуры и т.п. Изменения физикохимических характеристик фаз оказывает влияние на степень удаления гетерогенной системы от равновесия.
Перенос массы и энергии через границу раздела фаз нарушает равновесие сил на межфазной границе и обусловливает местные неравномерности её поверхностного натяжения. Существенный вклад в деформацию границы раздела фаз вносят различия в динамическом напоре турбулентных вихрей
вотдельных точках межфазной поверхности.
Скоростная неравномерность фаз приводит к появлению поверхностной диффузии, при этом создаётся неравномерность распределения поверхностно активных веществ по поверхности включения.
К четвёртому уровню иерархии относятся следующие эффекты. Каждый элемент дисперсной фазы при стеснённом движении включений в ограниченном объёме сплошной среды оставляет в ней турбулентный след, что при-
16
водит к изменению поля концентраций, температур, скоростей, давлений и других физико-химических характеристик. Явления четвёртого уровня иерархии определяют гидродинамическую обстановку в локальном объёме аппарата. Локальная гидродинамика проявляется в некотором объёме и содержится достаточно много включений дисперсной среды.
Пятый уровень иерархической структуры эффектов составляет совокупность явлений, которые определяют гидродинамическую обстановку на макроуровне в аппарате. Эта совокупность явлений характеризует структуру потоков в аппарате в целом. Она определяется конструктивными особенностями аппарата: геометрические особенности, тип перемешивающих и теплообменных устройств, расположение входных и выходных патрубков, наличие
иформа отражательных перегородок, диффузоров и т.п.
Впроцессе изменения гидродинамической структуры потоков (застойных зон, зон ламинарного и турбулентного течения, циркуляционных токов) изменяются количественные характеристики: распределения частиц сплошной и дисперсной фаз по траекториям, по времени пребывания в аппарате и т.п., что в свою очередь сказывается на формировании полей концентраций
итемператур в масштабе аппарата.
Мы рассмотрим разделение системы на пять уровней. Однако структура эффектов и число уровней иерархии могут классифицироваться по-разному. Поэтому важными задачами системного проектирования являются обоснованное расчленение (декомпозиция) системы на подсистемы, а процесса проектирования на подпроцессы (этапы) и определение существенных структур- но-функциональных связей между расчленёнными элементами (определение «входов» и «выходов»).
Системное проектирование всегда направлено на поиск параметров системы, оптимальных в смысле выполнения ею своего функционального назначения с учётом возможностей многофункциональности и взаимосвязи с другими подсистемами. При этом определение взаимосвязанного комплекса критериев, позволяющих на каждом уровне расчленения системы отыскивать с помощью формальных методов её оптимальные параметры, а также иметь возможность объективно оценивать результаты проектирования, также является одной из важнейших задач системного проектирования.
Поскольку системное проектирование опирается на широкое использование математических методов исследования и компьютеров для решения проектных задач, не менее важна разработка приемлемых математических моделей исследуемых систем и процессов. Такие модели должны позволять применение формальной логики и элементарных арифметических операций для решения весьма сложных задач. Последующие задачи системного проектирования направлены на разработку алгоритма и программы для решения задачи с использованием компьютера, анализ результатов и подготовку материалов для принятия решений.
17
Анализ структуры объекта и иерархии задач проектирования позволяет обоснованно подойти к проблеме декомпозиции объекта на подсистемы, а процесса его проектирования – на ряд взаимосвязанных задач. Методология системного проектирования базируется на следующих основных положениях об оптимальности систем.
В общем случае система, состоящая из оптимальных элементов (подсистем), не обязательно будет оптимальной. Она должна оптимизироваться в целом как единый объект с заданным целевым назначением. Это, однако, не означает, что оптимизация по частям вообще не имеет смысла.
Система должна оптимизироваться по количественно определённому и единственному критерию, отражающему в математической форме цель оптимизации. Отсутствие такого критерия, как правило, свидетельствует о нечётном понимании разработчиком стоящей перед ним задачи.
Поскольку система оптимизируется в условиях количественно определённых ограничений на оптимизируемые параметры, её оптимальность всегда относительна, условна.
В этих условиях весьма важной проблемой является выбор системы критериев, позволяющих для каждого рассмотренного уровня проектных задач, для каждого элемента подсистемы выбирать такие параметры и характеристики, которые бы обеспечивали высокую эффективность системы в целом. При этом необходимо руководствоваться принципом оптимальности, который гласит: если объекты элементов и подсистем всех уровней оптимальны по критериям, соответствующим системам более высокого уровня, то вся система оптимальна. Это означает, что критерии каждой стадии проектирования и в каждой подсистеме могут быть непротиворечивы, отвечая общим целям.
