Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Специальные главы математического анализа. Теория поля. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Вычислим rot F

по формуле (15):

( y2 )

( z2 )

rot F

(x2 )

( y2 )

( z2 )

(x2 )

(2 y 2z)i

2( y z)i .

Итак, Ц

( y z) dydz.

rot Fnd 2

АВС

AOC

Переддвойныминтеграломвзятзнак«+», таккаквекторнормали п

составляет с осью Ох острый угол:

2 y

z 2 y

( y z) dydz dy

( y z) dz

BOC

z 0

2 y

Окончательно: Ц 28 / 3 16 / 3.

Пример 3. Вычислить циркуляцию векторного поля

F xyi yzj xzk

по линии пересечения поверхности x2 4 y z с координатными

плоскостями в направлении от точки пересечения данной поверхности с осью Ох к точке пересечения поверхности с осью Оу непосредственно и по формуле Стокса.

Решение Определим линии пересечения данной поверхности с координат-

ными плоскостями (рис. 23).

Рис. 23

в первом октанте в точке

Вплоскости Оху z = 0, уравнение линии АВ: x2 4 y . Это парабола с вершиной В(0; 4; 0) , которая пересекает ось Ох в первом октанте в точке А(2; 0; 0) .

Вплоскости Оyz x = 0, уравнение линии BC: y + z = 4. Это прямая, пересекающая оси

Оу и Oz в точках В(0; 4; 0) и С(0; 0; 4) .

Вплоскости Охz y = 0, уравнение ли-

нии АC: x2 4 z . Это парабола с вершиной в точке С(0; 0; 4) , которая пересекает ось Ох

А(2; 0; 0) .

1. Вычислим циркуляцию векторного поля по направлению от точки А к точке В непосредственно по формуле (31). Так как линия L состоит из трёх участков АВ, ВС, СА, то

ЦF dl xydx yzdy xzdz

xydx yzdy xzdz xydx yzdy xzdz.

Вычислим каждый интеграл отдельно.

Так как линия АВ задается уравнением x2 4 у (z = 0, dz = 0), х изменяется от 2 до 0,

				0	2
	xydx yzdy xzdz x(4 x2 ) dx (x3 4x) dx
AB				2	0
		x	4	2x2		2

						4 8 4 .
		4

						0

Так как линия ВС задается уравнением y + z = 4, (х = 0, dх = 0, dz = – dy), y изменяется от 4 до 0,

										0								4
	xydx yzdy xzdz у(4 у)dу ( у2 4 у) dу
	ВС									4								0
					3							4		64		32 32 .
					3							4
			у			2 у			2
						2 у									3
				3											3			3
												2					x2 4 z (y = 0, dy = 0,
												2
Так как линия CA имеет										уравнение
dz = –2xdx), х изменяется от 0 до 2,
							2												2
	xydx yzdy xzdz x(4 x2 )( 2x)dx 2 (4x2 x4 ) dx
CA							0												0
		8x3		2x5				2					64			64		128	8			8	.
		8x3		2x5				2					64			64		128				8

		3			5								3			5		15				15
		3			5								3			5		15				15
								0
								0
Окончательно: Ц 4							128				32			248 16						8	.
Окончательно: Ц 4							15						3	248 16					15		.
							15						3			15			15

2. Вычислим циркуляцию векторного поля по направлению, указанному на рис. 23, используя формулу Стокса (32).

По формуле (15) найдём rot F :

(xz)

( yz)

(xy)

(xz)

rot F

( yz)

(xy)

xk.

В качестве поверхности Ω, натянутой на контур АВС, возьмём боковую поверхность «пирамиды» ОАВС, состоящую из «граней» АОВ, ВОС, СОА. (Можно было в качестве Ω взять поверхность АВС, задавае-

мую уравнением x2 4 y z .) Следовательно,

			ydydz zdxdz xdxdy
Ц rotF	nd

AOB

	ydydz zdxdz
BOC
xdxdy	ydydz zdxdz xdxdy.
AOC

Каждый из интегралов вычислим отдельно.

