Специальные главы математического анализа. Теория поля. Учебное пособие

откуда интегрированием получаем уравнения векторных линий (линий тока):

x2 y2 C,

z const,

x2 y2 C – это уравнение семейства круговых концентрических ци-

линдров, общая ось которых совпадает с осью Oz. Линии тока получаются в пересечении этих цилиндров с плоскостями z const и представляют собой семейство концентрических окружностей с центром в начале координат (рис. 6). Так как течение жидкости установившееся, то эти линии являются одновременно и траекториями движения частиц. Это движение называется вихревым.

Знание составляющих поля P и Q позволяет вычислить величину вектора скорости в любой точке объёма жидкости:

Следовательно, проведённое исследование дало возможность представить картину течения жидкости, определённого полем скоростей v :

частицы жидкости движутся по концентрическим окружностям с центром в начале координат. При этом величина скорости частиц убывает обратно пропорционально расстоянию от начала координат.

Рис. 6

11

Пример 8. Найти векторные линии магнитного поля, создаваемого током, текущим по бесконечно длинному прямолинейному проводу.

Решение Магнитное поле характеризуется силой, называемой напряжённо-

стью Н , которая, как известно из курса физики, определяется формулой H r22 (J r ) , где J – вектор силы тока; r – радиус-вектор рас-

В соответствии с формулой (5) семейство векторных линий будет определяться из системы дифференциальных уравнений:

dx dy ,y x

откуда

dx dz .y 0

Решая эту систему, находим: x2 y2 C1,

z C2 .

12

Таким образом, векторными линиями

напряжённости магнитного поля Н являются окружности, образованные пересече-

нием круговых цилиндров x2 y2 C1 и плоскостей z C2 (рис. 7). Вектор напря-

жённости Н в каждой точке поля направлен по касательной к векторной линии.

Решение Как известно из курса физики, единичная масса, расположенная

в произвольной точке пространства M (x, y, z) , будет притягиваться к материальной точке массы m, расположенной в начале координат,

Эта сила, определяемая в каждой точке пространства, образует векторное поле – поле тяготения точечной массой т.

В соответствии с формулой (5) векторные линии этого поля будут определяться из уравнений:

или dxx dyy dzz .

13

Для получения уравнений векторных линий надо проинтегрировать систему уравнений

мые проходят через начало координат. Итак, векторные линии поля – пучок прямых, проходящих через начало координат (рис. 8).

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Найти и построить линии уровня плоского скалярного поля:

1)u x2 y2 .

Ответ: x2 y2 C2 .

2)u xy2 .

Ответ: y Cx2 .

Найти и построить поверхности уровня скалярного поля:

3)u = x + y + z.

Ответ: x + y + z = С.

4)u arccos z .

x2 y2

14

Найти и построить поверхность уровня скалярного поля, проходящую через точку:

5)u x2 y2 2x 4 y 19 , M 2;3 .

Ответ: (x 1)2 ( y 2)2 26 .

6)u 6x2 3y2 2z2 24x 6 y 4z 20 , M ( 2;1; 1) . Ответ: 6(x 2)2 3( y 1)2 2(z 1)2 .

7)u 3x2 4 y2 6z2 6x 16 y 36z 13, M 1;1;1 .

Ответ: x3 y3 C1,

y3 z3 C2 .

11) Найти поверхности уровня электростатического поля, создаваемого одним точечным зарядом величиной q, находящимся в точке

P0 ( ; ; ) .

Ответ: (x )2 ( y )2 (z )2 C12 , (C1 q / 4 C) .

12) Найти векторные линии линейных скоростей жидкости, вращающихся вокруг оси, v ( yi xj) , где const – угловая скорость.

Ответ: x2 y2 C1,

z C2.

15

13) Исследовать течение жидкости, для которого задано поле скоро-

Вместо предложенных для самостоятельного решения задач можно решить задачи [4, № 3016, 3018–3022, 3028–3030, 4401–4404].

16

где cos , cos , cos – направляющие косинусы луча l.

Заметим, что:

1)производная скалярного поля (1) по направлению кривой L совпадает с производной по направлению касательной к этой линии

вточке М;

2)производная скалярного поля (1) по направлению, касатель-

ному к поверхности уровня, равна нулю.

Градиентом скалярного поля (1) в произвольной точке М называется вектор, определяемый формулой:

(если функция u (x, y, z) непрерывна вместе с частными производными

ux , uy , uz в точке М).

Если ввести в рассмотрение дифференциальный оператор (оператор Гамильтона) x i y j z k , то можно получить ещё одно

обозначение градиента скалярного поля: gradu u (знак читается «набла»).

18

Формулу (7) можно также рассматривать как скалярное произведениедвухвекторов: вектора gradu , определяемогоформулой(10), иединичного вектора е , определяющего направление l ( e cos i cos j

cos k ). Следовательно, ul gradu е.

Используя определение скалярного произведения двух векторов, можно получить, что ul gradu cos , где – угол между векторами

gradu и е . Отсюда следует, что производная по направлению ul до-

Таким образом, можно дать ещё одно определение градиента функции в точке.

Градиентом скалярного поля и в точке М называется вектор,

внаправлении которого производная скалярного поля в точке М имеет наибольшее значение. Модуль градиента равен максимальному значению производной в этой точке.

Физический смысл градиента скалярного поля в точке М состоит

вследующем: градиентскалярногополяиестьвектор, направленныйиз точкиМвсторонунаибыстрейшеговозрастанияфункции u(x, y, z) ипо

длине равный модулю производной поля в этом направлении. (Очевидно, что вектор gradu имеет направление наибыстрейшего убывания функции u(x, y, z).). Эти направления называются направлениями

быстрейшего подъёма и спуска функции и.

Так как градиент скалярного поля (1) в точке М направлен по нормали к поверхности уровня u(x, y, z) С , проходящей через точку М,

то с помощью градиента можно найти единичный вектор нормали п к поверхности F (x, y, z) С :

19

причём знак «+» соответствует направлению возрастания скалярного поля.

С помощью градиента можно указать простой способ геометрического построения производной по направле-

нию ul в заданной точке М (рис. 9).

Находим и строим поверхность уровня, проходящую через точку М.

ресечения его со сферой в точке Р. Тогда МР grad u cos ul .

Свойства градиента:

1)gradС 0 , где C = const;

2)grad(Сu) Сgradu ;

3)grad (uv) vgradu ugrad v ;

4)grad u v grad u 2 u gradv ;

v v

5) grad F(u) F (u)gradu .

Заметим, что формула (10) определяет векторное поле, которое называется полем градиентов скалярного поля u u(x, y, z) .

20