Приведём основные правила выбора критериев с учётом особенностей связей.
Правило 1. При выборе оптимальных параметров определённого объекта с фиксированными функциональными связями необходимо, чтобы критерии, используемые в случае оптимизации его элементов и подсистем, являлись показателями качества соответствующих систем более высокого уровня.
Правило 2. В случае оптимизации параметров объектов, имеющих прямые функциональные связи, необходимо, чтобы эти объекты были оптимальны по критерию оценки системы, функции которой они выполняют.
Правило 3. При выборе оптимальных параметров объекта, определяющих иерархические функциональные связи, в качестве критерия следует принимать показатель качества системы высшего уровня, ограничивающий рамки влияния указанных параметров.
18
Математическое моделирование проектных задач с использованием информационных технологий является важнейшей составной частью методологии системного проектирования.
Моделирование предполагает построение модели и её исследование, включающее отыскание допустимых решений, анализ чувствительности модели и оптимизацию. Построить модель системы – это значит дать её количественное описание с помощью системы уравнений, связывающих параметры и характеристики системы. Под параметрами системы мы понимаем независимые переменные и их численные значения. Характеристики – это переменные и их численные значения, зависящие от значений параметров. Отметим, что в иерархических системах понятия «параметр» и «характеристика» имеют относительный характер, поскольку параметры верхнего уровня при переходе к нижнему уровню обычно превращаются в характеристики.
Построение математической модели начинается с формализованного описания проектируемого объекта, которое в общем случае представляет собой смысловое выражение его модели. Для этого вначале целесообразно выявить параметры, которые могут оказать существенное влияние на результаты моделирования. Это весьма ответственный этап деятельности проектировщика, носящий творческий характер, поскольку определение существенности в значительной степени зависит от стадии проектирования, типа решаемой задачи (её постановки), а также в не меньшей степени от опыта проектировщика и наличия априорных сведений и проектируемом объекте.
Количество таких параметров на определённом этапе проектирования должно быть таким, чтобы набор их конкретных значений давал достаточную информацию для принятия необходимых на рассматриваемом уровне разработки проекта решений.
После составления перечня существенных параметров приступают к следующему этапу разработки модели – установлению отношений (связей) между параметрами, а также между параметрами и характеристиками. При этом важно из всего многообразия таких отношений выделить наиболее существенные, позволяющие получить необходимую информацию о возможности реализации тех или иных проектных концепций для удовлетворения целей проектировщика, а также меру эффективности этих концепций.
При рассмотрении отношений может выясниться, что некоторые параметры не удаётся при существующем уровне знаний связать отношениями с характеристиками, другими параметрами. В этом случае их приходится исключать из формализованного описания модели, оставляя для последующего рассмотрения. Следующим этапом построения модели является её математическое описание. Для математического описания обычно используются конечные алгебраические и трансцендентные уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных.
19
В зависимости от того, учитывается ли фактор времени в модели, различают динамические и стационарные модели. Последние, естественно, более просты для исследования и поэтому используются чаще.
Заключительный этап построения модели – разработка вычислительного алгоритма, т.е. определённой последовательности расчётов и логических процедур для решения поставленной задачи, проводимых на основе определённых методов и математической модели системы.
Осуществив программную реализацию алгоритма, математическую модель необходимо проверить на соответствие моделируемому объекту путём решения тестовой задачи. В процессе испытания модели устраняют возможные ошибки, уточняют и при возможности упрощают математическое описание, сокращают число независимых параметров.
Создание АСПОР невозможно без разработки математических методов. Под оптимальной конструкцией будем понимать такую, которая обладает экстремальным свойством по отношению к некоторому критерию. Рациональной будем называть конструкцию, набор характеристик которой удовлетворяет сложившемуся уровню требований практики. Класс рациональных конструкций включает в себя более узкий класс оптимальных конструкций. Требования к конструкциям обычно имеют форму односторонних или двусторонних ограничений на ряд показателей качества (характеристик, функционалов):
|
JiH ≤ Ji (x, y) ≤ JiB , |
i [1: nS ]; |
(2.1) |
|
|
Ji (x, z) ≤ JiB , i [nS |
+1: nS |
+n6 ]; |
(2.2) |
|
JiH ≤ Ji (x, z), i [nS +n6 +1: nS |
+n6 +n7 ], |
(2.3) |
|
где Ji (x, |
y) – показатель качества конструкции; |
JiH , JiB – заданные числа; |
||
x ={x1, x2 |
, ..., xп } – вектор проектных (входных, управляющих) параметров; |
|||
|
1 |
|
|
|
z ={z1, z2 , ..., zп4 } – вектор выходных параметров или функций, определяемый из решения операторного уравнения
z = 0(x).