Так как на плоскости АОВ z = 0, dz = 0, направление вектора нормали к плоскости АОВ, согласованное с направлением обхода контура АВС, совпадает с направлением оси Oz, то перед двойным интегралом по области АОВ надо выбрать знак «+»:

			2	4 x2
	ydydz zdxdz xdxdy		xdxdy xdx		dy
AOB		AOB	0	0
	2	0
	x(4 x2 ) dx x(4 x2 ) dx 4.
	0	2

Так как на плоскости ВОС х = 0, dх = 0, направление вектора нормали, согласованное с направлением обхода контура АВС, совпадает с направлением оси Oх, то перед двойным интегралом по области ВОС надо выбрать знак «+»:

					4	4 y
	ydydz zdxdz xdxdy			ydydz ydy			dz
BOC			BOC		0	0
	4	0			32 .
	y(4 y) dy y(4 y) dy				32 .
	0	4			3
	0	4

Так как на плоскости АОС у = 0, dу = 0, направление вектора нормали, согласованное с направлением обхода контура АВС, совпадает с направлением оси Oу, то перед двойным интегралом по области АОС надо выбрать знак «+»:

													2		4 x2
	ydydz zdxdz xdxdy									zdxdz dx						zdz
AOC								AOC					0		0
	2			2		2		2				x4 ) dx
		(4	x		)	dx 1		(16 8x2				x4 ) dx
	0		2				2	0
	0							0
			8x		4x3		x5		2		128	8	8	.
					4x3		x5		2		128		8

						3					15		15
						3	10				15		15
									0
									0

Окончательно: Ц 4 323 12815 24815 16158 . Пример 4. Вычислить циркуляцию векторного поля

F (z2 x2 )i (x2 y2 ) j ( y2 z2 )k вдоль линии пересечения по-

верхностей x2 y2 z2 4 и x2 y2 z2 (z 0) . Направление обхода

должно быть выбрано так, чтобы область, ограниченная данным контуром, находилась слева. Проверить правильность полученного результата по формуле Стокса.

Решение

Изобразимуказанныйконтур(рис. 24). Данный контур L является ли-

нией пересечения сферы x2 y2 z2							4 с конусом	x2 y2	z2 , т. е.
		2	y		2	2,
окружностью	x		y			2,
окружностью				2.
	z			2.

В параметрической форме эта окруж-
ность будет иметь вид:
	x			2 cost,
				2 sin t,
	y			2 sin t,
				2,
	z			2,

где 0 t 2 .	Рис. 24

Вычислим циркуляцию данного векторного поля по формуле (31):

Ц (z2 x2 )dx (x2 y2 )dy ( y2 z2 ) dz

	L
2	(2 2cos2 t)	2 sin t (2cos2 t 2sin2 t)	2 cost
	(2 2cos2 t)	2 sin t (2cos2 t 2sin2 t)	2 cost
0

(2sin2 t 2)0 dt 2 2 ( sin t sin t cos2 t cos3 t sin2 t cost) dt

						0
			02 2				2						2
	2	2 cost					2 cos2 td(cost) 2					2 cos2 td(sin t)
	2	2 cost					2 cos2 td(cost) 2					2 cos2 td(sin t)
						0							0
2	2							2 cos3 t			2	2
	2										2	2
	2 sin2td(sin t) 0 2										2	2 (1 sin2 t) d(sin t)
	0						2	3			0		0		2
	0							3			0		0
		2 2 sin		3	t			0 2	2				3	t


										sin t sin					0.
		3										3
							0								0

Проверим правильность вычислений по формуле Стокса (32). Для этого вычислим rot F .

( y2 z2 )

(x2 y2 )

rot F

z2 x2

x2 y2

y2 z2

(z2 x2 )

( y2

z2 )

(x2 y2 )

()z2 x2

2 yi 2zj 2xk.

В качестве поверхности Ω, натянутой на контур L, проще всего вы-

брать круг в плоскости z		2 (также можно в качестве Ω выбрать по-
верхность сферы x2	y2 z2	4 или конуса x2 y2 z2 (z 0) ).

Итак, Ц rot F	nd 2ydydz 2zdxdz 2xdxdy.

