Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Специальные главы математического анализа. Теория поля. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

														1 1 y																					1													3z2					z 1 y
														1 1 y																					1													3z2					z 1 y
	(1 y 3z) dydz dy																			(1 y 3z) dz																	1				yz								2					dy
																																																	2
Dyz			1											0				0													1				0																		z 0
Dyz														0				0																	0																		z 0
					y y(1							y)						3		(1 y)					2													1				y						1		y	2
				1	y y(1							y)						2		(1 y)							dy												2			y						2		y		dy
			0															2													0								2									2
												y				y	2				y3			1					1				1							1							1
												y				y	2				y3			1					1				1							1							1
																																																.
												2				2					6								2				2							6							6	.
												2				2					6								2				2							6							6
															1 1 x									0									1				3z					2									z 1 x
																								0


		(3z 4x) dxdz dx																			(3z 4x) dz																			2			4xz										dx
																																								2
	Dxz			1			3								0				0										1	3			0										11								z 0
	Dxz														0				0														0																		z 0
									(1	x)			2																				7x														x	2
							2		(1	x)						4x(1 x) dx																	7x												2		x			dx
				0			2																						0	2															2
										3x				7x2						11 x3						1			3				7							11								1	.
										3x				7x2						11 x3						1			3				7							11								1
										2					2						2								2				2								6							6

																							3
															1 1 x											0						1														y2				y 1 x
																										0


			(5x			y) dxdy										dx					(5x y) dy															5xy																	dx
			(5x			y) dxdy										dx					(5x y) dy															5xy																	dx
	D	xy													0				0													0													2					y 0
		xy																																																y 0
					1			5x(1 x)								1		(1 x)					2		dx				1		1			4x											9x2

					0											2																2													2			dx
					0											2													0			2													2
											1		x			4		x2				9 x3						1			1		2									3		1.
											1							x2				9 x3						1			1											3

											2							2				2 3									2											2
											2							2				2 3									2											2
																												0
																												0

Окончательно П 16 16 1 23 .

Пример 2. Вычислить поток векторного поля F yi xj zk через полную поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями:

x 2 y z 2 0, x 0, y 0, z 0

в направлении внешней нормали: а) непосредственно;

б) используя формулу Гаусса–Остро- градского.

Решение

a) Вычислимпотоквекторногополяче-

	рез поверхность Ω непосредственно. Изоб-
	разимуказанную поверхность (рис. 14).
	Поток векторного поля через указан-
	ную поверхность состоит из потоков через
	грани пирамиды:
Рис. 14	П ПАВС ПАОВ ПАОС ПВОС .

Для вычисления потоков векторного поля через указанные плоскости будем использовать формулу (28):

	ПABC		ydydz xdxdz zdxdy ydydz		xdxdz
		ABC		Dyz	Dxz
			(2 x 2 y) dxdy,
			Dxy
где	Dyz , Dxz , Dxy –		проекции AВC	на координатные		плоскости;
z 2 x 2 y в последнем двойном интеграле.
	Здесь перед интегралом xdxdz взят знак «–», так как нормаль n
			Dxz
составляет с		осью	Оу тупой угол.	Перед интегралами		ydydz,
	2 x 2 y dxdy взят знак «+», так как нормаль n					Dyz
	2 x 2 y dxdy взят знак «+», так как нормаль n				образует с осями

Dxy

Ox и Оz острые углы.

Изобразим проекции AВC на координатные плоскости (рис. 15).

Рис. 15

Итак,

								0					2 2 y							0							z 2 2 y									0			y(2 2 y) dy
																											z 2 2 y

				ydydz ydy													dz							yz								dy
			Dyz					1						0						1							z 0				0					1
			Dyz					1						0						1							z 0									1
						0	( y2 y) dy 2													y3						y2									1					1			1
				2																											2													.
				2																											2													.
																				3						2										3 2							3
						1														3						2					1					3 2							3
						1																									1
											2				2 x								2					2 x						2
																												2 x

						xdxdz xdx													dz xz												dx x(2 x) dx
				Dxz							0				0								0					0						0
				Dxz							0				0								0					0						0
																		x	3		2								8		4					1 .
																			3		2
									x2														4										1
									x2														4						3				1
															3														3	3						3
										2				0							0											2										y2			y 0
																					0
	(2	x 2 y) dxdy															(2 x 2 y)dy																	2 y xy 2

												dx																																			dx
												dx																														2					dx
Dxy										0				x 2																		0										2			y	x 2
																																														2
														2
														2
			2		x		2						x 2									x				2 2										2	x2
				2					x																						dx										x 1 dx
				2					x																						dx										x 1 dx
							2								2											2														4
			0				2								2											2										0				4
									x3							x2			x						2				2	2				2				2		.
									x3							x2									2				2									2

											12				2														3									3
											12				2														3									3
																									0
																									0

Следовательно, ПABC 13 43 23 1.

