Специальные главы математического анализа. Теория поля. Учебное пособие

Найдём потенциал векторного поля u(x, y, z) по формуле (17), выбирая в качестве точки М0 начало координат:

z

u(x, y, z) xydz C xyz C.

0

Итак, окончательно: A u(6; 2;1) u(1; 2; 3) 12 6 6.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1) Найти дивергенцию векторного поля F (2x2 y 3xz3 5x3 yz)i

(4 y3 x xyz 8z2 ) j (6z3 xy2 7z2 x 9zy)k в точке M (1;1;1).

Ответ: 42.

2) Найти ротор векторного поля F y2 z2i x2 z2 j x2 y2k в точке

Ответ: 2i 16 j 18k .

3) Вычислить дивергенцию и вихрь напряжённости магнитного поля, образованного электрическим током, текущим по бесконечному

Ответ: divgrad u 0 .

41

Проверить, является липолепотенциальным, инайти егопотенциал: 7) F (4x3 y3 3y2 5)i (3x4 y2 6xy 4) j.

Ответ: x4 y3 3xy2 5x 4 y C .

8) F (3x2 2xy)i (x2 2 y z) j ( y 3z2 )k .

Ответ: x3 x2 y y2 yz z3 C . 9) F ( y z)i (x z) j (x y)k .

Ответ: xy yz xz C .

10) Найтипотенциалгравитационногополя F rm3 r , создаваемого массой т, помещённой в начале координат.

Ответ: mr C .

11) Положительный электрический заряд е, помещённый в начале координат, создаёт электростатическое поле, напряжённость которого

в каждойточкеопределяетсяпо формуле E k re2 r 0 , где k – некоторый

постоянный коэффициент; r – расстояние рассматриваемой точки от начала координат; r 0 – единичный вектор, направленный по радиусу-

векторуэтойточки. Показать, чтополе E являетсябезвихревымвсюду, заисключениемначалакоординат, гдепомещёнзаряд. Найтипотенциал этого поля.

[4, № 4405–4413, 4430–4436, 4439–4441, 4444–4446].

42

4. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ:

ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

будем называть потоком векторного поля F через поверхность Ω в направлении, заданном выбором единичного вектора нормали к Ω.

Понятию потока векторного поля можно придавать различные физическиеинтерпретации, выбираяразныефизическиетрактовкивекторного поля. Если векторное поле v описывает поле скоростей при течениижидкостивобластиV, тоформула(18) определяетобъёмныйрасход

43

жидкости через поверхность Ω. Если векторное поле описывает плотность теплового потока q в области V, то формула (18) определяет ко-

личество теплоты, проходящей через Ω в единицу времени.

ность Ω. Векторное поле будем трактовать как поле скоростей течения жидкости. В этом случае положительное значение потока векторного поля через замкнутую поверхность Ω означает, что из области, ограниченной поверхностью Ω, вытекает жидкости больше, чем в неё втекает. Значит, в области имеются точки или подобласти, в которых образуется жидкость (например, происходит образование воды при таянии снега). Точкитакогороданазываютисточникамивекторногополя. Аналогично отрицательное значение потока через замкнутую поверхность Ω означает, что в область втекает жидкости больше, чем из неё вытекает. Значит, в области есть точки, в которых жидкость исчезает (например, испаряется или замерзает). Такие точки называют стоками векторного поля.

Аналогично устанавливается понятие стока или источника произ-

вольноговекторногополя. Так, например, вполенапряжённости Е , порождённом двумя точечными зарядами q и q , точка, в которой

находится заряд q , будет источником поля, а точка, где находится заряд q , будет стоком поля.

Если поток векторного поля через некоторую замкнутую поверхность Ω равен нулю, то это означает, что или внутри поверхности Ω нет источников или стоков, или внутри Ω имеются и источники, и стоки, но они компенсируют друг друга.

Заметим ещё, что внутри любой замкнутой поверхности Ω могут быть и источники, и стоки. Если при этом П > 0, то источники преобладают над стоками, если же П < 0, то стоки преобладают над источни-

44

где F P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k – вектор, определяющий направление векторного поля; п – единичный вектор нормали к по-

верхности Ω; F п – скалярное произведение векторов F и п .

Как известно из курса математического анализа, вычисление поверхностного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла по плоской области.

Пусть поверхность Ω, заданная уравнением

такова, что она взаимно однозначно проецируется на одну из координатных плоскостей, например плоскость Оху. Тогда уравнение (19) может быть разрешено относительно переменной z и примет вид

Далее необходимо определить единичный вектор нормали п к поверхности Ω:

где cos , cos , cos – направляющиекосинусынормали п кповерхно-

сти Ω.