На плоскости z 2 dz = 0, направление вектора нормали, согла-

сованное с направлением обхода контура L, совпадает с направлением оси Oz, поэтому перед двойным инте-

гралом по области Dxy надо выбрать знак «+» (где Dxy – проекция круга

x2 y2 2 , z 2 на	плоскость	Оху,
рис. 25).
Получим:
2 ydydz 2zdxdz 2xdxdy

2 xdxdy.				Рис. 25
Dxy
Для вычисления полученного двойного интеграла введём полярные
координаты: x cos ,	y sin ,	0 2 , 0			2 .
Имеем:
2	2	2 2	2	cos d 2	2 sin	2
2	2		2			2
2 xdxdy 2 cos d 2d						0.
0	0	3	0	3		0
0	0	3	0	3		0

Пример 5. Вычислить циркуляцию векторного поля напряжённости магнитного поля, создаваемого током, текущим по бесконечно длин-

ному прямолинейному проводу		2Iy		2Ix		вдоль окруж-
	H		i		j
		x2 y2		x2 y2

ности x2 y2 R2 , z const.

Направление обходадолжнобытьвыбранотак, чтобыобласть, ограниченная этим контуром, оставалась слева.

Решение Вычислим циркуляцию данного векторного поля по формуле (31).

Так как параметрические уравнения окружности x2 y2 R2 , z const

имеют вид: x Rcost ,

y R sin t ,

z const (0 t 2 ), то имеем:

2Iy

2Ix

L x

2 2IRsin t( Rsin t)

2IRcostRcost

(sin2 t cos2 t) dt 2I dt 2 2I 4 I.

Заметим, что для вычисления циркуляции этого векторного поля

нельзя применять формулу Стокса. По формуле Стокса переход от кри-
волинейного интеграла
волинейного интеграла		H dl	к поверхностному rot H nd возмо-
	L

жен при условии, что поверхность Ω, натянутая на контур L, целиком

содержится в области V, где поле Н непрерывно вместе с первыми частными производными. В данном случае любая поверхность Ω, натя-

нутая на окружность x2 y2 R2 , z const , пересекает ось Oz, вдоль

которой поле Н терпит разрыв. Таким образом, не существует поверхности Ω, натянутой на окружность L и лежащей в области непрерывно-

сти поля Н . Следовательно, формулу Стокса применять для вычисления циркуляции нельзя. В этом случае для вычисления циркуляции век-

торногополя Н применяетсяпрямойметод(чтоибылосделановыше).

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Найти циркуляцию векторного поля F по контуру L непосредственно и применяя формулу Стокса в направлении против часовой стрелки:

1) F 2xi yj , контур L состоит из первой четверти эллипса

	x2		y2	1 и отрезков осей координат.
	a2		b2	1 и отрезков осей координат.
	a2		b2
		Ответ: 0.
		2)	F	уi , L – окружность x2	( y b)2	b2 .
		Ответ: b2 .
		3)	F	xyzi (x y z) j x2 y2k , L –		контур квадрата, определяе-
мого уравнениями: x + y = a, x – y = a, y – x = a, x + y = - a, z = 0.
		Ответ: 2а2 .
		4)	F	xi yj zk , L – линия пересечения сферы x2			y2 z2 16
с плоскостью z = 2.
		Ответ: 0.
		5)	F	zi xj yk , L –	линия	пересечения	поверхности

z x2 y2 10 и плоскости z = –1.

Ответ: 18 .

6) F yi zj xk , L – линия пересечения поверхности

z 2(1 x2 y2 ) с плоскостью z = 0.

Ответ: .

Вычислить циркуляцию векторного поля F вдоль линии пересечения поверхности Ω с координатными плоскостями в направлении от точки пересечения Ω с осью Ох к точке пересечения с осью Оу непо-

средственно и по формуле Стокса.

7) F xyi yzj xzk ; Ω: x + y + z – 1 = 0.

Ответ: –0,5.

8) F (2z x)i (x 2 y) j 3zk ; Ω: x + 4 y + 2z – 8 = 0.

Ответ: 40.

9) F xyi z2 j ; Ω: y2 1 x z .

Ответ: –0,8.

10) F y2i x2 j zk ; Ω: (x z)2 4 y.

Ответ: 25151 .

11) F y2i x2 j k ; Ω: x2 y2 z2 R2 .

Ответ: 43 R2 .

[4, № 4450–4456, 4463–4465].

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]