Найдём потоки векторного поля через грани пирамиды. На грани АОВ (плоскость Оху) z = 0, а следовательно, и dz = 0, поэтому

ПAОВ		ydydz xdxdz zdxdy 0.
	AОВ
На грани АОС (плоскость Охz) y = 0, а следовательно, и dy = 0, по-
этому
ПAОС		ydydz xdxdz zdxdy xdxdz.
	AОС	Dxz

Знак «+» перед двойным интегралом поставлен из-за того, что век-
тор внешней нормали n2 к грани АОС (см. рис. 14) совпадает с векто-
ром j , а следовательно,						cos 1 (cos 0).
							1	2 x	dz 11
					xdxdz xdx				dz 11
					Dxz		0	0	3
					Dxz		0	0
(этот интеграл мы уже считали). Значит,									ПAОC 11 .
									3
На грани ВОС (плоскость Оуz) х = 0, а значит, и dх = 0.
	ПВОС					ydydz xdxdz zdxdy ydydz.
				ВОС					Dyz
Знак «–» перед двойным интегралом поставлен в связи с тем, что
вектор внешней нормали n3							к грани ВОС (см. рис. 14) совпадает с век-
тором i , а следовательно,							cos 1	cos 0 .
	0			2 2 y
	ydydz	ydy			dz 1 (этот интеграл был посчитан раньше).
Dyz	1			0			3
Dyz	1			0
			1		1	.
Итак, ПBОC			3		3	.
			3		3

Теперьнайдём полный поток векторного поля F через поверхность

пирамиды ОАВС: П 1 0 1	1	1	2 .
	3	3	3		через замкнутую поверх-
б) Вычислим поток векторного поля				F	через замкнутую поверх-

ность Ω, используя формулу Гаусса–Остроградского (29). Для этого по формуле (13) найдём дивергенцию векторного поля.

Имеем: div F ( y) (x) (z) 1 .

x y z

Следовательно,

П divFdV dV V ,

V V

где V – объём пирамиды ОАВС.

Как известно, объём пирамиды равен V 13 SоснH , следовательно,

VOABC 13 12 OA OB OC 16 2 1 2 23 .

Простота решения обусловлена в этом случае тем, что div F оказалась постоянной величиной.

Пример 3. Вычислить поток векторного поля F хi zj yk через полную поверхность тела, ограниченного поверхностью (х 1)2 y2 z2 и лежащего в первом октанте в направлении внеш-

ней нормали:

а) непосредственно; б) с помощью формулы Гаусса–Остроградского. Решение

a) Найдём поток векторного поля непосредственно.

Изобразим тело, ограниченное указанной поверхностью и располо-

женное в I октанте (рис. 16). Поток векторного поля F через рассматриваемое тело равен:

П ПАВС ПАОВ ПАОС ПВОС.

Для вычисления потоков векторного поля будем использовать фор-

мулу (28).
ПABC		xdydz zdxdz ydxdy				1	y2 z2 dydz
	ABC				Dyz
			zdxdz		( y) dxdy.
		Dxz		Dxy

Здесь Dyz , Dxz , Dxy – проекции Ω на координатные плоскости;

x 1	y2 z2 в интеграле по области Dyz .

Перед двойными интегралами взят знак «+», так как внешняя нормаль n образует острые углы с координатными осями. Проекции

Dyz , Dxz , Dxy поверхности Ω на координатные плоскости есть области ВОС, АОС, АОВ соответственно (рис. 16), поэтому

	1	y2 z2 dydz		dydz		y2 z2	dydz
Dyz			BOC	BOC
		SBOC		y2 z2	dydz.

BOC

Для вычисления двойного интеграла по области ВОС необходимо перейти к полярным координатам ( y cos , z sin ), так как об-

ласть ВОС представляет четверть окружности	y2 z2	1
			SBOC	4	.

Итак, 1

Dyz

				1
			2	1	d	1	2		.
			2			1	2
	y2 z2 dydz d					3	d	6
BOC			0	0		3	0	6
BOC			0	0			0
y2 z2 dydz					.
y2 z2 dydz		4	6	12	.
		4	6	12

	1	1 z	1	x 1 z	1	z2		z3	1	1	1	1



	zdxdz zdz		dx zx		dz z(1 z) dz								.
	zdxdz zdz		dx zx		dz z(1 z) dz		2	3		2	3	6	.
							2	3		2	3	6
Dxz	0	0	0	x 0	0				2

	1	1 y		1
	( y) dxdy ydy		dx	1		(см. вычисление предыдущего ин-
Dxy	0	0		6
Dxy	0	0
теграла). Следовательно, ПАВС							1	1
							6	6		.
					12		6	6	12	.

НайдёмпотокивекторногополячерезграниповерхностиАОВ, АОС,

ВОС.

