Специальные главы математического анализа. Теория поля. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

8) u ln (x2

8) u ln (x2

L : x 1 cost; y sin t; t

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Найти производную плоского скалярного поля u x2y2 3x 2 y в точке M0 (0; 0) по направлению, идущему от этой точки к точке M (3; 4) .

Решение Для вычисления производной данного плоского скалярного поля в

точке M 0 по направлению l, задаваемому вектором M0M , используем

формулу (9). Вычислим

u ,

в точке M0 (0; 0) :

3 ;

2x 3

3 ;

2y 2 ;

2 y 2

2 .

Используя формулы (8), найдём направляющие косинусы вектора

(3; 4) 3i 4 j :

M0M

cos

; cos

4 .

32 42

Применяя формулу (9), имеем:

( 3) 3

1 .

Пример 2. Установить характер роста (возрастание, убывание) скалярногополя u arctg x z y вточке A(5;1; 2) внаправлении, идущемот

этой точки к точке B(9; 4;14) . Найти скорость изменения поля.

Решение По формуле (7) найдём производную данного поля в точке А по

направлению вектора AB . Вычислим частные производные функции u arctg x z y в точке А:

u							1													z										u													z												1
u							z													z									;	u													z												1			;

													2									2					2																		2				2
x						x		y					2				x y					2		z			2			x								(x y)							2		z		2						20
			1																														A																		A
																																	A

								z
								z
u							1												z											u														z												1
							z																						;																													;
							z
													2								2						2																		2				2
y					x y								2				(x y)				2			z			2			y									(x y)						2		z		2						20
y					x y												(x y)							z						y			A						(x y)								z								20
		1						z																																												A
								z
u					x y													x y																								x y															3
						z	2																					;		u																													.
						z																								u
										2										2						2																				2
z				x y						2						(x y)				2			z			2				z										(x y)						2	z			2					20
	1																															A																					A
																																A

						z
						z
Найдём направляющие косинусы вектора																																										(4; 3;12) ,										используя
Найдём направляющие косинусы вектора																																					АВ					(4; 3;12) ,										используя
формулы (8):
		cos												4											4		;			cos											3											3		;
									42 32 122															13												42 32 122															13
																	cos												12						12 .
																	cos							42 32						122					12 .
																								42 32						122						13
Итак, по формуле (7) имеем:
												u						1	4							1 3					3		12								29			.
												u						1	4							1 3					3										29

												l			A		20 13							20 13						20 13											260
												l			A		20 13							20 13						20 13											260
Так как							u				0 ,						то скалярное поле																	u arctg									x y					в точке А по
							u																																				x y

							l		A																																				z
							l		A																																				z

направлению l, задаваемому вектором АВ, убывает. Скорость изменения поля будет равна модулю производной по данному направлению

в точке А: ul 26029 .

Пример 3. Найти производную скалярного поля u x2 yz по направлению винтовой линии x a cos t; y a sin t; z bt в точке М, со-

ответствующей значению параметра t	.
Решение	2
Решение				b
Данная точка М имеет координаты x 0;		y а;	z	b	. Так как
Данная точка М имеет координаты x 0;		y а;	z		. Так как
			2

производная скалярного поля вдоль кривой совпадает с производной по направлению касательной к этой кривой в точке М, то найдём единичный вектор этой касательной в данной точке. Для этого надо вычислить производную от радиуса-вектора этой винтовой линии.

Радиус-вектор данной линии: r acosti asin tj

btk ,

дифферен-

цируя, получим:

полу-

asin ti acostj

bk . Вточке M 0; a;

чим касательный вектор: dr

ai bk . Отсюда можно получить ка-

сательный вектор единичной длины:

ai bk

k .

a2 b2

Следовательно, направляющие косинусы единичного вектора опре-

делятся таким образом: сos

; сos 0 ;

сos

a2 b2

Найдём частные производные

функции u x2 yz

точке

M 0; a; b2 .

2x ;

(2x)

M 0 ;

z ;

;

u y ;

a .