Обозначим через п = п5 +п6 +п7 общее количество показателей качест-
ва. Требования к конструкции далее будем называть техническими требованиями (ТТ). ТТ в форме (2.1 – 2.3) задают требуемые свойства рациональной конструкции.
В роли x могут выступать функции, но для простоты изложения далее будем рассматривать только параметры. Вектор проектных параметров x
20
выбирается, как правило, из допустимой области, задаваемой конструктивнотехнологическими требованиями (КТТ) в виде неравенств и равенств:
|
|
xH |
≤ x |
|
≤ xB , i |
[1: п ]; |
(2.4) |
|
|
|
i |
i |
i |
|
1 |
|
|
|
|
Фi (x) = 0, i [0 : п2 ]; |
|
|||||
|
|
Fi (x) ≤ 0, |
i [0 : п3 ], |
(2.5) |
||||
где xH , xB |
– заданные числа; |
Ф |
(x) , |
F (x) |
– заданные функции, связываю- |
|||
i |
i |
|
i |
|
|
i |
|
|
щие компоненты вектора x.
Показатели Ji , входящие в ТТ, как правило, взаимно противоречивы и качественно различны.
Противоречивость Ji сильно усложняет работу проектировщика.
Задача проектирования состоит в поиске вектора проектных параметров x, обеспечивающего выполнение ТТ и принадлежащего допустимой КТТ области. Задача может не иметь решения – в этом случае необходимо изме-
нить значения JiH , JiB в ТТ и постоянных в КТТ и повторить поиск рацио-
нальных значений x.
Если задача проектирования имеет решение, то оно, как правило, неоднозначно. Это позволяет проектировщику, предварительно исследуя ряд характерных рациональных значений x, либо предложить несколько проектов для дальнейшей проработки, либо уменьшить область поиска и продолжать вычисления. В качестве характерных могут быть взяты рациональные значения x, определяющие удалённые друг от друга и от границ в ТТ значения Ji ,
а также оптимальные значения проектных параметров, доставляющих экстремум любому показателю качества при условии выполнения ограничений на величину других.
Для оценки влияния изменений значений постоянных в ТТ и КТТ на изменение значений рациональных и оптимальных проектных параметров решаются задачи чувствительности. Знание коэффициентов чувствительности, оптимальных значений x по каждому показателю и нескольких рациональных значений проектных параметров позволяет эффективно корректировать полученные рациональные проектные решения для удовлетворения совокупности дополнительных КТТ и других требований, не поддающихся математической формализации. С использованием эвристических приёмов и неформальных процедур на заключительных стадиях проектирования путём сопоставления нескольких рациональных проектных решений формируется окончательный проект конструкции.
21
Ставить задачу проектирования, как задачу оптимизации, в большинстве случаев не удаётся – это связано с наличием взаимно противоречивых и качественно различных показателей. Но поскольку до недавнего времени алгоритмы решения задачи (2.1 – 2.5) поиска рациональных проектных параметров отсутствовали, а алгоритмы решения оптимизационных задач были разработаны, вместо исходной инженерной формы задания ТТ в виде (2.1 – 2.3) применялись, как правило, ТТ с оптимизацией некоторого критерия. Это изменяло содержание первоначальной инженерной задачи проектирования конструкций, т.е. задачи удовлетворения ТТ в форме неравенств, не позволяло проанализировать рациональные решения. В результате получались оптимальные решения, которые было трудно использовать на последующих стадиях проектирования с привлечением дополнительных требований, не поддающихся формализации.
Рассмотрим задачи проектирования оптимальных конструкций. Алгоритмы их решения и ряд полученных результатов представляют несомненный интерес, так как позволили впервые автоматизировать процесс проектирования и дали в некоторых случаях рекомендации по выбору геометрических размеров конструкционных элементов и их взаимному расположению, а также по выбору конструкционного материала.