На грани АОВ (плоскость Оху) z = 0, а значит, и dz = 0, Поэтому

	ПАОВ xdydz zdxdz ydxdy			( y) dxdy.
	AOB		Dxy
Перед знаком двойного интеграла взят знак «–», так как внешняя
нормаль п1	к АОВ (рис. 16) образует с осью Oz угол π (cos 0) .
	ПAOB	( y) dxdy	1	1 y		1
			ydxdy ydy		dx
	Dxy	Dxy	0	0		6

(этот интеграл уже был вычислен).
На грани АОС (плоскость Охz) у = 0 (dу = 0), а значит,
ПАОС				1	1 z		1.
	xdydz zdxdz ydxdy zdxdz zdz					dx
	AOС		Dxz	0	0		6

На грани ВОС (плоскость Оуz) х = 0 (dх = 0), поэтому

ПВОС xdydz zdxdz ydxdy 0.

ВOС

Окончательно: П 12 16 16 0 12 .

б) Определим поток векторного поля через тело, ограниченное указанной поверхностью, используя формулу Гаусса–Остроградского (29).

Найдём divF по формуле (13):

div F (x) (z) ( y) 1.

x y z

Следовательно,


		П divFdV 1dV V ,
		V	V
где V – объём тела (в этом случае телом является						1	часть конуса с ра-
диусом r = 1 и высотой H = 1).						4
диусом r = 1 и высотой H = 1).
Так как V	1	r2 H , то V	1 1		. Итак,	П			.
Так как V	3	r2 H , то V	1 1	12	. Итак,	П		12	.
кон	3		4 3	12				12

Можно видеть, что в данном случае для вычисления потока векторного поля через замкнутую поверхность целесообразно применить формулу Гаусса–Остроградского.

Пример 4. Вычислить поток векторного поля F x2i xj xzk че-

рез замкнутую поверхность Ω, состоящую из параболоида y x2 z2 и из плоскостей y = 1, x = 0, z = 0 в направлении внешней нормали.

Решение Изобразим указанную поверхность

(рис. 17). Искомый поток П можно представить в виде суммы

	П П1 П2 П3 П4 ,
	где П1, П2 , П3 , П4 – потоки заданного
	векторного поля	соответственно	через
	поверхности ОАС, ОВС, ОАВ, АВС.
	Для вычисления потоков векторного
	полячерезуказанныеповерхностибудем
	использовать поверхностный интеграл
Рис. 17	первого рода, т. е. формулы (25)–(26).
	a) Вычислим поток П1 .
Уравнение поверхности	ОАС имеет вид:	x2 z2 y 0,	т. е.

y x2 z2 . Выполняем проецирование на плоскость Oyz и вычисляем П1 по формуле (27).

По формуле (22) найдём вектор нормали n , где u y x2 z2 . Найдём: n 2xi j 2zk .

4x2 4z2 1

Из двух возможных единичных векторов в качестве n нужно выбрать тот, для которого коэффициент при j отрицателен (так как век-

тор внешней нормали n составляет с осью Оу тупой угол и, следовательно, cos 0 ).

Таким образом, n

2xi j 2zk

, следовательно,

4x2 4z2 1

cos

4x2 4z2 1

так какx 0, то

cos

4x2 4z2

Подынтегральная функция в формуле (27) имеет вид

F n

x2 2x x 2xz2

4x2 4z2 1

x2 1

z2.

cos

4x2 4z2

Используя уравнение поверхности ОАС:

y x2 z2 , выразим x2

через у и z, тогда подынтегральная функция примет вид:

F n

y z

1 z2 y 1 .

cos

Подставим подынтегральную функцию в формулу (26), получим

dydz

П1 F

dydz,

cos

Dyz

где Dyz – проекция поверхности ОАС на плоскость Oyz (рис. 18).

Рис. 18

Итак,

	y		1	dydz			1	dz	1			y		1			dy		1	y2			y	y 1		dz
			1				1		1					1					1	y2			y	y 1


Dyz			2				0		z2					2					0		2		2	y z2
Dyz		1					0		z2		z3					z5		1	0				2	y z2
	1	1	(z2	z4 ) dz					1		z3					z5		1		1		1	1		1		.


	2								2			3								2		3			15
	2	0							2			3				5		0		2		3	5		15
		0														5		0
б) Вычислим поток П2. Уравнение плоскости ОВС имеет вид х = 0.
					0, следовательно,													П2 0.
На этой плоскости F					0, следовательно,													П2 0.
в) Вычислим поток П3.								Уравнение плоскости ОАВ имеет вид z = 0.
На этой плоскости				F x2i xj .									Внешней нормалью является вектор
																									и П				0.
n k , следовательно, Fn (x2i													xj)k 0 . А, значит,												и П			3	0.
1																												3
г) Вычислим поток П4 .								Уравнение плоскости АВС имеет вид у = 1.
На этой плоскости F						x2i		xj xzk							. Внешней нормалью к плоскости
АВС является вектор n2							j	, следовательно, cos 1,
						F n			(x2i				xj xzk ) j								x .
						cos									1


Отсюда П4						dxdz			xdxdz , где Dxz – проекция плоскости
			F n			cos
			F n
	D	xz							D	xz
		xz								xz

АВС на плоскость Oxz (которая представляет собой четверть круга x2 z2 1).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]