Итак, используя формулу (7), найдём производную поля в точке

по направлению винтовой линии:

M 0; a;

0 a

Пример 4. Найти производную скалярного поля u y2 z 2xyz z2

в точке M (3;1;1)

по направлению вектора, образующего с координат-

ными

осями

Ox,

Oy,

Oz углы

α,

β, γ,

если

известно,

что

4 , 2 .

Решение Для вычисления производной скалярного поля в точке М по направ-

лению указанного вектора будем использовать формулу (7). Найдём частные производные данного скалярного поля в точке M (3;1;1) :

u 2yz ;x

u 2 yz 2xz ;

u y2 2xy 2z ;z

( 2 yz)

;

(2 yz 2xz)

4 ;

( y2 2xy 2z)

Таккаквектор, определяющийнаправление, составляетсосямиOx, Oy,

углы		,		, то cos	1	, cos	2	; cos можно найти из соот-
	3		4		2		2

ношения сos2 cos2 cos2					1, откуда
				cos		1 cos2 cos2 .

Так как по условию 2 , то

cos	1 cos2 cos2	1	1		1		1 .
			4		2		2

Искомая производная по формуле (7) равна:

u		( 2)	1	( 4)	2	( 3)	1	5 4 2 .


l	M		2		2		2	2

Пример 5. Найти величину и направление градиента скалярного поля u x3 y3 z3 3xyz в точке M (2;1; 1) .

Решение Для определения величины и направления градиента данного ска-

лярного поля в точке М по формуле (10) необходимо вычислить значения частных производных функции в точке М. Итак,

3x2 3yz ;

(3x2 3yz)

15 ;

u 3y2

3xz

;

(3y2 3xz)

9 ;

u 3z2

3xy ;

(3z2 3xy)

3 .

Следовательно, по формуле (10)

u(M ) 15i 9 j 3k .

grad

Величина градиента определяется по формуле (11):

u(M )

152 92 ( 3)2

315 3 35 .

grad

Пример 6. Найти угол между градиентами полей u x2

y2 z2

и x3

y3 z3 в точке M (1; 1;1) .

Решение

По формуле (10) определим градиенты скалярных полей u и ω. Для этого найдём значения частных производных функций u и ω в точке М:

u 2x ;

2 ;

u 2y ;

2 ;

u 2z ;

2 .

3x2 ;

3 ;

3y2 ;

3 ;

3z2 ;

3 .

Имеем:

u(M ) 2i 2 j 2k ,

(M ) 3i 3 j 3k .

grad

Косинусугламеждуградиентамиуказанныхполейнайдём, восполь-

зовавшись известной формулой: cos(a,b)

22 22

( 2)2

u (M )

12 2

3 ,

Имеем:

grad

(M )

3 .

grad

Тогда cos

u(M ),

(M )

2 3 2 3 ( 2)3

1 .

grad

3 3

Итак, угол между градиентами указанных полей в точке M (1; 1;1)

равен arccos 13 .

Пример 7. Дано скалярное поле u x3 y2 . В каком направлении бу- z

дет, скорее всего, возрастать скалярное поле и, если исходить из точки

M (1; 2;1) ?

Решение Так как направление наибыстрейшего возрастания скалярного поля

совпадаетснаправлениемградиентавданнойточке, тонайдёмградиент этого скалярного поля, используя формулу (10).

u 2x

y ;

;

12 ;

4 ;

;

4 .

4 j 4k .

Имеем:

u(M ) 12i

grad

Это и будет направление, в котором скалярное поле растёт быстрее всего (если исходить из точки М). Максимальная скорость возрастания скалярного поля в соответствии c формулой (11) будет

		u(M )		122 42 ( 4)2		176 4 11 .
равна:	grad	u(M )		122 42 ( 4)2		176 4 11 .

Пример 8. Написать уравнение касательной плоскости к параболоиду z x2 y2 в точке M (2;1; 5) .

Решение Заданную поверхность можно рассматривать как поверхность нуле-

вого уровня скалярного поля u z x2 y2 . Найдём градиент функции и в точке М по формуле (10).