Как уже было отмечено, целью большинства разработанных к настоящему времени алгоритмов является построение оптимальной конструкции, лучшей по некоторому показателю качества. Использование такого показателя – критерия оптимальности – позволяет сравнивать два проекта конструкции и выбирать из них тот, для которого значения критерия ближе к оптимальному. Критерий должен компромиссно учитывать противоречивость отдельных показателей Ji , входящих в ТТ. Каким образом должен строиться
этот критерий? Однозначного ответа на этот вопрос не получено. Предлагается, например, такая форма задания компромиссного (гло-
бального) критерия:
J= ∑n ci Ji , i=1
где ci – весовой коэффициент, учитывающий вклад (ранг, важность) отдельного показателя Ji . Выбор ci представляет серьёзную проблему, решение
которой предложено лишь для небольшого числа задач.
В силу этого применяются другие методы, использующие ранжирование (установление ранга важности) показателей Ji , в том числе следующие:
22
1.Минимизируется главный по важности показатель при ограничении на величину других.
2.Минимизируется последний по рангу показатель в области, определяемой допустимыми отклонениями других показателей от своих минимальных значений.
3.Минимизируется каждый следующий по рангу показатель на множестве минимумов предыдущего показателя (если оно содержит более одной точки).
Наибольшее применение в теории оптимального проектирования получил метод 1 – с выбором главного по своей важности показателя при ограни-
чении на другие Ji .
При решении оптимальных задач необходим большой объём вычислений, и, следовательно, велики затраты машинного времени и их стоимость, особенно при учёте всех показателей Ji и использовании методов математи-
ческого программирования. Поэтому наиболее эффективным следует считать оптимальное решение, не требующее существенных доработок со стороны конструктора и выполняющее следующие условия:
1.В математической модели конструкции, ТТ и КТТ учтены наиболее полно все факторы, влияющие на критерий оптимальности.
2.Обоснован выбор единственного критерия, характеризующего качество проектируемой конструкции в целом.
Процедура поиска оптимального решения достаточно эффективна, т.е. приводит к получению результатов в приемлемые сроки.
На практике эти условия часто не выполняются.
В настоящее время вполне приемлемым считается рациональный проект, удовлетворяющий ТТ в форме неравенств (2.1 – 2.3). Именно такую задачу всегда решал и решает на практике инженер. В дальнейшем будем называть её основной задачей проектирования (ОЗП). Формулировку ОЗП дадим в следующем виде: найти одно или несколько таких значений вектора x проектных параметров из множества допустимых по КТТ (2.4 – 2.5), чтобы показатели Ji , характеризующие конструкцию, удовлетво-
ряли ТТ, заданным в форме (2.1 – 2.3). В том случае, когда проектируется конструкция изделия, не имеющего прототипа, неравенства (2.1) задают её
желаемые |
свойства. В случае |
улучшения |
показателей Ji |
известного |
(Ji = Ji0 ) |
проекта конструкции |
неравенства |
(2.2) с JiB = Ji0 |
или (2.3) |
с JiH = Ji0 позволяют задать характер требуемого изменения.
Большую роль в постановке ОЗП играет задание рациональных граничных значений JiH , Ji0 и ТТ (2.1 – 2.3), которое удаётся провести более обос-
23
нованно, чем процесс ранжирования показателей Ji при оптимизации, так как из предшествующего опыта проектирования уже известны диапазоны значений Ji , присущих реальным конструкциям – прототипам. При создании принципиально новых конструкций прототип отсутствует, однако и в этом случае задание JiH и JiB может быть осуществлено путём предварительных
исследований.
Вопрос единственности решения и точности его определения, возникающий в оптимизационных задачах, для ОЗП естественным образом отпадает. Кроме того, при решении ОЗП объём вычислений уменьшается, так как область выбора допустимых по ТТ значений Ji , расширяется до некоторого
множества. При проектировании сложных конструкций приходится учитывать большое количество ограничений (2.1 – 2.3) в ТТ, определяющих условия их работоспособности. Это может привести к такому сокращению области допустимых значений показателей Ji , что процедура отыскания внутри её
оптимальной точки (т.е. оптимизация значения некоторого показателя качества) станет неэффективной. Это обстоятельство также говорит в пользу решения ОЗП вместо оптимизационной задачи.
Для решения ОЗП может быть предложено два типа методов, различающихся способом отыскания рациональных параметров. Считая для простоты п = п5 = 2 , а КТТ выполненными, дадим следующую геометрическую
интерпретацию процесса решения ОЗП этими методами (рис. 2.1).
