Специальные главы математического анализа. Теория поля. Учебное пособие

УДК 517(075.8) Ф 766

Рецензенты:

канд. физ.-мат. наук, доцент А. В. Гобыш канд. техн. наук, доцент Е. М. Григорьев

Работа подготовлена на кафедрах высшей математики и инженерной математики для студентов нематематических специальностей

Фомичев П. А.

Ф 766 Специальные главы математического анализа. Теория поля: учебное пособие / П. А. Фомичев, Е. В. Фомичева. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2022. – 83 с.

ISBN 978-5-7782-4788-8

Учебное пособие предназначено для самостоятельной работы студентов НГТУ технических направлений и специальностей очной и заочной формы обучения.

В пособии в доступной для студентов форме излагаются основные положения математической теории поля, предусмотренные учебной программой по высшей математике для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений.

Пособие включает пять занятий (тем). Каждая тема содержит теоретические положения и иллюстрируется большим количеством подробно решённых типовых задач.

2

определённая в некоторой области (при этом функция u u(x, y, z)

называется потенциалом скалярного поля), а векторным полем – любая векторная функция

u u(x, y, z) в (1) и P(x, y, z); Q(x, y, z); R(x, y, z) в (2) зависят не

только от точки пространства, но и от времени. В этих случаях скалярные или векторные поля называются нестационарными. Если же скалярное или векторное поле от времени не зависят, то они называются стационарными. Далее нестационарные поля рассматривать не будем иподскалярным(векторным) полембудемпониматьстационарныескалярные (векторные) поля.

Скалярныеивекторныеполя(1) и(2) могутбытьодномерными, двумерными, трёхмерными и n-мерными в зависимости от числа координат, определяющих положение точки М в заданной области.

Если значения скалярных функций u u(x, y, z) в (1) и P(x, y, z); Q(x, y, z); R(x, y, z) в (2) зависят только от двух переменных, например

x и y, то скалярные (1) или векторные (2) поля называют плоскими. Для геометрической интерпретации скалярного и векторного поля

вводят понятия поверхностей уровня и векторных линий. Поверхностью уровня скалярного поля (1), соответствующей зна-

чению С, называется геометрическое место точек, в которых функция u u(x, y, z) принимает постоянное значение, равное С, т. е.

Для плоского скалярного поля u u (x, y) поверхности уровня С:

являютсяцилиндрическимиповерхностямисобразующими, параллельными оси Oz. Если же плоское поле рассматривать только на плоскости Оху, то уравнение (4) будет определять совокупность его линий уровня, соответствующих значению С.

Семейство поверхностей равного уровня даёт наглядное представление о скорости изменения поля: там, где эти поверхности расположены

4

близко друг от друга, скорость изменения поля будет больше, чем там, где эти поверхности располагаются дальше друг от друга.

Наглядноепредставлениеоструктуревекторногополя(всмыслеего направленности) дают векторные линии.

Векторнойлиниейназываетсякривая, касательнаяккоторойвкаждой её точке совпадает с направлением векторного поля в этой точке. Из определения следует, что векторные линии показывают в каждой точке направление векторного поля. В случае физических векторных полей векторные линии получают простое истолкование. Так, в поле скоростей частиц стационарного потока жидкости векторные линии (называемые здесь линиями тока) – это траектории, по которым движутся частицы жидкости. В каждой точке силового поля сила действует по направлению векторной линии (называемой здесь силовой линией), проходящей через эту точку.

Совокупность всех векторных линий векторного поля (2) определяют системой дифференциальных уравнений:

Согласно теореме существования и единственности для системы дифференциальных уравнений мы можем утверждать, что через каж-

дую точку поля, в которой F 0 , проходит одна и только одна линия. Решивсистему(5), получимдвауравнения, представляющихвекторную

Часть пространства, заполненную векторными линиями, проходящими через точки некоторой площадки, называют векторной трубкой, соответствующей этой площадке.

5

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Найти линии уровня плоского скалярного поля u xy .

Решение В соответствии с формулой (4) линии уровня этого поля определя-

ются уравнением ху = С, где С = const, и представляют собой равносторонние гиперболы (на рис. 1 показаны линии уровня, соответствующие значениям С = ±1; ±2; ±3).

При С = 0 линиями уровня (т. е. линиями нулевого уровня) является совокупность координатных осей Ох и Оу. В каждой точке полученных линий уровня функция и принимает значения ±1; ±2; ±3; 0 соответственно.

Пример 2. Найти поверхности уровня скалярного поля

Решение Поверхности уровня определяются уравнением (3):

Таким образом, поверхностями уровня этого скалярного поля является совокупность конических поверхностей z2 a2 (x2 y2 ) (рис. 2).

В каждой точке этих конических поверхностей функция и принимает значение С.

Пример 3. Найти поверхности уровня скалярного поля потенциала u u(r) er электростатического поля заряда е, помещённого в начале

координат, где r x2 y2 z2 – расстояние от точки M(x, y, z) до заряда.

6

Решение Линии уровня данного скалярного поля определяются уравне-

нием (4): 4x2 9 y2 32x 36 y 60 С . Найдём линию уровня, прохо-

дящую через точку М(1; –1).

Подставляя координаты точки М в последнее уравнение, получаем 4 1 9( 1)2 32 1 36( 1) 60 С, или С = 5. Следовательно,

уравнение искомой линии имеет вид 4x2 9 y2 32x 36 y 60 5,

или 4x2 9 y2 32x 36 y 55 0 .

Преобразуя левую часть этого уравнения путём выделения полных

и центром O1 (4; 2) (рис. 4).

Рис. 4

Пример 5. Найти поверхность уровня скалярного поля u 2x23y2 16x 18y 12z 37 , проходящую через точку M ( 1;1;1) .

8

Решение Совокупность поверхностей уровня данного поля определяется

уравнением (3): 2x2 3y2 16x 18y 12z 37 С.

Среди этих поверхностей выберем ту, которая проходит через точку M ( 1;1;1) , для чего нужно определить значение С. Подставляя коорди-

наты точки М в левую часть уравнения, находим:

2( 1)2 3 1 16( 1) 18 1 12 1 37 С, или С = –4.

Следовательно, уравнение искомой поверхности уровня имеет вид:

2x2 3y2 16x 18y 12z 37 4,

или

2x2 3y2 16x 18y 12z 41 0.

Преобразуя левую часть этого уравнения путём выделения полных квадратов, находим: 2(x 4)2 3( y 3)2 12(z 1,5) ,

или

(x 4)2 ( y 3)2 2(z 1,5) . 3 2

Таким образом, поверхностью уровня данного скалярного поля, проходящей через точку M ( 1;1;1) , является эллиптический параболоид

Рис. 5

9

Пример 6. Найти векторные линии поля F xi yj 2zk .

Решение В соответствии с формулой (5) семейство векторных линий данного

векторного поля определяется из системы уравнений:

Следовательно, уравнениями векторных линий этого векторного поля являются линии пересечения гиперболических цилиндров xy C1

с параболическими цилиндрами y2 C2 z .

Пример 7. Найти векторные линии (линии тока) поля скоростей

Поле скоростей не зависит от z, т. е. мы имеем плоское поле. В соответствии с формулой (6) семейство векторных линий (линий тока) определится уравнениями:

xdx ydy 0, dz = 0, или

dz 0,

10