Как было отмечено в разделе 2 [формула (12)], единичный вектор нормали п к поверхности Ω можно вычислять таким образом:

где u F (x, y, z) z f (x, y). Знак «+» в формуле (22) следует брать

для верхней стороны поверхности, когда нормаль образует острый угол с осью Oz и, следовательно, cos 0 ; знак «–» соответствует нижней

стороне поверхности Ω. Если поверхность замкнутая, то всегда будем выбирать внешнюю нормаль.

Так как

45

то формула для вычисления нормали п приобретает вид:

Затем проецируем элемент на плоскость Оху, т. е. пользуемся формулой cos d dxdy . Отсюда получаем:

Далее остаётся подставить значения F, n, dr , полученные по формулам (2), (23), (24), в формулу (18) и найдем поток векторного поля F :

Так как подынтегральная функция F n может содержать z, то в cos

ней z нужно заменить на f (x, y) по формуле (20) z f (x, y) .

Если поверхность Ω, задаваемая уравнением (19), однозначно про-

46

Причём в формулах (27) необходимо заменить переменные х и у в подынтегральных функциях соответственно на x f ( y, z) , y f (x, z) .

Укажем ещё один способ вычисления потока векторного поля по

формуле (18). Поток векторного поля F через поверхность Ω можно вычислять посредством суммы двойных интегралов по проекциям по-

верхности Ω на координатные плоскости Dxy , Dxz , Dyz (если поверхность Ω однозначно проецируется на каждую из этих плоскостей):

ПF nd P(x, y, z) dydz Q(x, y, z) dxdz R(x, y, z) dxdy

Dxy

Причём знак «+» берётся в том случае, когда на выбранной стороне поверхностинормаль n составляетс соответствующимиосями коорди-

нат острые углы ( cos 0, cos 0 или cos 0 соответственно). Знак

«–» берётся в том случае, когда нормаль составляет с соответствующими осями координат тупые углы ( cos 0,cos 0 или cos 0 ).

Если поверхность Ω не проецируется однозначно на одну из координатныхплоскостей, тоеёследуетразбитьначасти, каждаяизкоторых будет обладать указанным свойством.

Если поверхность Ω замкнутая, а проекции векторного поля (2) P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны внутри Ω вместе со своими

частнымипроизводными, тодлявычисленияпотокавекторногополя(2) через поверхность Ω можно применить теорему Гаусса–Остроград- ского:

Поток векторного поля (2) через замкнутую поверхность Ω равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля, взятому по объёму V, ограниченному поверхностью Ω, т. е.:

V

Если векторное поле F определяет скорости частиц в установившемся течении несжимаемой жидкости, то дивергенция в некоторой

точке определяет интенсивность источника ( div F 0 ) или стока

47

( div F 0 ), находящегося в этой точке. Следовательно, можно дать

гидродинамическое истолкование формулы Гаусса–Остроградского: правая часть формулы (29) определяет количество жидкости, вытекающей из поверхности Ω в единицу времени, что следует из производительности точечных источников, заполняющих область V, а левая определяет это же количество жидкости, что следует из скорости частиц жидкости в момент их прохождения через поверхность Ω.

так как данная поверхность однозначно проецируется на плоскость Оху

(рис. 12).

Поверхность Ω представляет собой плоскость АВС , определяе-

мую уравнением, которое можно получить, используя известную формулу: уравнение плоскости, проходящей через три точки с коор-

динатами (x1; y1; z1) , (x2 ; y2 ; z2 ) , (x3; y3; z3 ), имеет вид

48

Подставляя в формулу координаты точек А, В, С, получаем

причём по условию задачи нормальный вектор п составляет с коор-

49

Подставляя в последнюю формулу для выражения z через х и у из

уравненияплоскости АВС , получаем: F n 2x y 1 x y x 1. cos

Вычислим теперь поток П по формуле (25) как двойной интеграл по площадитреугольника АОВ , являющегосяпроекцией АВС наплоскость Оху (рис. 13).

Рис. 13

Способ II. Вычислим поток векторного поля, используя фор-

мулу (28):

П (x 2z) dydz (3z 4x) dxdz (5x y) dxdy

Знак «+» перед двойными интегралами взят исходя из того, что нормаль п по условию задачи составляет острые углы с координатными осями. ВOC , АОC , АОВ – проекции АОВ на плоскости Oyz, Oxz, Oxy соответственно (рис. 13).

50