Каждое значение x из множества допустимых по КТТ отображается
в определённую точку из JΩ = J1J2 , |
поэтому |
всё множество проектных |
|||
параметров отображается целиком в некоторое множество ω JΩ . |
|||||
J2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
JΩ |
J2B |
|
|
|
ω |
|
|
ω Ω |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
JzH |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J H |
J B |
J |
||
1 |
1 |
1 |
|||
Рис. 2.1. Геометрическая интерпретация решения ОЗП
24
Из производной начальной точки С множества ω случайным образом или детерминировано выбирается направление, вдоль которого уменьшается расстояние до некоторой характерной точки из множества ω допустимых по ТТ значений показателей (методы первого типа) или до всего множества ω (методы второго типа). Вдоль этого направления делается шаг определённой длины, из полученной точки вновь отыскивается направление с указанным свойством и т.д. Процесс поиска заканчивается при отыскании любой точки из ω либо точки из ω , минимально удалённой от указанной характерной точки.
Методы второго типа лишь приводят к множеству ω рациональных параметров, но не позволяют оценивать положение полученной точки внутри этого множества. Подобные методы, по-видимому, раньше методов первого типа стали применяться для решения проектных задач, по постановке близких к ОЗП.
Метод решения ОЗП заключается в следующем. Вводится п = п5 безразмерных функционалов fi , оценивающих удаление значений показателей
качества Ji |
от своих границ в ТТ (2.1 – 2.3). Для неравенств (2.1) fi |
имеет |
|||||||||||||||||||||||||||||
следующий вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J B |
− J |
i |
|
|
|
|
|
|
J |
i |
− J H |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
f |
i |
= |
|
i |
|
|
|
|
|
|
; f |
i+п5 |
= |
|
|
|
i |
, i [1: п |
5 |
], |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
JiB − JiH |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
JiB − JiH |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
а для (2.2) и (2.3) записываются соответственно в виде: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
fi = |
|
|
Ji |
, i [2п5 +1: 2п5 +п6 ]; |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
JiB |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
fi = |
|
|
|
i |
, i [2п5 +п6 +1: п +п5 ]. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ji |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из этих выражений видно, что если все Ji |
удовлетворяют ТТ, то |
fi ≤1 , |
|||||||||||||||||||||||||||||
i [1: п +п5 ] . При нарушении некоторым |
JH |
ограничения в ТТ соответст- |
|||||||||||||||||||||||||||||
вующий ему |
fK больше 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п2 |
|
|
|
|
п2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
J = |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
Ф2Ш |
|
+ |
|
|
|
F |
(F + |
F |
Ш ) , |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
∑ |
i |
|
i |
|
∑ i |
i |
|
i |
i |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=0 |
|
|
|
|
i=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где Шi , Шi – заданные весовые коэффициенты. Величина J позволяет оце-
нивать нарушения условий (2.5) в КТТ и в силу используемого далее способа учёта ограничений на значения проектных параметров при поиске решения
Фi2 называется величиной штрафа. При выполнении условия (2.5) J = 0.
25
Далее образуется целевая функция, оценивающая степень выполнения ТТ и КТТ:
M (x, β) = max ( fi +βJ ), |
(2.6) |
i [1 : п+п5 ] |
|
где β – коэффициент штрафа.
С использованием известных методов решения задач нелинейного программирования и учётом ограничений на параметры x в виде штрафной функции находится величина (существование её предполагается)
ϕ = lim |
max |
M (x, β). |
(2.7) |
β→∞ xH ≤x ≤xB |
|
||
i |
i |
i |
|
Если условие
φ ≤ 1
выполняется, то ОЗП имеет решение, найденные значения xi являются ра-
циональными и при этом обеспечивающими наибольшую степень выполнения ТТ. В противном случае решения ОЗП не существует. Можно показать, что условие (2.7) является необходимым и достаточным для существования решения ОЗП.
Следует отметить, что при решении ОЗП не требуется, вообще говоря, находить минимум (локальный или глобальный) целевой функции M(x, β). При большом объёме вычислений целесообразно лишь получить в ходе минимизации её значение, меньшее единицы, при достаточно больших значениях β. В этом случае будут получены значения рациональных проектных
параметров xi , не совпадающие с xi , но являющиеся решением ОЗП.
