Специальные главы математического анализа. Теория поля. Учебное пособие

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ:

ДИВЕРГЕНЦИЯ И РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ПОЛЕЙ

Пусть F P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k – векторное поле

В гидродинамической интерпретации divF(М) есть плотность источников в точке М:

если div F(М) > 0, то в точке М – источник; если div F(М) < 0, то в точке М – сток;

если div F(М) = 0, то в точке М нет ни источников, ни стоков.

Например, вэлектрическомили магнитномполеисточниками будут соответственно положительные заряды или северный полюс магнита, а стоками – отрицательные заряды или южный полюс.

Говорят, что в точках, где div F 0 , векторные линии начинаются, а там, где divF 0 , векторные линии заканчиваются.

31

Свойства дивергенции:

1) div(F G) div F divG ; 2) div(uF) u div F Fgrad u .

Ротором (вихрем) векторного поля

F P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k

Физический смысл ротора векторного поля состоит в следующем: роторвекторногополявточке М0 – этовектор, внаправлениикоторого

завихренность поля в точке М0 максимальная, причём длина вектора равна этому максимальному значению.

Если ввести в рассмотрение дифференциальный оператор Гамиль-

тона x i y j z k , то, как было установлено:

1) u gradu ;

2) F x i y j z k P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k

P Q R div F ;x y z

32

с помощью оператора Гамильтона.

Дадим определения основным типам векторных и скалярных полей. 1. Если в любой точке некоторой области V дивергенция векторного

поля равна нулю ( div F = 0), то такое поле называют соленоидальным

(или трубчатым) в области V.

Согласно определению соленоидальное поле не может иметь ни источников, ни стоков.

Примером соленоидального поля может служить магнитное поле, возникающее при прохождении электрического тока через катушку индуктивности (соленоид). Соленоидальным является также векторное поле скоростей твёрдого тела, вращающегося относительно некоторой оси с постоянной угловой скоростью, и центральное силовое поле, создаваемоепомещённойвегоцентрематериальнойточкойилиточечным электрическим зарядом.

Соленоидальное поле обладает следующими свойствами:

1) поток соленоидального поля через любую замкнутую поверхность Ω, ограничивающую объём V, равен нулю;

2) поток соленоидального поля одинаков через любое поперечное сечение векторной трубки;

3) поле вихрей любого векторного поля соленоидально;

4) всякое соленоидальное поле является полем вихрей некоторого другого векторного поля.

2. Если в любой точке некоторой области V ротор векторного поля равен нулю ( rot F = 0), то такое поле называют безвихревым в этой об-

ласти.

Изопределенияследует, чтобезвихревоевекторноеполелишеновращательной способности. Безвихревым, например, будет поле постоянного вектора, поле радиуса-вектора r , поле градиента скалярного поля.

33

3. Вихревое поле называется потенциальным, если оно является полем градиентов некоторой скалярной функции (т. е. если существует

скалярное поле и, для которого F grad u ). Функция и при этом назы-

вается потенциалом векторного поля F . (Иногда потенциалом называют функцию – и, что удобнее с физической точки зрения: векторные

линии поля F обычно направлены в сторону убывания потенциала.) Так как grad (u С) grad u , то потенциал определяется не одно-

значно, а с точностью до прибавления произвольной постоянной. Потенциальными полями являются, например, гравитационное поле, поле электростатической напряжённости, поле плотности теплового потока, поле напряжённости магнитного поля и др.

Потенциальное поле обладает следующими свойствами:

1)всякое потенциальное поле является безвихревым;

2)всякое безвихревое поле в односвязной области V является потенциальным;

3)работасилыпотенциальногополяравнаразностизначенийпотенциала в конечной и начальной точке пути и не зависит ни от вида, ни от длины траектории, по которой перемещается точка приложения силы;

4)циркуляцияпотенциальногополяполюбомузамкнутомуконтуру равна нулю. (Определение циркуляции векторного поля будет дано позднее.)

Для определения работы в потенциальном силовом поле

34

4.Векторное поле, являющееся одновременно и соленоидальным,

ипотенциальным, называетсягармоническим. Такиеполянеимеютни вихрей, ни источников.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Пример 1. Найти градиент от дивергенции и ротор векторного поля

6xzi (4x2 6 yz) j 2 yk .

35

Проанализируем полученный результат. Так как коэффициент С связан с объёмной плотностью электрического заряда ρ соотношением

С , то дивергенция векторного поля прямо пропорциональна

3 0

плотности электрического заряда ρ: div E .

0

Электрический заряд является источником поля, которое изображается силовыми линиями, берущими своё начало на положительных электрических зарядах и оканчивающимися на отрицательных зарядах (рис. 10). Если заряды отсутствуют, (ρ = 0), то количество силовых линий, входящих в некоторую область пространства, будет равно количеству линий, выходящих из неё. При этом дивергенция вектора напряжённости поля в любой точке этой области равна нулю.

Рис. 10

Если плотность электрического заряда ρ > 0, то силовые линии расходятся от электрически заряженной области пространства и дивергенция вектора напряжённости в данной точке будет положительна. Таким

36

образом, дивергенция векторного поля определяет расхождениевекторных (силовых) линий.

Пример 3. Найти дивергенцию силы притяжения F rmr3 точки массой т, помещённой в начале координат.

Решение

Так как r xi yj zk , то F mr (xi yj zk ) . r3

Так как r2 x2 y2 z2 , то 2r xr 2x , откуда xr rx .

Таким образом, дивергенция поля F rmr3 в любой точке, кроме начала координат, равна нулю.

37

Решение Найдём координаты вектора скорости

( xy) j ( xz) k 2 i .

Итак, модуль ротора скорости равен удвоенной угловой скорости вращения твёрдого тела вокруг неподвижной оси. Это означает, что полевектораскоростиобязаносвоимпроисхождениемвращениюсреды с угловой скоростью ω, определяемой величиной ротора.

Пример 5. Определить, будет ли поле соленоидальным, безвихревым или гармоническим F (10x 8 y)i 8xj (12z2 5)k .

Решение В соответствии с формулой (13) найдём

div F (10x 8y) ( 8x) (12z2 5) 10 24z.

x y z

38

Так как div F 0, то данное векторное поле не является соленоидальным.

Следовательно, данное векторное поле является безвихревым.

Пример 6. Доказать, что векторное поле F xi ( y z) j ( y z)k является потенциальным, и найти его потенциал.

Решение

Поле F определено во всём пространстве, т. е. в односвязной области. Так как для того, чтобы векторное поле было потенциальным в односвязной области, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвих-

ревым (свойства 1, 2 потенциального поля), то определим rot F . В соответствии с формулой (15):

39

Следовательно, rot F 0 и данное векторное поле является потен-

циальным.

Найдём потенциал поля по формуле (17), выбирая в качестве точки М0 начало координат. Тогда

C 12 (x2 y2 z2 2 yz).

Пример 7. Показать, что векторное поле F yzi xzj xyk потен-

циально, найти работу этого поля по перемещению единичной массы вдоль пути АВ от точки А(1; 2; 3) до точки B(6; 2;1) .

что и доказывает потенциальный характер поля F . В этом случаевыражение yzdx xzdy xydz является полным дифференциалом некоторой

функции и.

Найдём работу этого поля на пути АВ по формуле (16):

40