Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Специальные главы математического анализа. Теория поля. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Длявычисленияполученногодвойногоинтегралаперейдёмкполярным координатам x cos , z sin , тогда


		1					2	1 .


	xdxdz 2 cos d 2d		1	2	1	sin
Dxz	0	0	3	cos d	3	sin		3
Dxz	0	0		0	3		0
				0			0

Окончательно для полного потока находим:

П П1 П2 П3 П4 151 13 0 0 52 .

Примечание. Внекоторыхслучаях, исходя из геометрических представлений, вычисления можно существенно сократить. Это показано на следующем примере.

Пример 5. Найти поток радиуса-вектора r xi yj zk через кру-

говой цилиндр радиусом R и высотой Н. Решение.

Изобразим указанную поверхность Ω

(рис. 19).

Так как поверхность Ω состоит из боковой поверхности и двух оснований цилиндра, поэтому поток радиуса-вектора r через поверхность Ω определяется таким образом:

П П1 П2 П3 ,

где П , П		2	, П	3	– потоки радиуса-вектора
	1
r	через боковую поверхность, верхнее
и нижнее			основания данного цилиндра.
Длявычисленияпотоковиспользуемфор-
мулу (18).						П1 . На боковой поверх-	Рис. 19
	а) Вычислим

ности данного цилиндра внешняя нормаль п параллельна плоскости
Оху, r n		прпr				R (рис. 19), поэтому

			,
П1 r	nd Rd R d RS1		,
1	1	1

где 1 – боковая поверхность цилиндра; S1 – площадьбоковой поверхности цилиндра.

Так как S1 2 RH , то П1 2 R2 H .

б) Вычислим П2 . На верхнем основании цилиндра вектор внешней нормали п1 параллелен оси Oz, r n1 прп1 r Н (рис. 19), поэтому

П2 r n1d Нd Н d НS2 ,

2	2	2
где 2 – верхнее основание цилиндра; S2		– площадь верхнего основа-

ния цилиндра. Так как S2 R2 , то П2 R2 H .

в) Вычислим П3 . На нижнем основании цилиндра вектор внешней

нормали п2 параллелен оси Oz, и п2 r , откуда r n2 0 и П3 0 . Окончательно имеем: П 2 R2 H R2 H 3 R2 H .

Проще при решении этой задачи для вычисления потока векторного поля использовать формулу Гаусса–Остроградского (29). Так как

divr (x) ( y) (z)

x y z


то П divrdV 3dV 3 dV 3 R2 H ,
V	V	V

объём цилиндра радиуса R и высоты Н.

Пример 6. Вычислить поток поля F x3i ность сферы x2 y2 z2 R2 .

3 ,

поскольку dV V –

y3 j z3k через поверх-

Решение Для вычисления потока векторного поля удобнее воспользоваться

формулой Гаусса–Остроградского (29).

Так как div F (x3 ) ( y3 ) (z3 ) 3(x2 y2 z2 ) ,

x y z

то

П divFdV 3(x2 y2 z2 )dV 3 (x2 y2 z2 )dxdydz,

	V	V					V
где V – шаровая область, ограниченная сферой x2 y2									z2 R2 .
Длявычислениятройногоинтегралаудобновоспользоватьсясфери-
ческой системой координат: x cos cos ,							y sin cos ,			z sin ,
где0 2 ,		, 0 R.
	2	2
Имеем:
	П 3	(x2 y2 z	2 ) dxdydz 3				4 cos d d d

	V					V
2				5	2			5	2		5
2	2	R	3R	5	2	2		5	2	12 R	5
3	d cos d 4d		3R		d cos d 6R				d	12 R	.
0		0	5		0		5		0	5
	2					2
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1) Найти поток векторного поля
	F (2x y)i (x y 2z) j (2x z)k
через треугольник АВС с вершинами А(3; 0; 0) , B(0; 3; 0) ,										C(0; 0; 3) в
направлении внешней нормали.
Ответ: 72.
Найти поток векторного поля F						через замкнутую поверхность Ω,

образованную поверхностью 1 и координатными плоскостями непо-

средственно и по формуле Гаусса–Остроградского.

2) F (3x y)i (2 y z) j (2z x)k ; 1 : 2x 3y z 6 0.

Ответ: 42.

3) F 4zi (x y z) j (3y z)k ; 1 : x 2 y 2z 2 0.

Ответ: 0.

4)F xy2i x2 yj zk ; 1 : z 4 x2 y2 .

Ответ: 143 .

5)F zi j xk ; 1 : x2 y2 z2 R2 .