Величину φ находят путём последовательного решения задач минимизации М(x, β), в каждой из которых значение β увеличено по отношению к предыдущей. Если при некотором β окажется, что М ≤ 1 и J = 0, то процесс вычисления φ можно прервать. При стремлении получить значения Ji , наи-
более удалённые от своих границ в ТТ, вычисления продолжаются.
Следует отметить, что с помощью алгоритма решения ОЗП можно решить задачу минимизации любого Ji при ограничениях в ТТ на другие
JK , K [1: п], K ≠ i. Для этого решается последовательность j ОЗП, |
в ТТ |
которых дополнительно к ограничениям на J K добавлено условие Ji |
≤ JijB , |
где JijB – заданная постоянная, которая с увеличением номера j определён-
ным образом уменьшается. Наименьшее JijB , при котором ещё выполняются ТТ, и будет искомым минимальным значением Ji . Для решения миними-
зационной задачи необходимо, чтобы при наименьшем j решение начальной ОЗП существовало.
26
Последовательность JijB можно строить различным образом. Первый метод (последовательных приближений) заключается в том, что за JijB для j-й ОЗП принимается полученное в 1-й ОЗП значение Ji . Второй метод (дихотомии) следующий. Вводится JijB = (JiB (j −1))
2 . Если при этом φ < 1, то полагаем JiB (j +1)= JijB 
2 , в противном случае, и т.д.
Контрольные вопросы
1.Какова теоретическая база проектирования больших технических
систем?
2.В чём сущность системного проектирования?
3.Чем отличается оптимальная конструкция от рациональной?
Вопросы для обсуждения на занятиях
1.Критерии оценки процессов проектирования.
2.Математическое моделирование проектных задач.
3.Геометрическая интерпретация решения основной задачи проектирования.
4.Алгоритмы решения основной задачи проектирования.
ТЕСТ
1. К чему математически сводится задача проектирования системы?
а) к задаче нахождения локального экстремума функции многих переменных (параметров) при ограничениях на эти параметры в виде функциональных равенств и неравенств;
б) к задаче нахождения глобального экстремума функции многих переменных (параметров) при ограничениях на эти параметры в виде функциональных равенств и неравенств;
в) к задаче нахождения глобального экстремума функции многих переменных (параметров).
2. Какова сущность системного исследования?
а) в изучении системы и её поведения в целом как единого объекта; б) в изучении системы и её поведения в целом как единого объекта, вы-
полняющего определённые функции в конкретных условиях; в) в изучении системы и её поведения в конкретных условиях.
3. Чем характеризуется реактор или биореактор – как сложная система?
а) тем, что в свою очередь является подсистемой для более высокой иерархической структуры;
27
б) тем, что в свою очередь является подсистемой для более высокой иерархической структуры, технологической или биотехнологической системы, и характеризуется совокупностью взаимосвязанных явлений и элементарных процессов, протекающих на различных уровнях;
в) тем, что характеризуется совокупностью взаимосвязанных явлений и элементарных процессов, протекающих на различных уровнях.
4. В чём суть системного проектирования?
а) оно всегда направлено на поиск параметров системы, оптимальных в смысле выполнения ею своего функционального назначения;
б) оно всегда направлено на поиск параметров системы, оптимальных в смысле выполнения ею своего функционального назначения с учётом возможностей многофункциональности и взаимосвязи с другими подсистемами; в) оно всегда направлено на поиск параметров системы с учётом возможностей многофункциональности и взаимосвязи с другими подсистемами.
5. В чём состоит моделирование системы?
а) в построении модели и её исследовании, включающем отыскание допустимых решений;
б) в построении модели и её исследовании, включающем отыскание допустимых решений, анализ чувствительности модели и оптимизацию;
в) в построении модели и её исследовании, включающем анализ чувствительности модели и оптимизацию.
6.С чего начинается построение математической модели?
а) с выбора критерия оптимальности; б) с формализованного описания проектируемого объекта; в) с записи ограничений.
7.Что понимается под оптимальной конструкцией?
а) та, которая доставляет минимум некоторому критерию; б) та, которая обладает экстремальным свойством по отношению к не-
которому критерию; в) та, которая доставляет максимум некоторому критерию.
8. Что понимается под рациональной конструкцией?
а) та, набор характеристик которой удовлетворяет минимальным требованиям практики;
б) та, набор характеристик которой удовлетворяет сложившемуся уровню требований практики;
в) та, набор характеристик которой удовлетворяет максимальным требованиям практики.
28