Так как u 2x ; u

4 ;

u 2y ;

2 ; u

1; u

то

u(M ) 4i 2 j k .

grad

Следовательно,

вектор нормали N к поверхности уровня скаляр-

ного поля и имеет координаты: N

4; 2;1 .

Известно, что

уравнение плоскости,

проходящей

через

точку

(x0 ; y0 ; z0 ) перпендикулярно вектору с координатами A; B; C , имеет вид:

A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 .

Следовательно, уравнение касательной плоскости к данному параболоиду в точке М примет вид: 4(x 2) 2( y 1) 1(z 5) 0 , или

4x 2 y z 5 0 .

Пример 9. Найти единичный вектор нормали к сфере

x2 y2 z2 R2

в произвольной точке.

Решение Данная сфера является одной из поверхностей уровня скалярного

поля u x2 y2

z2 , а именно поверхность уровня R2 . Поэтому по

формуле (12):

2xi 2 yj 2zk

xi yj zk

grad

4x2 4 y2 4z2

grad

или

n Rx i Ry j Rz k .

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

НайтипроизводнуюскалярногополявточкеМпонаправлениювек-

тора MN :

1)u x3 2xy xy2 1, M (1; 2) , N (4; 6) .

Ответ: 3,4.

2)u x2 y2 z2 , M (1; 1; 3) , N (0;1;1) .

Ответ: –22.

НайтипроизводнуюскалярногополявточкеМпонаправлениювектора, образующего с осями Ox, Oy, Oz соответственно углы , β, γ:

3)u xy2 z3 xyz , 3 ; 3 ; 2 , M (1;1; 2) .

Ответ: 5.

4)u x2 y 3xyz z2 y , 3 ; 4 ; 2 , M (1;1;1) .

Ответ: 22 .

Установить характер изменения скалярного поля в точке М по направлению вектора MN , определить скорость этого изменения:

5)	u xyz , M (5;1; 8) , N (9; 4; 4) .
Ответ: скалярное поле убывает со скоростью 7			1		.
Ответ: скалярное поле убывает со скоростью 7					.
		13
6)	u ln (ex ey ez ) , M (0; 0; 0) , N (1; 1; 2) .
Ответ: скалярное поле возрастает со скоростью				6		.
Ответ: скалярное поле возрастает со скоростью			9			.
			9

Найти производную скалярного поля вдоль линии L в точке М, соответствующей определённому значению параметра t:

7) u x2 y2 z2 , L : x t2 ; y 1 t; z t3 ; (t 1) .

Ответ: 23 .

Найти градиент скалярного поля в каждой из указанных точек:

9)u x2 2xy 3y2 4x 2 y 5 , M (7; 4) , N (4; 5) . Ответ: grad u(M ) 10i 8 j ; grad u(N) 2i .

10)u x2 3y2 4z2 xy 2 yz 5xz , M (1; 0;1) , N (2; 1;1) . Ответ: grad u(M ) 7i j 13k ; grad u(N) 8i 6 j 20k .

												1
11)	Найти точку, в которой градиент скалярного поля u ln x											1
11)	Найти точку, в которой градиент скалярного поля u ln x
												y
равен		16
равен	i	9	j .
		9
				1	;	3		7	;	3
Ответ:				3	;		,	3	;	4	.
				3		4		3		4

12) Показать, что функция u ln (x2 y2 z2 ) удовлетворяет соот-

ношению u 2ln 2 ln grad u 2 . Найти наибольшую скорость возраста-

ния скалярного поля в точке М.

13) u ln2 (x2 y2 4z) , M (0;1; 2) .

Ответ:	3	5 ln 9 .
	2	y2 z2 , M 2; 4;	5 .
14) u x2

Ответ: 10.

15) Найти единичный вектор нормали к поверхности z 1 x2 y2 .

Ответ: n 2xi 2 yj k . 4x2 4 y2 1

[4, № 3439–3444, 3451–3457, 3459].

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]