Ответ: .

Найти поток векторного поля F через замкнутую поверхность Ω,

используя формулу Гаусса–Остроградского.
6) F	3xi	yj zk ; : 9 z x2 y2 , (0 z 9).
Ответ:		81	.
		2
7) F
	yi xj zk ; : x2 y2 z2 , (0 z 1).

Ответ: .

8) Вычислить поток радиуса-вектора r xi yj zk через прямой

круговой конус с вершиной в начале координат, радиусом R и высотой Н.

Ответ: R2 H .

9) Вычислить поток сил тяготения F rm3 r через сферическую

поверхность радиусом R с центром в начале координат.

Ответ: 4 m .

[4, № 4450–4456, 4457–4462].

5. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ:

ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

Пусть в пространстве задано векторное поле

F P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k .

Возьмём в этом поле некоторую замкнутую кривую L и выберем на

ней определённое направление. Обозначим через dl вектор, имеющий

направление касательной к кривой L и по модулю равный дифференциалу длины дуги кривой.

Криволинейный интеграл
Ц
	Fdl	(30)
L
по замкнутому контуру называется циркуляцией векторного поля F по
контуру L, причём обход контура L совершается против		часовой

стрелки. При изменении направления обхода контура циркуляция меняет знак.

Физическийсмыслциркуляциисостоитвследующем. Еслирассматривать векторное поле как поле скоростей текущей жидкости, то циркуляция будет характеризовать вращательную способность векторного поля. С другой стороны, циркуляция силового поля по замкнутому контуру равна работе сил поля на этом контуре.

Если векторное поле F является потенциальным в односвязной области, топодынтегральноевыражениеформулы(30) будетполнымдифференциаломнекоторойфункции, значит, криволинейныйинтеграл(30) равен нулю. Следовательно, в потенциальном поле циркуляция всегда

равна нулю. Циркуляция векторного поля F вдоль любой векторной
линии поля отлична от нуля.
Вычисление циркуляции векторного поля F по формуле (30) сво-
дится к вычислению криволинейного интеграла второго рода.
Если кусочно-гладкая кривая L задаётся параметрическими	уравне-
ниями x x(t), y y(t), z z(t), t1 t t2 , а векторное поле F	задано

непрерывными вместе со своими частными производными первого порядка функциями P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) , то получим

F P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k , и dl dxi dyj dzk

Тогда

Ц Fdl P(x, y, z) dx Q(x, y, z) dy R(x, y, z) dz

L L

t2

	[P x(t), y(t), z(t) x (t)
t1
		(31)
Q x(t), y(t), z(t) y (t) R x(t), y(t), z(t) z (t)]dt.		(31)

Если Ω – поверхность, натянутая на простой замкнутый контур L, лежащаяцеликомвместесосвоейграницейL вобластиV, тобудетспра-

ведлива теорема Стокса:
Циркуляция векторного поля F					вдоль контура L равна потоку ро-
тора поля F	через поверхность Ω, натянутую на контур L.
										(32)
		Ц F		dl	rot F nd ,					(32)
или			L
или
							R	Q
	Ц Pdx Qdy Rdz						R	Q	dydz
	L						y	z
		P	R			Q		P		(33)
		z	dxdz			x		dxdy.		(33)
		z	x			x		y

При этом выбор нормали п в правой части формулы (32) должен

быть согласован с направлением обхода контура в левой части следующим образом: если двигаться вдоль контура, находясь на стороне поверхности, которая указывается вектором п, то поверхность Ω должна

оставаться слева от контура (рис. 20).

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Найти циркуляцию векторного поля F y i x j

вдоль замкнутой кривой, образованной осями координат и дугой астроиды, расположенной в первой координатной четверти в направлении против часовой стрелки, непосредственно и по формуле Стокса.

Решение 1. Вычислим циркуляцию данного векторного поля непосред-

ственно по формуле (31). Изобразим указанную кривую L (рис. 21).

Рис. 20 Рис. 21

Кривая L состоит из двух отрезков ВО и ОА осей координат и дуги АВастроиды. ТаккакобходпокривойL надосовершатьпротивчасовой

стрелки, тоциркуляциявекторногополя F вдолькривойL будетравна:

Ц			ydx xdy	ydx xdy ydx xdy.
Ц	F	dl	ydx xdy	ydx xdy ydx xdy.
L			AB	BO	OA

Вычислим каждый из интегралов правой части отдельно.

На дуге АВ астроиды x a cos3 t,	y asin3 t,	0 t	.	Так как
			2

xt 3a cos2 t( sin t), yt 3a sin2 t cost, то по формуле (31) имеем:

		ydx xdy		asin3 t( 3a cos2 t sin t) a cos3 t3asin2 t cost dt
	АВ			0

		2										2
3a2 (sin4t cos2t cos4t sin2 t) dt 3a2												sin2t cos2t(sin2 t cos2 t)dt
		0										0

		3a	2 2		3a		2 2	1 cos 4t		dt			3a	2 2	3a	2 2
		4	sin2 2tdt			4		2		dt			8	dt	8	cos 4tdt
		4	0			4	0	2					8	0	8	0
			0				0							0		0
						3 a2		3a2						3 a2 .
						3 a2			sin 4t		2
									sin 4t		2
						16		32			0			16
						16		32			0			16
	На отрезке ВО оси Оу имеем х = 0, а значит, и dx = 0, поэтому
	ydx xdy 0.

BO На отрезке ОА оси Ох имеем у = 0, а значит, и dу = 0, поэтому

ydx xdy 0.

3 а2

Окончательно: Ц

0 0

2. Вычислим циркуляцию векторного поля, используя формулу

Стокса (32). В качестве поверхности Ω, натянутой на контур L, удобно

выбрать плоскую фигуру АВОА на плоскости Оху. Вычислим rotF

по

формуле (15):

(0)

( x)

( y)

(0)

rot F

( x) ( y)

2k.

Так как единичный вектор нормали					n к данной поверхности, согла-
сованный		с	направлением	обхода,
					совпадает с вектором k , то

rot F	n 2k		k 2 и Ц	rot Fnd 2 d 2S, где S – площадь

фигуры АВОА. Найдём

				a				0													0
		S ydy						asin3 t3a cos2 t( sin t) dt 3a2													sin4 t cos2 tdt
				0
								2													2
								2								3a2
3a	2	2	1 cos 2t					2	1 cos 2t							3a2	2	cos 2t cos				2	3	2t) dt
3a					2						2	dt				8	(1	cos 2t cos					2t cos	2t) dt
		0			2						2					8	0
												2								2
				2			2				3a		2	1	cos 4t dt				3a		2
		3 a		2		3a	2			2			2								2
		3 a				3a		sin 2t		2											cos2 2td(sin 2t)
			16			16				0	8		0			2			16		0
			16			16				0	8		0			2			16		0

3 a2 0 3 a2 3a2 sin 4t 2 3a2 2 (1 sin2 2t) d(sin 2t) 3 a2 16 32 64 0 16 0 32

3a2 sin 2t 2 3a2 sin3 2t 2 3 a2 . 16 0 16 3 0 32

Окончательно: Ц 2S 2 332a2 316a2 .

Пример 2. Найти циркуляцию векторного поля F x2i z2 j y2k вдоль линии L пересечения плоскости 2x y z 2 0 с координат-

ными плоскостями в направлении нормального вектора этой плоскости (рис. 22): непосредственно и по формуле Стокса.

Решение 1) Вычислим циркуляцию векторного поля вдоль указанной кривой

непосредственно по формуле (31):

Рис. 22

Ц			x2dx z2dy y2dz
	F	dl

x2dx z2dy y2dz x2dx z2dy

y2dz x2dx z2dy y2dz.

Вычислим каждый из криволинейных интегралов отдельно.

Уравнение прямой АВ имеет вид: 2х + + у = 2, на прямой АВ х изменяется от 1 до 0 (также z = 0, dz = 0). Поэтому

0	x3	0	1 .

x2dx z2dy y2dz x2dx
1	3	1	3

Уравнение прямой ВС имеет вид: у + z = 2, на прямой ВС z изменяется от 0 до 2 (также x = 0, dx = 0, dy = – dz). Поэтому

		2				dz
x2dx z2dy y2dz z2 ( 1) (2 z)2						dz
ВС		0			2
2		2z	3			16	.
2		2z	3			16
(2z2	4z 4) dz	3	2z2	4z		3
		3				3
0					0
0					0

Уравнение прямой CA имеет вид: 2х – z = 2, на прямой CA х изменяется от 0 до 1 (y = 0, dy = 0). Поэтому

			1	x3	1		1 .
			1		1
x2dx z2dy y2dz x2dx
CA			0	3	0		3
CA			0	3	0		3
Таким образом, Ц 1	16	1	16 .
3	3	3	3
2) Вычислим циркуляцию векторного поля F						по формуле Стокса

(32), выбирая в качестве поверхности Ω, натянутой на контур L, плоскость АВС с уравнением 2x + y + z – 2 = 0.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]